Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[36] Kós Géza2003-11-06 14:24:35

Kedves Csimby,

Amit írtatok, az mindenképpen megérdemel egy fél Túró Rudit, de jobb lenne egy szép, világos, kerek megoldássá átírni. Ehhez pontosabban kell kezelni a falvak és a hittérítők lehetséges állapotait.

Előzmény: [23] Csimby, 2003-11-05 18:21:35
[35] lorantfy2003-11-06 14:18:01

Az eredeti tevés példa úgy szólt, hogy 11 tevét örökölnek és hogyan oszthatnák el ha a legidősebb felét, a középső harmadát, a legkisebb hatodát örökölte. És a bölcs kádi javaslatára kölcsönkérnek egy tevét, amit az osztozkodás után vissza is adnak.

[34] Fálesz Mihály2003-11-06 13:06:27

Ha jól értem, a végén maradnia kell egy tevének, amit visszadanak.

Előzmény: [31] Rizsa, 2003-11-06 12:27:26
[33] Hajba Károly2003-11-06 12:43:32

Hát igen! Mivel a reciprokösszeg lehet 1,0 is, ezért ezt elnéztem, tehát ezek szerint 3 megoldást találtunk eddig.

Előzmény: [32] Hajba Károly, 2003-11-06 12:31:28
[32] Hajba Károly2003-11-06 12:31:28

A 7. feladathoz:

Először is elnézést mindenkitől, de még nem sikerült elmélyedni a TeX-ben, így annak lehetőségeit most nem használom ki. (De ami késik, nem múlik.)

Mivel a tevék számához még 1-t hozzáadva el tudták osztani kényelmesen és még meg is maradt a kölcsönteve, ezért a K, L, M számok reciprokösszege alulról közelíti az 1-t, de nagyobb mint a legkisebb elérhető N-re N/(N+1)=0,9; ahol N=2+3+4=9. (Lehet ennél finomabban is lehatárolni.)

Tehát azokat a számhármasokat kell megvizsgálni, melyek reciprokösszege ebbe a tartományba esik. K=2, mivel a 3, 4, 5 számhármasra 0,78..; továbbá 2, 4, 5 számhármasra 0,8666... jön ki, mint alsó korlát, másrészről 2, 3, 6 számhármasra 1,00 jön ki, mint felső korlát. Én a két számhármas között két megoldást találtam:

K=2, L=3, M=7, N=41

K=2, L=4, M=6, N=11

Hajba Károly

Előzmény: [26] lorantfy, 2003-11-05 21:34:18
[31] Rizsa2003-11-06 12:27:26

A tevel szama 17, es 2, 3, 6 reszre kell bontani a majdani 18at.

[30] Lóczi Lajos2003-11-05 23:59:16

Mivel közben sikerült tisztáznom az előző hozzászólásban megfogalmazott sejtésem (a bizonyítás nem nehéz, teljesen elemi, csak két apró ötlet kell, és minden szükséges információ megtalálható a hozzászólásban), ezért

8. feladat: Mutassuk meg, hogy tetszőleges N\ge2 természetes számra


\sum_{k=2}^N \left(\zeta(k)-1\right)<1.

Előzmény: [29] Lóczi Lajos, 2003-11-05 23:20:59
[29] Lóczi Lajos2003-11-05 23:20:59

Az 1. feladattal kapcsolatban a következő érdekes általánosítás tűnik igaznak: nevezetesen nem számít, hogy mely hatványfüggvények reciprokait szerepeltetjük a szummákban (ami ott 2, 3, 5, illetve 8 volt). A rövidség kedvéért vezessük be a következő (szokásos) jelölést: ha s>1 valós szám, akkor legyen


\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}

a híres-nevezetes dzeta-függvény. (Mint ismeretes, ennek a függvénynek komplex s-ekre történő kiterjesztése szerepel az egyik leghíresebb, mindmáig megoldatlan matematikai sejtésben, a Riemann-hipotézisben.)

Ezzel a jelöléssel az előző hozzászólásban beláttuk tehát, hogy


\left(\zeta(2)-1\right)+\left(\zeta(3)-1\right)+\left(\zeta(5)-1\right)+\left(\zeta(8)-1\right)<1.

Sejtésem a következő: 2-től kezdve akárhány ilyen tagot adunk össze, az összeg mindig kisebb lesz 1-nél, azaz, ha N\ge2 tetszőleges természetes szám, akkor


\sum_{k=2}^N \left(\zeta(k)-1\right)<1.

A sejtést alátámasztják a Mathematica programmal végzett numerikus kísérletek (például ha N=50, akkor a fenti összeg körülbelül 0,99999999999999911...), valamint a Mathematica azon állítása, hogy


\sum_{k=2}^{\infty} \left(\zeta(k)-1\right)=1.

(Ha a program ezt állítja, akkor valószínűleg ezt már bebizonyította valaki, a sejtéshez nyilván "elég" lenne ez utóbbi állítást megmutatni, hiszen a szumma N-ben monoton nő.)

A sejtéssel kapcsolatos bármely észrevételt szívesen veszek.

[28] Lóczi Lajos2003-11-05 22:56:02

Ha szabad integrálokat használni, akkor következzen egy megoldás az 1. feladatra.

Mivel az összegzendő kifejezések szigorúan monoton fogyóak, ezért felfoghatók integrálok alsó (téglalapos) közelítőösszegeiként -- csak arra kell vigyáznunk, hogy az integrálás határát 1-gyel hamarabb kezdjük, mint a szummázásét. (A szumma első két tagját külön kell kezelnünk, mert különben felső becslésünk túl durva lenne.) Tehát


\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)=
\sum_{n=2}^{3}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)+
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}
+\frac{1}{n^5}+\frac{1}{n^8}\right)\le


\frac{944905}{1679616}+\int_{3}^{\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}
+\frac{1}{x^5}+\frac{1}{x^8}\right)dx=


\frac{944905}{1679616}+\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}
-\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{7x^7} \right]_3^\infty=
\frac{944905}{1679616}+\left( 0+\frac{24007}{61236}\right)=


\frac{11223679}{11757312}<1.

Előzmény: [1] Sirpi, 2003-10-30 10:07:33
[27] Lóczi Lajos2003-11-05 22:15:39

A már említetteken kívül pár egyéb "ötlet" a tréfás kérdés megválaszolásához.

Az ex függvényen kívül a (konstans.ex) függvény, mint általános megoldás is szóba jöhet (abban az értelemben, hogy a függvény és deriváltja megegyezik).

Speciálisan a kuncogó függvény lehet az azonosan nulla függvény is.

De kuncoghat azért is, mert ő mondjuk a Dirichlet-függvény (amely tehát racionális pontokban 1, irracionálisokban 0, s így sehol sem folytonos, sehol sem deriválható).

Sőt, kuncoghat azért is, mert ő pl. az x2 függvény, s így deriválás után az értékkészlete nagyobb lesz.

Előzmény: [11] enel, 2003-11-04 14:32:31
[26] lorantfy2003-11-05 21:34:18

Valamikor régen amikor a Scientific American még Tudomány néven magyarul is megjelent olvastam benne egy matek feladványt. De sajnos ez olyan régen volt, hogy a pontos számokat már elfelejtettem, így kénytelen vagyok a feladatot általánosan megfogalmazni: 7. feladat: A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta 3 fiát és elmondta nekik, hogy rájuk hagyja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és M-ed részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak mert az N szám K, L, M egyikével sem volt osztható. Szerencsére éppen egy tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt egy ötlete. Kölcsönkért egy tevét a karavánból. Így az N+1 tevét el tudták osztani egymás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is 1 teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milyen K,L,M,N számokra teljesíthető a fenti felosztás ? ( K<L<M<N pozitív egész számok!)

[25] Kritya32003-11-05 20:47:52

Most egy kicsit offolok, remélem nem orrol meg rám a Moderátor: olyat hallottam, hogy OKTV napján a versenyig még egy számot sem szabad összeadni.

Előzmény: [21] Frenky, 2003-11-05 15:56:04
[24] Rácz Béla2003-11-05 19:04:54

Ha valakit szétvetne a kíváncsiság, közölhetem, hogy az összes eddigi kétkarú mérleges feladat megtalálható a Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. gyűjteményben (I. kötet, rögtön az eleje.)

Igazából ezt a könyvajánlóba kellett volna írnom, mert a Skljarszikij messze a legjobb matekkönyv, ami valaha is a kezembe került. Szovjet minőség!!! ;-)

Előzmény: [20] Kós Géza, 2003-11-05 12:21:41
[23] Csimby2003-11-05 18:21:35

MEGOLDÁS A SZIGETES FELADATHOZ:

Akkor esznek meg egy papot amikor a legközelebbi olyan faluba ér ahonnan egy társa indult (ha egyedül van akkor amikor az indulási faluba visszaér). Tehát ha kezdetben P pap indult, amikorra mindet megeszik, P falu lesz pogány méghozzá az a P amelyből indultak (hiszen egészen addig nyugodtan téríthet egy pap amíg indulási helyre nem ér, ahol is hívő falut talál: -> megeszik, az indulási falu pogány lesz. -> az addig útbaeső falvakat megtéríti*. Az utánuk indulók, mivel nem indulhatnak a meglévő pogány falukból (hiszen ezek induló faluk voltak és mindenki más faluból indul) biztosan olyan faluból kell, hogy induljanak amelyeket már megtérítettek, tehát amint elindulnak, rögtön megeszik őket. Mindenki máshonnan indul, tehát mindenkit máshol esznek meg, tehát mindegyik falu pogány lesz. * probléma akkor lehet, ha a P db pap indulása után még indulnak valamikor pap(ok), de ez még az előtt történik, hogy kialakulna az a helyzet amikor már csak a P db indulási falu pogány (azaz amikor még lehet olyan helyekről indulni amelyet még senki sem térített meg). Ekkor két eset lehet: - az induló már megtérített faluból indul -> meghal rögtön, és a falu pogány lesz - pogány faluból indul (amelyben előtte még senki sem járt) , ekkor felfoghatjuk úgy mintha P+1 pap indult volna, és ugyanaz a megoldás mint P-re.

Kiss Gábor és Csajbók Bence

[22] Fizban2003-11-05 17:53:20

Üdv mindenkinek!

Az én feladatomat biztosan sokan ismerik, de azért leírom, hátha valakinek új:

Van egy medve a Földön egy P pontban. Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba. A kérdés: Milyen színű a medve?

[21] Frenky2003-11-05 15:56:04

Üdv! nos igen szóval addig eljutottam hogy csoportok kellenek aztán elkezdtem nézni hogy mlyen csoportok néztem 2 erre rájöttem hamar hogy rossz néztem a 3-at ezzel sokat szenvedtem meg persze a 4gyel és ezzel is jutottam elgtovább valahogy úgy próbáltam hogy a régebbi mérés golyóit is belevonoma dologba , pl a régi mérésből két golyót kicserélek a bizonytalan golyók valamelyikére , és akkor ugye ha megint eldől a serpenyő akkor még mindig köztük van a gyanús ha meg nem dől el akkor azok közül az egyik amit elvettem , de végül mindig úgy lett hogy van két gyanús golyóm és nincs több mérés...vagy estetleg 3 bizonytalan golyó és egy mérés.

holnap matek OKTV:-) úgyhogy holnap délelőtt lesz időm letisztázni és föladni a kömalt:-) hozzá is kezdek még most(annál többet alhatok)

[20] Kós Géza2003-11-05 12:21:41

Az feladatot én eredetileg úgy ismertem, hogy azt is meg kell mondani, hogy a kakukktojás könnyebb vagy nehezebb a többinél. Ez ugyan nehezítés, de segít abban, hogy az első mérést kitaláljuk.

Ha n mérésünk van hátra, akkor azoknak összesen 3n lehetséges kimenetele lehet, ezért legfeljebb ennyi lehetséges esetet tudunk a mérések által megkülönböztetni. (Ez akkor is igaz, ha az egyes mérések összeállítása függ a korábbi mérések eredményétől.)

Kezdetben 24 eset van, mert 12 golyó lehet a kakukktojás, és a kakukktojás könnyű és nehéz is lehet. A 3 mérés legfeljebb 33=27 esetet különböztethet meg, a becslés itt (még) stimmel.

Az első mérésnél ugyanannyi golyót, mondjuk k darabot kell tennünk a két serpenyőbe. Az első kérdés, hogy mennyi legyen a k.

Ha a mérleg egyensúlyban marad, akkor a többi 12-2k golyó között van a kakkukktojás, ami összesen 2(12-2k) esetet jelent. Ha k\le3, akkor ez legalább 12 eset, amit nem lehet 2 mérésből megkülönböztetni. Ha k\ge4, akkor legfeljebb 8 eset. A k-t tehát nem szabad 4-nél kisebbnek választanunk.

Ha a mérleg nincs egyensúlyban, akkor 2k ,,gyanús'' golyónk van. Ebből k darab ,,nehéz-gyanús'', a másik k darab pedig ,,könnyű-gyanús'', ez összesen 2k eset. A hátralevő két mérés legfeljebb 9 esetet különböztethet meg, tehát k-t nem szabad 4-nél nagyobbnak választani.

Összefoglalva, az első mérésnél csak négy-négy golyót tehetünk a két mérlegserpenyőbe. Már csak a további méréseket kell kitalálni. :-)

* * *

Aki ismeri vagy már megoldotta a feladatot, gondolkodhat két változaton.

Első változat: van 13, látszólag egyforma golyó, az egyik könnyebb vagy nehezebb a többinél. Három mérésből mondjuk meg, melyik az. (Nem kell megmondani, hogy könnyebb, vagy nehezebb.)

Második változat: van 12, látszólag egyforma golyó, az egyik könnyebb vagy nehezebb a többinél. Három mérésből mondjuk meg, melyik az, és azt is, hogy könnyebb, vagy nehezebb. (Eddig ugyanaz a feladat.) A nehezítés: a mérések összeállítása nem függhet a korábbi mérések eredményétől, előre meg kell mondanunk, hogy az egyes mérésekben mely golyókat tesszük a két serpenyőbe.

Előzmény: [17] lorantfy, 2003-11-05 10:21:31
[19] Kós Géza2003-11-05 11:58:49

Megkértem az e-mailben küldött megoldás szerzőit, hogy másolják be ide a megoldásukat és itt vitassuk meg. (Szerencsésebb, ha nem én másolgatok be ide e-maileket.)

Előzmény: [18] Kós Géza, 2003-11-05 11:36:33
[18] Kós Géza2003-11-05 11:36:33

Azt javaslom, hogy a megoldásokat is ide írjuk, ne tördeljük szét a témát többfelé. Én az emberevős feladatra kaptam egy megoldást e-mailben, mindjárt ide másolom.

[17] lorantfy2003-11-05 10:21:31

Segítség a biliárdgolyós feladathoz: 3 csoportra osztjuk a 12 golyót. Összemérjük az első két csoportot. Ha egyenlő akkor innen már 2 méréssel a könnyű a dolgunk, ha felhasználjuk, hogy az első 8 golyó biztosan "jó". Ha az első mérésnél nem egyenlő a két csoport akkor figyelembe véve, hogy a mérleg merre billent le egy különleges mérést kell összeállítanunk, ahol a mérleg kibillenésének irányából is információkat tudunk szerezni. Na erre kell neked rájönni!

[16] SchZol2003-11-04 20:14:40

Sziasztok!

Én már megoldottam a billiárdgolyós példát, pont ma jött meg Lórántfytól a könyv, amit felajánlott. Szívesen leírom a megoldásom, ha kell.

Üdv,

Zoli

[15] Kós Géza2003-11-04 17:27:58

Írd le, hogy meddig jutottál el.

Előzmény: [14] Frenky, 2003-11-04 17:18:34
[14] Frenky2003-11-04 17:18:34

Üdv! JAJJ ez a billiárdgolyós példa.... érmével ismerem de végülis teljesen mindegy vagy egy hétig gondolkoztam rajta de nem sikerült.... mondjuk helyenként már elég sokáig eljutottam, sőt azt hittem sikerült, de aztán persze nem... na ennek egyszer beírhatnánk a megoldását...:-) mert az életben rá nem jövök...

[13] Kritya32003-11-04 16:37:46

Mert ő az e az x-ediken. Hahaha.

Előzmény: [11] enel, 2003-11-04 14:32:31
[12] Kós Géza2003-11-04 14:53:11

Szia Laci,

Jó kérdés. :-)

Szerintem nem mindegy, hogy ismered a feladatot és a megoldást, vagy te találod meg. Ha te oldod meg elsőnek, és beírod a megoldást, az egyfajta dicsőség, de az is igaz, hogy nem mindig jó túl hamar lelőni a megoldást. Ha viszont ismered és úgy lövöd le, akkor...

Talán úgy kellene felfogni, mintha egy asztaltársaságban ülnénk egy pofa kóla mellett :-). Ott sem mindig jó azonnal bedobni a megoldást, hagyni kell a többieket is gonsolkodni.

Ha viszont egy feladatot régóta nem oldottak meg, akkor lehet kérni, hogy valaki, aki ismeri, írja le. Én már régóta várom, hogy a 4. feladatot megoldja valaki, mert van egy kicsit nehezebb változata is, amit szeretnék majd feladni.

Üdv.

Géza

Előzmény: [11] enel, 2003-11-04 14:32:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]