Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[361] Gyuri2004-05-24 14:08:19

Kedves Mindenki!

A mostani feladatokkal még nem barátkoztam meg, de van két ajándékom.

81.feladat: Egy körlap alakú zárat kell kinyitni. Szimmetrikusan, 4 lyuk található a körlapon. Mindegyik lyukban van egy kétállású kapcsoló, melyek nem látszanak. A zár akkor nyit, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van. A kapcsolók állása viszont kitapintható! Lehetöségünk van kiválasztani két lyukat, majd oda egy-egy kezünkkel benyúlni, majd a kapcsolók kitapintása után azokon állítani. Miután ezt megtettük, a körlap alakú kapcsolótábla forgásnak indul, majd újra megáll. De hogy az eredeti helyzetéhez képest miként, arról semmit nem tudunk, hisz a forgás nagyon gyors volt. Ezután ismét kiválaszthatunk két lyukat, és az elöbb leírt módon operálhatunk. Ismét forgás következik. És így tovább!

Kinyitható-e a zár biztosan? Feltéve persze, hogy nem jelölhetjük meg a lyukakat! Megj.: ábrát nem csináltam, elnézést!

82.feladat: Egy börtönben 100 rab van. Az örök mindennap kiengednek egy rabot sétálni. A választás véletlenszerü. (Ha vki épp tegnap volt kint, attól még ma is kimehet, ilyenfajta megkötések nincsenek.) Megegyeznek a rabokkal, hogy mindenkit elengednek, ha a rabok szólnak, hogy már mindannyian voltak kint legalább 1x sétálni. Viszont a rabok a megegyezés ill. az utána következö stratégia megbeszélése után már nem tudnak egymással kommunikálni. Mindössze 1 kapcsoló van az udvaron, amit kapcsolgathat az éppen kint lévö rab. Tehát tfh. kezdetben a kapcsoló le van kapcsolva. A rabok kitalálták a stratégiát, ezután már az említett módon zajlanak a napok. Mi legyen a strat.? Természetesen ha korábban szólnak, azaz még nem is volt kint mindenki, akkor ugrott az egész. Feltehetö továbbá, h mindenki akárhányszor ki is tud menni, tehát nem halnak meg, meg ilyenek.

Jó fejtörést! (A másodikat még én sem tudom, ma kaptam egy barátomtól.)

[360] Hajba Károly2004-05-24 01:09:41

Kedves Csimby!

Én eddig 3-at találtam: a0=1;a1=1;a12=144. Az Excell 15 jegy pontosságával a73=806.515.533.049.393-ig nincs újabb. Efölött az Excell már alkalmatlan, programozói gyakorlatom nincs, hogy írjak egy rövid rutint, s általam nem ismert egy Fib(n)=... közvetlen képlet, melyből esetleg lehetne következtetni valamit.

Kiváncsi vagyok a Te megoldásodra is.

HK

Előzmény: [359] Csimby, 2004-05-23 22:59:42
[359] Csimby2004-05-23 22:59:42

80.feladat Hány négyzetszám van a Fibonacci-sorozatban?

[358] Kós Géza2004-05-17 20:25:41

http://jpbrown.i8.com/cubesolver.html

(Tudom, hogy nem ilyet keresel, de érdekes. :-) )

Előzmény: [354] skg, 2004-05-13 19:49:14
[357] Kós Géza2004-05-17 14:11:17

Mielőtt az Emberevők Szigete végleg elsülyedne a Feledés Tengerében, próbáljuk meg Csimby gondolatait egy teljes megoldássá rendezni.

Az előzést úgy értettem, hogy két falu között az egyik megelőzi a másikat. Tehát U elindul U-ból, és miközben V felé bandukol, megelőzi őt vetélytársa, a konkurrens felekezet tanait terjesztő T is, és V is partra száll V-ben. Mire U odaér V-be, addigra ott már megették T-t, és U mit sem sejtve tovább mehet W-be, ahol ő lesz a menü. Az U tehát U-ból indul, W-ben végzi, és közben mégis elindult valaki V-ből...

Szeretném hangsúlyozni, hogy az előzés lehetőségét példának hoztam fel arra, hogy sok részlet nincs következetesen és pontosan leírva. A teljesen végig nem gondolt részletekben pedig elbújhat egy olyan hiba, ami az egész megoldást megfúrja.

* * *

Térjünk vissza a megoldásra. Osszuk a misszionáriusokat két csoportra. Az egyikbe tartoznak a szerencsétlenebbek, akiket azonnal megesznek. A másik csoport a még szerencsétlenebbek, akiknek előbb dolgozni is kell; az a falu, ahonnan indulnak, az odaérkezésükkor éppen pogány. Minden még szerencsétlenebb misszionárius (MSZM) megtesz egy bizonyos utat a parton.

Csimby megoldása a következő lépésekből állna:

1. Az MSZM-ek által megtett utak nem fedhetik át egymást; nincs olyan partszakasz, ahol két misszionárius is áthaladt;

2. Az MSZM-ek által megtett partszakaszok egymáshoz csatlakoznak és a sziget teljes kerületét pontosan egszer lefedik.

3. Minden egyes faluban összesen két misszionárius fordult meg, és végül a falu újra pogány lett.

Előzmény: [342] Csimby, 2004-04-23 14:09:11
[356] joe2004-05-15 19:16:15

A 78. feladathoz hasonló, de talán egy kicsit érdekesebb és elegánsabb megoldású a következő:

79. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú szót. Osszuk e szavakat két halmazba, Pn-be és Nn-be aszerint, hogy egy adott szóban a BA betűcsoport előfordulásainak száma páros vagy páratlan (a nullát páros számnak tekintjük). Például a BABBBBA szó és az AAAAAAB szó a P7 halmazba, az AABBABB szó és a BABAABA szó az N7 halmazba tartozik. Határozzuk meg, mely n számokra van a Pn és az Nn halmaznak ugyanannyi eleme.

Hogy őszinte legyek, a 78. feladat megoldása nem túl szép, a 79.-re azonban ismerek egy ritka érdekes bizonyítást, ami eltér a "hivatalos" megoldástól és szerintem sokkal szebb.

Ha valaki tudna valamit mondani az ilyen feladatok eredetéről és mélyebb jelentőségéről, azt megköszönném.

[355] joe2004-05-14 18:49:38

Mint új fórumos, egy feladattal kezdeném:

78. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és a B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú "szót". Jelölje pn azon n hosszúságú "szavak" számát, melyek nem tartalmaznak sem négy egymást követő A betűt (AAAA csoportot), sem három egymást követő B betűt (BBB csoportot). Határozzuk meg a következő kifejezés értékét

[354] skg2004-05-13 19:49:14

Hi!

Régebben beszéltetek itt a bűvös kockáról (rubik) azt szeretném megkérdezni, hogy tudtok-e olyan lapot, ahol van valami róla?

[353] lorantfy2004-05-11 22:03:57

Kedves Géza és Károly!

Gratulálok a szép megoldásokhoz! Most sajnálom, hogy nem volt elég kitartásom.

Előzmény: [352] Hajba Károly, 2004-05-11 15:22:35
[352] Hajba Károly2004-05-11 15:22:35

Kedves Géza!

Találtál egy második megoldást! Mindenképpen megérdemled a túró rudit. :o)

S íme az én változatom, melyet anno az 1. gimiben fél év firkálgatás után oldottam meg:

Előzmény: [351] Kós Géza, 2004-05-11 15:15:24
[351] Kós Géza2004-05-11 15:15:24

Végül, sok-sok próbálkozás után találtam egy megoldást a 12. feladatra:

(A két kis kanyart azért rajzoltam bele, hogy egyértelmű legyen, hogy merre mennek a szakaszok.)

Előzmény: [60] Hajba Károly, 2003-11-13 00:31:47
[350] Kós Géza2004-04-27 18:57:29

Még ne, hadd próbálkozzak még egyszer... :-)

Előzmény: [349] lorantfy, 2004-04-27 18:38:18
[349] lorantfy2004-04-27 18:38:18

Kedves Károly!

Én egy ideig próbálgattam a hurokkal való összekötést, de nem jött össze. Szivesen látnám a megoldást!

Előzmény: [345] Hajba Károly, 2004-04-27 12:26:17
[348] nadorp2004-04-27 15:42:14

Megoldás a 77. feladatra.

Legyen legelő középppontja O, sugara 1. A karó helye legyen P, a kötél hossza r ( lásd az ábrát). A P középpontú r sugarú kör messe a legelőt a Q és R pontokban.

Legyen RPQ\angle=\alpha. Nyilván \alpha tompaszög, hiszen ellenkező esetben a két körív közti terület nagyobb a legelő felénél és az is látszik, hogy r=2\cos\frac{\alpha}2. A két körív közti terület egy körcikkre és két egybevágó körszeletre bontható, a területre:

T=\frac{r^2\alpha}2+2\left(\frac{\pi-\alpha}2-\frac{\sin(\pi-\alpha)}2\right)=\frac{r^2\alpha}2+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2

Mivel r^2=4\cos^2\frac{\alpha}2=2(1+\cos\alpha), ezért

\alpha(1+\cos\alpha)+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2

\sin\alpha-\alpha\cos\alpha=\frac{\pi}2

Ezt az egyenletet csak közelítőleg lehet megoldani, \alpha=109,19o körül van.Innen r=1,16 egység.

[347] lorantfy2004-04-27 12:33:01

Az 59. feladat így szólt: Oldjuk meg a

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+4y+6}

egyenletet, ha (x,y)\inR2 !

Az 59. feladat megoldása: A logaritmus „hasában” álló A kifejezés:

A=cos^2xy+\frac{1}{cos^2xy} \geq 2

így log2A\geq1.

A jobb oldali B tört nevezője: y2+4y+6=(y+2)2+2\geq2, így B\leq1.

A két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha log2A=B=1. tehát y = -2. A = 2-ből cos2xy=1. cos2(-2x)=cos2(2x)=1, amiből cos2x=1 vagy cos2x=-1, 2x=k\pi.

Tehát x=k \frac{\pi}{2}, ahol k\inZ.

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48
[346] Hajba Károly2004-04-27 12:29:54

A 40. feladatot visszavonom, mivel feltehetően nemdeterminisztikus és így nem ismert általános megoldása.

HK

Előzmény: [180] Hajba Károly, 2003-12-08 10:43:39
[345] Hajba Károly2004-04-27 12:26:17

A feltettem 12. feladatra több, mint 5 hónapja nem érkezett helyes megoldás. Ezért, ha már senki nem kíván rajta gondolkodni és kívánjátok, közfelkiáltásra közkincsé teszem. :o)

HK

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48
[344] lorantfy2004-04-27 10:47:14

A 63. feladat ez volt: Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?

A 63. feladat megoldása: A harmadik barátnő 8 Ft-ot ad a rá eső \frac{8}{3} fahasábért, így \frac{1}{3} fahasáb 1 Ft-ot ér.

Az első barátnő, aki \frac{15}{3} fahasábot adott \frac{7}{3}-al adott többet mint a saját része, így 7 Ft-ot kap, míg a második, aki \frac{9}{3}-ot adott csak \frac{1}{3}-al adott többet mint a saját része, tehát 1 Ft-ot kap a 8 Ft-ból.

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48
[343] Hajba Károly2004-04-27 00:15:48

Kedveseim!

Az alábbi feladatok még megoldóra várnak. Kellemes töprendést!

HK

[342] Csimby2004-04-23 14:09:11

Kedves Géza, Onogur és Mindenki aki veszi a fáradságot, hogy nyomonkövesse a szigetes feladat megoldását!

Azért nem írok (legalábbis egyenlőre) olyan hozzászólást amiben minden benne van, mert vki úgyis beleköt (ez persze nem baj) és akkor írhatnám újra az egészet. Egyenlőre tehát a legutóbb feltett kérdésekre válszolok:

I. Esetleg valaki meg is előzhette a-t? A hittérítők sorban haladnak, nem hagyhatnak ki falut és egy faluban egyszerre csak egy hittérítő tartózkodhat, tehát nincsen előzés.

II. Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? [326] hozzászólás: "ha lettek volna innen induló papok, akkor a pap meghalt volna az a faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban" (legyen ez a falu y ) Bővebben: Az a és b falu között indulók közül y az a-hoz legközelebbi indulásipont, tehát az a és b között indulók közül csak y járhatott y-ban. Mivel feltettük, hogy időben a az első hittérítő, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki a falu előttről indult és így jutott el az a utáni falutól y-ig tartó partszakszra. Tehát a-tól y-ig még senki sem járt egy faluban sem, y-ban pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyen y falu, akkor a pap y-ban halt volna meg és nem b-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy az a-tól a halálozási falujáig, (b-ig) terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt.

Ha a b-ből induló misszionárius c-ben végzi, nem indulhatott volna közben más pap a kettő között, mert: ha lettek volna innen induló papok, akkor b pap meghalt volna a b faluhoz legözelebbi ilyen indulási faluban. (legyen ez a falu z ) Bővebben: A b és c falu között indulók közül z a b-hez legközelebbi indulásipont, tehát a b és c között indulók közül csak z járhatott z-ben. Mivel az a-tól b-ig terjedő partszakaszon a-n kívül senki sem indult időben b előtt, és I.szerint nicsen előzés, ezért nem lehetséges az sem, hogy valaki b falu előttről indult és így jutott el a b utáni falutól z-ig tartó partszakszra. Tehát b-től z-ig még senki sem járt egy faluban sem, z-ben pedig egy ember járt, vagyis ha lenne ilyem z falu, akkor b pap z-ben halt volna meg és nem c-ben. Ami ellentmondás! Ebből az is következik, hogy a b-től b halálozási falujáig, (c-ig) terjedő partszakaszon b-n kívül senki sem indult időben c előtt.

Bármely két falura bizonyítható az állítás ugyanezzel a gondolatmenettel ...

III. Ha az x-edik faluba megérkezik a majd b , akkor x=a vagy x=b? Azt feltettem, hogy a és b az első két ember aki x-ben jár, tehát a és b közül a második aki oda ér biztosan meghal (legyen ez b). De II. szerint b és a között nem indulhatott senki, tehát a-nak x-ből kellett indulnia.

Csimby

[341] Hajba Károly2004-04-22 20:08:44

77. feladat: (Felesben legel e kecske)

Egy kecskepásztor egyik nap egy kerek legelőre vitte ki egyetlen kecskéjét legelni. De hogy ne kelljen másnap újabb legelő után nézni, úgy szeretné kikötni, hogy csak a legelő felét tudja a kecskéje lelegelni. A karót a legelő szélén verte le. Milyen hosszúra kell a kecske kötelékét engednie?

HK

[340] Kós Géza2004-04-22 16:52:21

Kedves Csimby,

Ha nem veszed zokon, még egy kicsit megdolgoztatlak. A túrórudi csak teljes megoldásért jár, amin nem fog semmilyen javítói kötekedés. :-)

Egy KöMaL-javító szinte minden mondat végén odaírná pirossal, hogy "Miért?". Például miért igaz, hogy ha az x-edik faluba megérkezik a majd b, akkor x=a vagy x=b? Ha az a-ból induló misszionárius b-ben végzi, miért ne indulhatott volna közben más pap a kettő között? (Esetleg valaki meg is előzhette a-t...)

Mindez persze csak akadékoskodás, de azért nem értelmetlen. Egy teljes megoldásban nem lehetnek ilyen homályos pontok, mert ezek hibák forrásai lehetnek. Én úgy látom, hogy közel vagy a megoldáshoz, sok mindent látsz, amin múlik, de a megoldás pontos leírása még mindig hiányzik. (Jó lenne az elejétől a végéig leírni, nem olyan hosszú, és könnyebb elolvasni, ha nem hivatkozik korábi hozzászólásokra.)

Géza

Előzmény: [339] Csimby, 2004-04-22 00:20:43
[339] Csimby2004-04-22 00:20:43

Kedves Onogur!

Legyen x olyan falu ahol 2-nél többen is megfordultak. Legyen az első két ember aki járt x-ben a és b. Ekkor x=a vagy x=b, legyen most x=a. Tehát b pap a faluban halt meg. Vagyis a és b azon papok csoportjába tartozik, akiket [326]-os hozzászólásomban a megoldás elején felsoroltam. De az ebbe a csoportba tartozó papok "váltják" egymást (onnan következik egy új ahol a régi meghalt) vagyis elképzelhetetlen, hogy egy harmadik c pap is átmenjen x-en (ha c is a papoknak ebbe a csoportjába tartozik), mert az ebbe a csoportba tartozó papok útvonalai pontosan lefedik a partot és nincs olyan szakasz amin két pap járt volna. A másik csoportba tartozó papok sem mehetnek át x-en, mert x-ből nem indulhatnak (hiszen onnan már a indult) és ők az induló falujukban meghalnak.

Előzmény: [338] Hajba Károly, 2004-04-21 22:15:25
[338] Hajba Károly2004-04-21 22:15:25

Kedves Csimby!

A feladat szép és elegáns befejezéséhez azt kellene kizárni, hogy semmi szín alatt nem jöhet egy faluba 2-nél több térítő. (Természetesen nem lehet ilyen ellenpéldát mutatni, de bizonyítani igen.)

HK

Előzmény: [337] Csimby, 2004-04-21 15:39:02
[337] Csimby2004-04-21 15:39:02

Tehát ha jó az amiket leírtam, akkor mindegyik faluba pontosan 2 pap érkezik (összesen). Ez egy kicsit meglepő, de most hirtelenjében nem találok ellenpéldát...

Előzmény: [336] Csimby, 2004-04-21 15:15:13

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]