Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[368] syllabus2004-05-25 23:26:31

Kedves László!

Azért kérdeztem, mert ha meg tudjuk a fentet és a lentet különböztetni, akkor ha 3-1 után ellentétest fogunk meg, akkor már egy lépésben kinyithatjuk a zárat.

[367] Csimby2004-05-25 22:53:41

Onogur, nem mondom még meg a megoldást, hátha valaki kitalálja (egyébként én csak olyat ismerek ami az első 1 millió tagra bizonyítja, hogy nincsen benne csak 3 négyzetszám, de szerintem azzal a módszerrel meglehet csinálni teljesen (még nem tettem meg, tehát gonosz dolog volt kitűzni a példát), ráadásul amit ismerek megoldást az is csak algoritmus, de hát vannak itt nálam okosabbak akik majd kitalálják ;-)) Segítség: A sorozat különböző mod.-al vett maradékait kell vizsgálni és így egy csomó kiesik (hiszen minden mod.-ra megvan, hogy mely maradékok nem tartozhatnak négyzetszámokhoz.)

Előzmény: [362] Hajba Károly, 2004-05-24 23:58:07
[366] lorantfy2004-05-25 22:15:53

Kedves Károly!

Kösz az infót! Nem fogtam fel első olvasásra ezt a magában álló kapcsolót, hát hozzáköltöttem egy lámpát. Igy persze túl egyszerű lenne.

81. feladathoz: Szerintem nem lényeges, hogy le vagy fel vannak kapcsolva a kapcsolók, mert azt írja: a zár akkor nyit, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van.

Előzmény: [364] Hajba Károly, 2004-05-25 10:07:53
[365] syllabus2004-05-25 21:36:12

Azt szeretném kérdezni a 81-es feladathoz, hogy mikor megfogunk két kapcsolót akkor azt érezzük, hogy különböző állásban vannak, vagy azt, hogy az egyik "fel" van kapcsolva a másik "le"?

A feladat tehát arra megy ki, hogy véges algoritmust adjunk, vagy egy elég sok lépésben "nagyon valószínű" eljárást keresünk?

[364] Hajba Károly2004-05-25 10:07:53

Kedves László!

Újrafelbukkant Gyuri szellemes feladatain én is elgondolkoztam.

A 81. feladatnál szerintem nem lehet 100 % biztonságú stratégiát kialakítani, de még gondolkodom rajta. A 82. feladatot pedig ismerem. Itt a kapcsoló csak egy állapotot mutat, de nem égőt kapcsol, így egy rab csak akkor jut újabb infóhoz, ha éppen ő van kinn sétán és megnézi a kapcsoló aktuális állapotát.

HK

Előzmény: [363] lorantfy, 2004-05-25 09:31:53
[363] lorantfy2004-05-25 09:31:53

Kedves Gyuri!

Örülök, hogy újra látunk itt a Fórumon és a két jó példának is.

81. feladathoz: Két lyukat választhatunk ki. Vagy szomszédosakat választunk: pl.A-B, vagy átlósan kettőt: pl. A-C. Két kiválasztás után 3 kapcsolót biztos azonos állásba tudunk állítani, legyen ez a 3 A-B-C. Ha a D kapcsoló is ebben az állásban van, akkor a zár kinyílik.

Ha nem, akkor tudjuk hogy D ellenkező állásban van.

Ezután a következő a taktika: Kiválasztunk két lyukat, de csak akkor váltjuk át az egyik kapcsolót, ha ellenkező kapcsoló állást tapasztalunk. Ha a D kapcsolót váltottuk át, a zár kinyílik, ha nem akkor két-két kapsoló azonos állásban fog állni, pl. A és D 1-es, B és C 0 állásban.

Ezután viszont csak akkor fogjuk mindkét kiválasztott kapcsolót átváltani, ha azonos a kapcsoló állás. Ekkor a zár kinyílik.

Egyetlen apró kérdés maradt: Lehetséges-e ezt véges lépésben elvégezni?

82. feladathoz: A megbeszélésen minden rab kapjon egy sorszámot, amit megjegyez és megjegyzi még azt is, mi az utolsó sorszám. A cella falára mindegyik felkarcol egy táblázatot, annyi oszloppal ahányan vannak. Az éppen kint lévő rab annyiszor kapcsolja fel és le a lámpát, amennyi a sorszáma. Ekkor a cellában lévők tesznek egy x-et a megfelelő oszlopba, Ő meg a saját oszlopába, mikor visszaviszik. Ha bármelyik rabnál minden oszlopban lesz legalább egy x, akkor szólhat, hogy kész.

Előzmény: [361] Gyuri, 2004-05-24 14:08:19
[362] Hajba Károly2004-05-24 23:58:07

A 80. feladathoz:

A Fibonacci-számok birodalmába vezet a matematika.lap.hu oldalon található "ugródeszka" - aljas link :o)

Pl.: Fib(300)-ig nincs négyzetszám, de van néhány prím; találtam egy képletet, de nem sokra mentem vele:

Fib(n)= \frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2} ahol x1 és x2 a x2-x-1=0 egyenlet gyökei.

HK

Előzmény: [359] Csimby, 2004-05-23 22:59:42
[361] Gyuri2004-05-24 14:08:19

Kedves Mindenki!

A mostani feladatokkal még nem barátkoztam meg, de van két ajándékom.

81.feladat: Egy körlap alakú zárat kell kinyitni. Szimmetrikusan, 4 lyuk található a körlapon. Mindegyik lyukban van egy kétállású kapcsoló, melyek nem látszanak. A zár akkor nyit, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van. A kapcsolók állása viszont kitapintható! Lehetöségünk van kiválasztani két lyukat, majd oda egy-egy kezünkkel benyúlni, majd a kapcsolók kitapintása után azokon állítani. Miután ezt megtettük, a körlap alakú kapcsolótábla forgásnak indul, majd újra megáll. De hogy az eredeti helyzetéhez képest miként, arról semmit nem tudunk, hisz a forgás nagyon gyors volt. Ezután ismét kiválaszthatunk két lyukat, és az elöbb leírt módon operálhatunk. Ismét forgás következik. És így tovább!

Kinyitható-e a zár biztosan? Feltéve persze, hogy nem jelölhetjük meg a lyukakat! Megj.: ábrát nem csináltam, elnézést!

82.feladat: Egy börtönben 100 rab van. Az örök mindennap kiengednek egy rabot sétálni. A választás véletlenszerü. (Ha vki épp tegnap volt kint, attól még ma is kimehet, ilyenfajta megkötések nincsenek.) Megegyeznek a rabokkal, hogy mindenkit elengednek, ha a rabok szólnak, hogy már mindannyian voltak kint legalább 1x sétálni. Viszont a rabok a megegyezés ill. az utána következö stratégia megbeszélése után már nem tudnak egymással kommunikálni. Mindössze 1 kapcsoló van az udvaron, amit kapcsolgathat az éppen kint lévö rab. Tehát tfh. kezdetben a kapcsoló le van kapcsolva. A rabok kitalálták a stratégiát, ezután már az említett módon zajlanak a napok. Mi legyen a strat.? Természetesen ha korábban szólnak, azaz még nem is volt kint mindenki, akkor ugrott az egész. Feltehetö továbbá, h mindenki akárhányszor ki is tud menni, tehát nem halnak meg, meg ilyenek.

Jó fejtörést! (A másodikat még én sem tudom, ma kaptam egy barátomtól.)

[360] Hajba Károly2004-05-24 01:09:41

Kedves Csimby!

Én eddig 3-at találtam: a0=1;a1=1;a12=144. Az Excell 15 jegy pontosságával a73=806.515.533.049.393-ig nincs újabb. Efölött az Excell már alkalmatlan, programozói gyakorlatom nincs, hogy írjak egy rövid rutint, s általam nem ismert egy Fib(n)=... közvetlen képlet, melyből esetleg lehetne következtetni valamit.

Kiváncsi vagyok a Te megoldásodra is.

HK

Előzmény: [359] Csimby, 2004-05-23 22:59:42
[359] Csimby2004-05-23 22:59:42

80.feladat Hány négyzetszám van a Fibonacci-sorozatban?

[358] Kós Géza2004-05-17 20:25:41

http://jpbrown.i8.com/cubesolver.html

(Tudom, hogy nem ilyet keresel, de érdekes. :-) )

Előzmény: [354] skg, 2004-05-13 19:49:14
[357] Kós Géza2004-05-17 14:11:17

Mielőtt az Emberevők Szigete végleg elsülyedne a Feledés Tengerében, próbáljuk meg Csimby gondolatait egy teljes megoldássá rendezni.

Az előzést úgy értettem, hogy két falu között az egyik megelőzi a másikat. Tehát U elindul U-ból, és miközben V felé bandukol, megelőzi őt vetélytársa, a konkurrens felekezet tanait terjesztő T is, és V is partra száll V-ben. Mire U odaér V-be, addigra ott már megették T-t, és U mit sem sejtve tovább mehet W-be, ahol ő lesz a menü. Az U tehát U-ból indul, W-ben végzi, és közben mégis elindult valaki V-ből...

Szeretném hangsúlyozni, hogy az előzés lehetőségét példának hoztam fel arra, hogy sok részlet nincs következetesen és pontosan leírva. A teljesen végig nem gondolt részletekben pedig elbújhat egy olyan hiba, ami az egész megoldást megfúrja.

* * *

Térjünk vissza a megoldásra. Osszuk a misszionáriusokat két csoportra. Az egyikbe tartoznak a szerencsétlenebbek, akiket azonnal megesznek. A másik csoport a még szerencsétlenebbek, akiknek előbb dolgozni is kell; az a falu, ahonnan indulnak, az odaérkezésükkor éppen pogány. Minden még szerencsétlenebb misszionárius (MSZM) megtesz egy bizonyos utat a parton.

Csimby megoldása a következő lépésekből állna:

1. Az MSZM-ek által megtett utak nem fedhetik át egymást; nincs olyan partszakasz, ahol két misszionárius is áthaladt;

2. Az MSZM-ek által megtett partszakaszok egymáshoz csatlakoznak és a sziget teljes kerületét pontosan egszer lefedik.

3. Minden egyes faluban összesen két misszionárius fordult meg, és végül a falu újra pogány lett.

Előzmény: [342] Csimby, 2004-04-23 14:09:11
[356] joe2004-05-15 19:16:15

A 78. feladathoz hasonló, de talán egy kicsit érdekesebb és elegánsabb megoldású a következő:

79. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú szót. Osszuk e szavakat két halmazba, Pn-be és Nn-be aszerint, hogy egy adott szóban a BA betűcsoport előfordulásainak száma páros vagy páratlan (a nullát páros számnak tekintjük). Például a BABBBBA szó és az AAAAAAB szó a P7 halmazba, az AABBABB szó és a BABAABA szó az N7 halmazba tartozik. Határozzuk meg, mely n számokra van a Pn és az Nn halmaznak ugyanannyi eleme.

Hogy őszinte legyek, a 78. feladat megoldása nem túl szép, a 79.-re azonban ismerek egy ritka érdekes bizonyítást, ami eltér a "hivatalos" megoldástól és szerintem sokkal szebb.

Ha valaki tudna valamit mondani az ilyen feladatok eredetéről és mélyebb jelentőségéről, azt megköszönném.

[355] joe2004-05-14 18:49:38

Mint új fórumos, egy feladattal kezdeném:

78. feladat: Tetszőleges n természetes számra állítsuk össze az A és a B betűkből az összes lehetséges n betű hosszúságú "szót". Jelölje pn azon n hosszúságú "szavak" számát, melyek nem tartalmaznak sem négy egymást követő A betűt (AAAA csoportot), sem három egymást követő B betűt (BBB csoportot). Határozzuk meg a következő kifejezés értékét

[354] skg2004-05-13 19:49:14

Hi!

Régebben beszéltetek itt a bűvös kockáról (rubik) azt szeretném megkérdezni, hogy tudtok-e olyan lapot, ahol van valami róla?

[353] lorantfy2004-05-11 22:03:57

Kedves Géza és Károly!

Gratulálok a szép megoldásokhoz! Most sajnálom, hogy nem volt elég kitartásom.

Előzmény: [352] Hajba Károly, 2004-05-11 15:22:35
[352] Hajba Károly2004-05-11 15:22:35

Kedves Géza!

Találtál egy második megoldást! Mindenképpen megérdemled a túró rudit. :o)

S íme az én változatom, melyet anno az 1. gimiben fél év firkálgatás után oldottam meg:

Előzmény: [351] Kós Géza, 2004-05-11 15:15:24
[351] Kós Géza2004-05-11 15:15:24

Végül, sok-sok próbálkozás után találtam egy megoldást a 12. feladatra:

(A két kis kanyart azért rajzoltam bele, hogy egyértelmű legyen, hogy merre mennek a szakaszok.)

Előzmény: [60] Hajba Károly, 2003-11-13 00:31:47
[350] Kós Géza2004-04-27 18:57:29

Még ne, hadd próbálkozzak még egyszer... :-)

Előzmény: [349] lorantfy, 2004-04-27 18:38:18
[349] lorantfy2004-04-27 18:38:18

Kedves Károly!

Én egy ideig próbálgattam a hurokkal való összekötést, de nem jött össze. Szivesen látnám a megoldást!

Előzmény: [345] Hajba Károly, 2004-04-27 12:26:17
[348] nadorp2004-04-27 15:42:14

Megoldás a 77. feladatra.

Legyen legelő középppontja O, sugara 1. A karó helye legyen P, a kötél hossza r ( lásd az ábrát). A P középpontú r sugarú kör messe a legelőt a Q és R pontokban.

Legyen RPQ\angle=\alpha. Nyilván \alpha tompaszög, hiszen ellenkező esetben a két körív közti terület nagyobb a legelő felénél és az is látszik, hogy r=2\cos\frac{\alpha}2. A két körív közti terület egy körcikkre és két egybevágó körszeletre bontható, a területre:

T=\frac{r^2\alpha}2+2\left(\frac{\pi-\alpha}2-\frac{\sin(\pi-\alpha)}2\right)=\frac{r^2\alpha}2+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2

Mivel r^2=4\cos^2\frac{\alpha}2=2(1+\cos\alpha), ezért

\alpha(1+\cos\alpha)+\pi-\alpha-\sin\alpha=\frac{\pi}2

\sin\alpha-\alpha\cos\alpha=\frac{\pi}2

Ezt az egyenletet csak közelítőleg lehet megoldani, \alpha=109,19o körül van.Innen r=1,16 egység.

[347] lorantfy2004-04-27 12:33:01

Az 59. feladat így szólt: Oldjuk meg a

log_2{\frac{cos^4{xy}+1}{cos^2{xy}}}=\frac{2}{y^2+4y+6}

egyenletet, ha (x,y)\inR2 !

Az 59. feladat megoldása: A logaritmus „hasában” álló A kifejezés:

A=cos^2xy+\frac{1}{cos^2xy} \geq 2

így log2A\geq1.

A jobb oldali B tört nevezője: y2+4y+6=(y+2)2+2\geq2, így B\leq1.

A két oldal csak akkor lehet egyenlő, ha log2A=B=1. tehát y = -2. A = 2-ből cos2xy=1. cos2(-2x)=cos2(2x)=1, amiből cos2x=1 vagy cos2x=-1, 2x=k\pi.

Tehát x=k \frac{\pi}{2}, ahol k\inZ.

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48
[346] Hajba Károly2004-04-27 12:29:54

A 40. feladatot visszavonom, mivel feltehetően nemdeterminisztikus és így nem ismert általános megoldása.

HK

Előzmény: [180] Hajba Károly, 2003-12-08 10:43:39
[345] Hajba Károly2004-04-27 12:26:17

A feltettem 12. feladatra több, mint 5 hónapja nem érkezett helyes megoldás. Ezért, ha már senki nem kíván rajta gondolkodni és kívánjátok, közfelkiáltásra közkincsé teszem. :o)

HK

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48
[344] lorantfy2004-04-27 10:47:14

A 63. feladat ez volt: Három barátnő főzéshez készül, az egyik 5 db fát, a másik 3 db fát hozzott a spórba és így mindhármójuk megfőzött. A harmadik, mivel nem volt tüzifája, 8 forinttal járult hozzá a tüzifa költségekhez. A másik két barátnő milyen arányban osztozik igazságosan a pénzen?

A 63. feladat megoldása: A harmadik barátnő 8 Ft-ot ad a rá eső \frac{8}{3} fahasábért, így \frac{1}{3} fahasáb 1 Ft-ot ér.

Az első barátnő, aki \frac{15}{3} fahasábot adott \frac{7}{3}-al adott többet mint a saját része, így 7 Ft-ot kap, míg a második, aki \frac{9}{3}-ot adott csak \frac{1}{3}-al adott többet mint a saját része, tehát 1 Ft-ot kap a 8 Ft-ból.

Előzmény: [343] Hajba Károly, 2004-04-27 00:15:48

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]