Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3785] w2013-10-04 14:47:18

Legyen X az ABC háromszög belső pontja, melyre XA.BC=XB.AC=XC.AB. Legyen XBC_{\Delta}, XCA_\Delta, XAB_\Delta beírt körének középpontja rendre P, Q, R. Mutassuk meg, hogy AP, BQ, CR egy ponton halad át.

[3784] Ali2013-09-13 10:38:22

Legyen g(x)=f(x)-x, és gn(x)=g(g(...g(x)...)). Az értelmezési tartományra tett megszorítás miatt g(x)\ge0 \forallx\ge0 esetén.

Megoldva a gn+2(x)+gn+1(x)-2gn(x)=0 másodfokú lineáris rekurziót ( g0(x):=x, g1(x)=g(x) ),

gn(x)=(-2)n[x-g(x)]/3 +[2x+g(x)]/3, n\ge2

Ha x>g(x), akkor elég nagy páratlan n-re, míg x<g(x) esetén elég nagy páros n-re ellentmondás. Így g(x)=x és f(x)=2x.

Előzmény: [3777] w, 2013-09-02 22:15:48
[3783] juantheron2013-09-10 05:57:06

Thanks HoA

[3782] juantheron2013-09-10 05:54:02

Solution for real a,b,c in

a[a]+c{c}-b{b}=0.16

b[b]+a{a}-c{c}=0.25

c[c]+b{b}-a{a}=0.49

Where [x]= Integer part of x

and {x}= fractional part of x

[3781] HoA2013-09-04 23:31:16

A :-) -ból sejtem, észrevetted, hogy ez valójában a közismert izogonális pontos megoldás átírva komplexre.

A feladat talán éppen ezért érdekes: Hogyan derül ki a komplex megközelítésből, hogy a módszer csak 120o -nál kisebb szögű háromszögre működik?

Előzmény: [3780] Fálesz Mihály, 2013-09-04 18:44:31
[3780] Fálesz Mihály2013-09-04 18:44:31

Azért én szívesen látnék egy elemi megoldást izogonális ponttal... :-)

Előzmény: [3779] HoA, 2013-09-04 10:54:29
[3779] HoA2013-09-04 10:54:29

 f(z) = \left|z-1-i \right| + \left| z+2-3i\right| + \left|z+3+2i \right| = \left| z-(1+i)\right| + \left| z-(-2+3i))\right|+ \left|z-(-3-2i) \right| = \left| z-t\right| +\left| z-u\right|+ \left| z-v\right| , ahol t=1+i,u=-2+3i,v=-3-2i Legyen továbbá z'=z-u,t'=t-u,v'=v-u .  f(z) = \left| z'-t'\right| +\left| z'\right|+ \left| z'- v'\right| . Felhasználjuk, hogy \left|e^{i\phi}  \right|= 1 és \left|1 -e^{i\pi /3}\right|  = 1 ( ujjgyakorlat ) . Legyen z'' = z' e^{i\pi /3} t'' = t' e^{i\pi /3} Ekkor

 \left| z'-t'\right| = \left| (z'-t') e^{i\pi /3} \right| = \left| z''-t''\right| = \left| t''-z''\right|

 \left| z' \right| = \left| z' (1 -e^{i\pi /3})\right| = \left| z'-z''\right|= \left| z''-z'\right|

és innen a sokszög egyenlőtlenség miatt

 f(z) = \left| t''-z''\right| + \left| z''-z'\right|  + \left| z'- v'\right| \ge \left| t''- v'\right|

Numerikusan t' = 3-2i , v' = -1 -5i , t'' = (3-2i)(cos \pi/3 + i sin \pi/3) = (3-2i)(1/2 + i \sqrt{3}/2) = (3 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}-2)/2  t'' - v' = (5 + 2 \sqrt{3})/2 + i (3\sqrt{3}+8)/2 . \left| t''-v'\right| ~ 7,84

Feladatnak hagyom annak bzonyítását, hogy létezik is olyan z' - és innen z - érték, melyre f(z) felveszi minimális értékét – például a megfelelő z kiszámításával.

Előzmény: [3775] juantheron, 2013-09-02 21:15:26
[3777] w2013-09-02 22:15:48

A következő függvényegyenlet leginkább a megoldási módszere miatt hasznos/érdekes (f:{\bf R}_{\ge0}\to{\bf R}_{\ge0}):

f(f(x)-x)=2x.

[3775] juantheron2013-09-02 21:15:26

Minimum value of \left|z-1-i\right| + \left|z+2-3i\right| + \left|z+3+2i\right|,

where z=x+iy and i=sqrt-1

[3774] w2013-08-11 16:48:19

Igen. Sok, az előbbihez hasonló feladat generálható. Olyan \alpha szám kell nekünk, melyre az

S=\sum_{(x,y)\in P} \alpha^{x+y} (*)

összeg a lépések során invariáns marad, ahol P jelöli a zsetonok helyeinek halmazát. Az előbbi feladatban \alphax+y=\alpha(x+1)+y+\alphax+(y+1)-ra redukálódik a (*) egyenlet, ahol \alpha=\frac12 megfelel célunknak. Miért is? Úgy általában, olyan \alpha számra van szükségünk, melyre

W=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty \alpha^{x+y}\in(-\infty;+\infty),

azaz az első síknegyed súlya véges. Ez éppen \alpha\in(-1;+1) esetén következik be, és ekkor

W=\sum_{x=0}^\infty\sum_{y=0}^\infty \alpha^x\cdot \alpha^y=\sum_{x=0}^\infty \alpha^x\cdot\left(\sum_{y=0}^\infty \alpha^y\right)=\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)^2

a mértani sor összegzőképlete szerint. A feladatokhoz pedig a P(x) polinomot rendelhetjük, amiről tudjuk, hogy van -1 és +1 között nemnulla gyöke, és tükrözi a zsetonok változását, azaz erre redukálódik a (*) egyenlet egy lépésnyi változás során. A VV-s példában ez a polinom P(x)=2x1-1 volt.

Aki ismer további alkalmazásokat erre a módszerre, örömmel olvasnám azokat.

Előzmény: [3771] Micimackó, 2013-08-07 13:22:20
[3773] aaaa2013-08-07 21:04:37

b)-re butaság, az pozitív egészekre igaz.

Előzmény: [3772] aaaa, 2013-08-07 20:19:50
[3772] aaaa2013-08-07 20:19:50

a) ez ekvivalens n2 darab eredeti feladatbeli (kezdőhelyzet)->(véghelyzet) lehet-e kérdés megválaszolásával.

b) pl. (1;1)-re raksz, erre nem tudod az operációt alkalmazni.

Előzmény: [3770] w, 2013-08-03 14:03:32
[3771] Micimackó2013-08-07 13:22:20

Megsúlyozzuk a mezőket, hogy egy érme mindig egyet érjen. Így 4 mező van, amiből 2-t akarunk üresen és két érmét akarunk a Fálesz verzióban, így ez nem lehet. A b) résznél még a szélső sorra és oszlopra is figyelni kell, mert ott is marad kis plusz üres terület és így nem lesz elég hely.

Előzmény: [3768] w, 2013-08-02 22:28:38
[3770] w2013-08-03 14:03:32

Egyetértek, csak az eredeti feladatot akartam kitűzni. Lehetne bőven variálni a dolgokat: keressünk kezdő- és célhelyzeteket az (x,y)\to (x+n,y), (x,y+n) operációra (előbbiből leveszünk, utóbbiakra rárakunk egy-egy zsetont) stb.

Megkérdezném (a feladatot még nem gondoltam át): az (x,y)\to (x+1,y+1), (x-2,y-1) hasonló változatban legalább hány zsetont kell {(x,y): x,y egész} halmazra rakni, hogy sehogy se lehessen elérni, hogy mondjuk az (1,1)(1,10)(10,10)(10,1) négyzetben ne legyen zseton.

Előzmény: [3769] Fálesz Mihály, 2013-08-03 05:45:44
[3769] Fálesz Mihály2013-08-03 05:45:44

Nem értem, hogy az (a) rész miért ennyire bonyolult. Szerintem elég lenne három pont: (0,0), (1,0) és (0,1). Ha kezdetben csak ezeken van zseton, akkor akárhány lépés után is lesz legalább az egyiken.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3768] w2013-08-02 22:28:38

Igen, de miért "nem férnek el"?

Előzmény: [3767] Micimackó, 2013-08-02 21:06:06
[3767] Micimackó2013-08-02 21:06:06

Nekem úgy tűnik nem lehet, mert nem férnek el. Az első bőven nem fér el (nem is marad elég hely a táblán), a másodikhoz már lenne elég hely, de nincs jól elosztva. Úgyhogy szerintem nem lehet.

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42
[3766] w2013-08-01 13:22:40

y=t\sqrt3

cosinustétel miatt ábra

T=\frac{xt*1/2}2+\frac{zt}2+\frac{xz*\sqrt3/2}2=4*3/2

(sinustétel)

4\sqrt3T=24\sqrt3=xy+2yz+3xz

Előzmény: [3765] Lóczi Lajos, 2013-08-01 11:04:27
[3765] Lóczi Lajos2013-08-01 11:04:27

A célkifejezés négyzete azonosan egyenlő a nullára rendezett feltételi egyenletek egy másodfokú polinomjával. A konstans tag 1728-nak adódik, innen egy gyökvonás.

Előzmény: [3762] w, 2013-07-31 12:57:17
[3764] w2013-08-01 10:39:30

Többnyire. Geometriai megfontolások teendők; legyen y2/3=t2, t>0 \implies y2/3+z2=t2+z2=32 Pitagorasz-tétel. A többi már egyértelmű.

Előzmény: [3763] rizsesz, 2013-07-31 15:34:52
[3763] rizsesz2013-07-31 15:34:52

Egy haromszog es az izogonalis pontja.

Előzmény: [3758] w, 2013-07-29 14:59:01
[3762] w2013-07-31 12:57:17

És a bizonyítás (computer algebra nélkül)?

Előzmény: [3761] Lóczi Lajos, 2013-07-31 12:05:29
[3761] Lóczi Lajos2013-07-31 12:05:29

24\sqrt{3}.

Előzmény: [3758] w, 2013-07-29 14:59:01
[3760] w2013-07-30 21:24:23

Nem onnan vettem.

Előzmény: [3759] jonas, 2013-07-30 21:01:28
[3759] jonas2013-07-30 21:01:28

Ez a feladat ismerős. Nem szerepel véletlenül Csákány Béla: Diszkrét matematikai játékok könyvében?

Előzmény: [3757] w, 2013-07-27 22:52:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]