Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3836] Loiscenter2014-02-19 23:02:31

köszönöm szépen azt hittem hogy nincs vége!

Előzmény: [3835] jonas, 2014-02-19 14:42:13
[3835] jonas2014-02-19 14:42:13

Szerintem ez a szám a 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, mert

6.1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966=

6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796

Előzmény: [3833] Loiscenter, 2014-02-19 11:22:10
[3834] jonas2014-02-19 14:29:40

Ilyesmit néztünk korábban ugyanebben a témában a [2271] hozzászólástól kezdve.

Előzmény: [3833] Loiscenter, 2014-02-19 11:22:10
[3833] Loiscenter2014-02-19 11:22:10

szürgös:

Egy 6-ra végzödö szám ultolsó jegyét elhagyjuk. Ezt a szám elsö jegye elé irjuk. Az igy kapott szám hatsorosa az eredetinek. Melyik ez a szám? (azaz 6B = B6 . 6 ?)

[3832] Sinobi2014-02-11 16:29:21

Sinobi: "b, Bizonyítsd be, hogy ha van egy parabolán három pontpár (húr), amelyek felezőmerőlegesei egy ponton mennek át, akkor ha a hat pontot a parabola tengelyirányában elaffinítjuk, akkor az így kapott pontok felezőmerőlegesei is egy ponton fognak átmenni."

Azota sem tudom. Kedvcsinalonak egy hasonlo, de nagyon egyszeru feladat:

Ha van egy parabolan egy ABCD hurnegyszog, azaz barmelyik 2 pont felezomerolegese atmegy egy O ponton, akkor ha a hurnegyszoget a parabola tengelyiranyaban affinitom, akkor az A'B'C'D' pontnegyes is hurnegyszog lesz, azaz barmelyik ket pont felezomerolegese at fog menni O'-n.

Ez ugyan kovetkezik az elozo allitasbol, de azt nem tudom belatni, meg egyszerubben is kijon.

Előzmény: [3795] Sinobi, 2013-10-12 01:30:53
[3831] w2014-02-04 21:38:37

Az a) részt régi orosz versenyfeladat, a b) pedig egy kis gyakorlat, amit pont ennek a feladatnak az ötlete alapján találtam ki. :-)

Előzmény: [3830] Fálesz Mihály, 2014-02-04 20:43:33
[3830] Fálesz Mihály2014-02-04 20:43:33

Egy kapcsolódó feladat 2007-ből:

A. 429. Határozzuk meg mindazokat az egész együtthatós f(x) és g(x) polinomokat, amikre f(g(x))=x2007+2x+1.

A tanulság valami olyasmi, hogy polinomba polinom \implies deriválás... :-)

Előzmény: [3829] w, 2014-02-03 23:18:11
[3829] w2014-02-03 23:18:11

550. feladat. (körülbelül)

a) Vannak-e olyan f,g,h másodfokú polinomok, melyekre az f\left(g\left(h(x)\right)\right) polinom pontosan az 1,2,3,4,5,6,7,8 helyeken nulla?

b) Határozzuk meg azokat az f,g,h polinomokat, melyekre f\left(g\left(h(x)\right)\right)=x^8-1.

[Ezek nem nehéz, de érdekes feladatok. Ha eddig nem lett volna világos, aki ismeri őket, ne lője le. Aki maga megoldotta a feladatot, annak viszont szívesen látom megoldását.]

[3828] Loiscenter2014-01-29 00:47:03

1. legyen x=y=0 => f(0) = 0; 2) legyen x=y => 4f(x)[ f(x) - x.x] = 0 => vagy f(x) = 0 vagy f(x)=x.x külön x értékre

3) minden t# 0 esetére ha f(t) = t.t # 0 => legyen x=0, y=t => f(t).f(-t) =f(t)f(t) => f(-t) = f(t)=t.t; ha f(t) = 0 => legyen x=0, y=-t => f(t).f(-t) =f(-t)f(-t) => f(-t) = f(t)=0 összefoglalva f(-x)=f(x) minden x estére.

4) Ha létezik a# 0 ugy , hogy f(a)=0 => akkor minden t# 0 esetére legyen x=t, y=a => f(t+a)f(t-a) = f(t)f(t) legyen x=a, y=t => f(t+a)f(a-t) = f(t)f(t) - 4a.a.f(t) Mivel f(t-a) = f(a-t) => 4a.a.f(t) = 0 => f(t)=0

összegezve : f(x)=0 és f(x) = x.x; a két valosfüggvény , amely teljesiti a feltételt.

(Prof. Hung Son Nguyen - Varso egyetemból)

Előzmény: [3827] Loiscenter, 2014-01-28 20:46:14
[3827] Loiscenter2014-01-28 20:46:14

tényleg nincs folytonosság! igy csak 0 vagy x.x maradt! hogy tovább?

Előzmény: [3825] nadorp, 2014-01-28 15:33:25
[3826] w2014-01-28 15:37:28

Keresd meg az összes olyan f:R\toR függvényt, melyre f(x)2=1 teljesül minden x-re.

Előzmény: [3824] Loiscenter, 2014-01-28 15:17:44
[3825] nadorp2014-01-28 15:33:25

Ez így egy kicsit hiányos.

Ugyanis abból, hogy minden x-re f2(x)=x2f(x) teljesül, csak az következik, hogy f(x)=0 vagy f(x)=x2, de ez még nem zárja ki azt, hogy pld f(2)=4 és f(5)=0 egyszerre teljesüljön.

Előzmény: [3824] Loiscenter, 2014-01-28 15:17:44
[3824] Loiscenter2014-01-28 15:17:44

Legyen x=y=0 akkor f(0)=0 . legyen x=y igy f(2x)f(0)=4f(x)f(x) -4x.x.f(x) mivel f(0)=0 ezért 4f(x)f(x)-4x.x.f(x)=0 téhats f(x)=0 vagy f(x)=x.x . ellenörizve igaz mind.( bocsi nem tudtam hatványt irni)

Előzmény: [3822] w, 2014-01-27 22:06:36
[3823] Ménkűnagy Bundáskutya2014-01-27 22:57:22

Ez tetszik, jóféle. :)

Előzmény: [3822] w, 2014-01-27 22:06:36
[3822] w2014-01-27 22:06:36

Egy "vicces" függvényegyenlet.

Keressük meg az összes f:R\toR függvényt a következő tulajdonsággal:

f\left(x+y\right)f\left(x-y\right)=\left(f(x)+f(y)\right)^2-4x^2f(y)\qquad\qquad\forall x,y\in R.

[3821] aaaa2014-01-26 22:07:48

Ebből még az is következik, hogy:

\lim_{n\to\infty}\frac{|F_n|}{\sqrt{n}}=1\qquad |F_n|-\sqrt{n}=\Theta\left(n^{1/3}\right)

Ugyanis n\geq64-re \sqrt{n}+n^{1/3}-n^{1/6}<|F_n|, mert van legalább egy 5-ik hatvány, egyébként finomítva a becslésedet (prímedik hatványokra elég nézni az összeget):

|F_n|\leq 1+\sum_{p<\log_2n} n^{1/p}=1+\sqrt{n}+n^{1/3}+c\cdot n^{1/5}\frac{\log_2 n}{\log\log_2 n}

Ugyanis n-ig a prímek száma kb c\frac{n}{\log n}, ebből látszik, hogy elég nagy n-re

\sqrt{n}+n^{1/3}(1-\varepsilon_1)<|F_n|<\sqrt{n}+n^{1/3}(1+\varepsilon_2)

Előzmény: [3817] Ménkűnagy Bundáskutya, 2014-01-26 15:42:40
[3820] w2014-01-26 21:23:19

Az a sor talán jobban érthetően:

|F_n|\le1+\sum_{k=2}^{[\log_2 n]}n^{1/k}

után ugye n1/k\len1/2 igaz minden k\ge2-re, vagyis az összeg minden tagját (ebből [log2n]-1 darab van) n1/2-re cserélve ez kisebb, mint 1+n^{1/2}\cdot\left([\log_2 n]-1\right)<1+n^{1/2}\log_2 n.

Előzmény: [3819] Loiscenter, 2014-01-26 20:25:37
[3819] Loiscenter2014-01-26 20:25:37

a bizonyitasod tényleg nagyon jonak latszik, csak még nem latom hogy egyenlötlenség masodik része miért ?

Előzmény: [3817] Ménkűnagy Bundáskutya, 2014-01-26 15:42:40
[3818] Loiscenter2014-01-26 20:14:21

nagyon szép a magyarazat! köszönöm szépen!

Előzmény: [3816] aaaa, 2014-01-26 02:07:38
[3817] Ménkűnagy Bundáskutya2014-01-26 15:42:40

Azt hiszem, van egyszerűbb is.

Az n-nél kisebb k. hatványok száma legfeljebb n1/k. Itt a k legfeljebb log2n lehet: eltekintve az 1-től a 2 log2n. hatványával még számolni kell, többel biztosan nem. Azaz

|Fn|\leqn1/2+n1/3+...+n1/log2n+1\leqn1/2log2n+1,

ami n-nel osztva nyilván 0-hoz tart.

Előzmény: [3815] aaaa, 2014-01-26 01:23:52
[3816] aaaa2014-01-26 02:07:38

Természetesen \tau=\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{\varepsilon-\varepsilon^k}{1-\varepsilon+\varepsilon^k}\right)>0 választással élünk.

Előzmény: [3815] aaaa, 2014-01-26 01:23:52
[3815] aaaa2014-01-26 01:23:52

Gondolom azt szeretnéd kérdezni, hogy ha Fn={n-nél kisebb hatványszámok}, akkor mi lesz

\lim_{n\to\infty}\frac{|F_n|}{n}

Lemma 1. \forall\varepsilon,\delta>0\existsk0, hogy k>k0 esetén:

\left|\sum_{i=k}^{[k(1+\varepsilon)] }\frac{1}{i}-\log(1+\varepsilon)\right|<\delta

Ez a szokásos integrálós becslésből kijön, legyen ez házi feladat.

Lemma 2. Ha ai pozitív egészek egy növekvő részsorozata, és \sum a_i^{-1}<\infty, akkor n-1|An|\to0, ha n\to\infty, ha An={ai|ai<n}

Indirekt, tegyük fel, hogy nem áll fent a bemutatott egyenlőség, vagyis létezik olyan \varepsilon, hogy |An|>\varepsilonn végtelen sokszor. Ha nincs ilyen, akkor pont azt kaptuk, amit akartunk. Legyen H_\varepsilon az ilyen n-ek halmaza, ekkor |H|=|N|, vegyük tehát egy olyan bi részsorozatát, ami tudja azt, hogy \varepsilonkbi>bi-1, valamely k>2 egészre. Ekkor Abi>\varepsilonbi miatt a [0,bi-1] intervallumba maximum bi-1<\varepsilonkbi<Abi\varepsilonk-1 darab eshet, szóval elég kevés szám, vagyis a számok legalább 1-\varepsilonk-1-edrésze a jó intervallumba esik. De ekkor az ide eső számok reciprokösszegére alsó becslést ad, ha az intervallumba eső legkisebb számokat vesszük, ebből legalább Abi-Abi-1=bi(\varepsilon-\varepsilonk-1) darab van:

\sum_{a_j\in]b_{i-1},b_i]}\frac{1}{a_j}\geq\sum_{i=[b_i-b_i \varepsilon+\varepsilon^k]}^{b_i}\frac{1}{i}\geq \log\left(1+\frac{\varepsilon-\varepsilon^k}{1-\varepsilon+\varepsilon^k}\right)-\delta

Az első lemma alapján. De legyen b1 akkora, hogy \delta<\tau:=\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{\varepsilon^k}{1-\varepsilon+\varepsilon^k}\right) teljesüljön, így azt kaptuk, hogy \sum_{a_j\in]b_{i-1},b_i]}\frac{1}{a_j}\geq \tau>0 De ekkor

\sum_{a_i<b_k} a_i^{-1}=\sum_{j=1}^{k}\sum_{a_i\in]b_{j-1},b_j]}\frac{1}{a_j}\geq\sum_{j=1}^{k}\tau=k\tau

Viszont így a reciprokösszeg nem lehet véges.

Lemma 3. A hatványszámok reciprokösszege kisebb, mint 2. Nézzük ugyanis a kövezkező összeget:

1+\sum_{i=2}^\infty\sum_{j=2}^\infty i^{-j}=1+\sum_{i=2}^\infty\frac{1}{i(i-1)}=2

Viszont ab szerepel az a számhoz tartozó részlegösszegben, szóval a hatványszámok reciprokösszege véges.

Lemma 3 miatt teljesül Lemma 2. feltétele, így a hatványszámok felső sűrűsége 0 az egészek körében.

Előzmény: [3814] Loiscenter, 2014-01-24 20:30:06
[3814] Loiscenter2014-01-24 20:30:06

Hatványszámok valoszinüsége természetes számok körében?

[3813] w2013-11-10 17:40:47

a 13 hatványai és az 1 páratlan :-)

Előzmény: [3812] csábos, 2013-11-10 17:31:27
[3812] csábos2013-11-10 17:31:27

Ügyes, köszi!

Az ahol l tehát páros honnan látszik?

Előzmény: [3811] w, 2013-11-10 16:59:08

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]