Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3886] Róbert Gida2014-06-18 17:36:06

Úgy emlékszem Szalay Mihály Számelmélet könyvében is benne van.

Előzmény: [3885] csábos, 2014-06-18 16:48:05
[3885] csábos2014-06-18 16:48:05

a) Freud könyv 7.7.2. Tétel

b) ugyanott 7.7.5/b feladat

Előzmény: [3884] w, 2014-06-17 11:48:40
[3884] w2014-06-17 11:48:40

Oldjuk meg a következő diofantoszi egyenleteket:

a) &tex;\displaystyle a^4+b^2=c^4&xet;,

b) &tex;\displaystyle a^4+b^4=c^2&xet;.

[3883] w2014-06-17 11:47:27

&tex;\displaystyle \frac34&xet;-nek tűnik...

Előzmény: [3882] pelike, 2014-04-20 11:25:09
[3882] pelike2014-04-20 11:25:09

Egy egyszerű, de "mindennapi élethez köthető" feladat:)

A "Kérem a következőt!" című vetélkedőben egy kör 4 kérdést tartalmaz, minden kérdésre 2 válaszlehetőséggel. Egy kör sikeres, amennyiben legalább 3 jó válasz érkezik.

Tegyük fel, hogy Játékosunk pontosan 2 kérdésre tudja a választ és azokra a kérdésekre, amelyekre nem tudja a választ, semmilyen háttér információja sincs, tehát vakon tippel.

Mekkora eséllyel veszi sikerrel a kört Játékosunk?

[3881] HoA2014-04-15 13:22:43

&tex;\displaystyle f(2013) = 3852&xet; :-)

Előzmény: [3880] juantheron, 2014-04-15 05:52:56
[3880] juantheron2014-04-15 05:52:56

Sorry actually original question is

If &tex;\displaystyle f:N\rightarrow N&xet; and &tex;\displaystyle f(f(x)) = 3x&xet;, Then &tex;\displaystyle f(2013)&xet;

Előzmény: [3879] juantheron, 2014-04-15 05:51:39
[3879] juantheron2014-04-15 05:51:39

If &tex;\displaystyle f:R\rightarrow R&xet; and &tex;\displaystyle f(f(x)) = 3x&xet;, Then &tex;\displaystyle f(2013)&xet;

[3878] w2014-03-31 19:03:17

Egy szép kis saját feladat:

Van-e olyan injektív &tex;\displaystyle f(x)&xet; valós függvény, amihez vannak olyan &tex;\displaystyle a,b>0&xet; konstansok, melyek esetén bármely valós &tex;\displaystyle x&xet;-re

&tex;\displaystyle f\big(x^2\big)-\left(f(ax+b)\right)^2\ge \frac14&xet;

teljesül?

[3877] jonas2014-03-28 11:35:01

Fixpontmentes permutációk száma: A000166.

Előzmény: [3875] Micimackó, 2014-03-25 23:26:34
[3876] csábos2014-03-28 11:18:46

&tex;\displaystyle n&xet; elem fixpontmentes permutációinak SZÁMÁNAK paritása ellentétes &tex;\displaystyle n&xet; paritásával.

Előzmény: [3875] Micimackó, 2014-03-25 23:26:34
[3875] Micimackó2014-03-25 23:26:34

Adott n-re, mennyi az n elemű halmaz fixpont mentes permutációinak paritása?

[3874] jonas2014-03-13 21:14:40

Úgy értem, az (a) és (b) feladat az, hogy mennyi a lépések számának várható értéke, és miért független ez a stratégiától.

Előzmény: [3873] jonas, 2014-03-13 21:13:23
[3873] jonas2014-03-13 21:13:23

Helyes, a véges várható érték. Akkor most jön a megoldás trükkösebb része.

Rögztsük a játékos egy stratégiáját. Jelölje Fn a játék állapotát n lépés után. Ez tartalmazza a játékos által kiválasztott két golyót és a játékvezető érmedobását az első n lépésben.

Legyen Xn az a szám, ahányféleképpen a játékos megválaszthatná a két különböző golyót az (n+1)-edik lépésében. Azért számozom így, mert Xn az Fn függvénye. Nyilván X0=n(n-1), mivel a kezdőhelyzetben bármely két golyó különböző. Feltéve, hogy a játék n lépés után még nem ért véget, számoljuk ki az E(Xn+1-Xn|Fn) feltételes várható értéket!

Ha ez megvan, akkor alkalmazzuk a martingál megállási tételt egy megfelelő martingálra, és ezzel oldjuk meg az (a) és (b) feladatot.

Előzmény: [3872] Róbert Gida, 2014-03-13 17:22:28
[3872] Róbert Gida2014-03-13 17:22:28

Nem jött megoldás, így lelövöm. Kezdetben n szín van, a játék véget ér, ha egy szín marad. Tetszőleges n2 egymásutáni fordulóban (1 forduló amikor 2 golyót a játékvezetőnek adunk és 2-t visszakapunk) van olyan szín ami legalább n-szer szerepel az odaadott golyószínek között (skatulyaelv, sőt van ami legalább 2n-szer), és legfeljebb persze n2-szer (mindez stratégiától függetlenül igaz). Ha ezen fordulók mindegyikében pont a másik színből adott vissza a játékvezető, akkor ebből a színből több nem marad (és később sem jöhet "vissza" a szabályok miatt). Ennek valószínűsége legalább r=\frac{1}{2^{n*n}}. Nézzünk n-1 egymásutáni blokkot, azaz n2 hosszú fordulót, ha minden blokkban vesztünk egy színt, akkor a játék természetesen véget ér, ennek a valószínűsége legalább q=rn-1. Azaz annak a valószínűsége, hogy n2(n-1) fordulóban befejeződik a játék legalább q, így annak a valószínűsége, hogy nem fejeződik be a játék legfeljebb s=1-q<1.

Ebből már készen vagyunk, mert ekkor Pr2(m)=Pr(játék m lépésben nem fejeződik be)<c*pm, ahol c>0,p<1 (Miért is? Bontsuk fel az m fordulót n2(n-1) hosszú fordulókra, bármelyiket is választjuk legfeljebb s<1 valószínűséggel nem ér benne véget a játék, így m forduló után is játszunk legfeljebb s^{\frac {m}{n^2(n-1)}-1}<c*p^m valószínűséggel .)

Legyen Pr1(m)=Pr(játék pontosan m lépésben ér véget), ekkor E=\sum_{m=1}^{\infty}m*Pr1(m)=\sum_{m=0}^{\infty}Pr2(m)<\sum_{m=0}^{\infty}c*p^m=\frac{c}{1-p}, azaz véges a várható érték, stratégiától függetlenül.

Sőt itt valamivel többet is beláttam, hiszen c,p csak n-től függött (de a stratégiától nem), azaz létezik v(n) véges szám, hogy a várható érték kisebb, mint v(n). Itt v(n) egyébként ki is számolható.

Előzmény: [3871] jonas, 2014-03-12 10:10:43
[3871] jonas2014-03-12 10:10:43

Hadd szedjem külön a feladat első részét.

(c) Lássuk be, hogy bármilyen stratégiával játszol is, a lépések számának várható értéke véges.

Előzmény: [3870] jonas, 2014-03-11 21:03:52
[3870] jonas2014-03-11 21:03:52

Ezt a feladatot nem volt jó ötlet ezen a fórumon feladnom, mert a megoldásához túl sok előismeret kell. A középiskolás fórumozóktól ezért elnézést kérek.

Előzmény: [3861] jonas, 2014-03-09 16:36:46
[3869] jonas2014-03-11 17:42:59

Aha, értem! Bocsánat, hogy nem fogalmaztam egyértelműen. Valóban, a játékvezető nem adja vissza a két golyót, amit odaadtál neki, így minden lépés után pontosan n golyó lesz nálad.

Előzmény: [3868] Róbert Gida, 2014-03-11 17:28:14
[3868] Róbert Gida2014-03-11 17:28:14

Jó a megoldásom, csak egy másik feladatra. Az persze számomra nem volt világos, hogy a játékvezető a két golyót lenyúlja amit odaadsz neki, így persze nálad mindig n golyó lesz, az én feladatomban pedig minden lépés után 2-vel több.

Előzmény: [3867] jonas, 2014-03-11 11:46:28
[3867] jonas2014-03-11 11:46:28

A számok, amiket megadtál, szerintem nem stimmelnek. n=3 esetén az első lépés után három golyóból két egyforma színű, és egy különböző lesz. Ez után minden további lépés után 1/2 valószínűséggel nyertél, 1/2 valószínűséggel visszajutsz egy hasonló állapothoz, csak most a másik színből van két golyód, mint az előbb. Így aztán biztosan legalább 2 lépés kell a nyerésig, nem 1, mint a táblázatban mutatod. Nem nehéz belátni, hogy a lépések várható száma pontosan 3.

Látható, hogy n=3 esetén még lényegében nincs választásod a játék során. A következő, n=4 esetben már van választásod. Például ha az első lépés után két fehér, egy sárga, és egy piros golyód van, akkor kétféleképpen dönthetsz. Odaadhatod a játékvezetőnek a sárga és a piros golyót, ez a kevésbé kockázatos stratégia, mert ekkor legközelebb biztosan két fehér és két másik azonos színű golyód van. Vagy kockáztathatsz, odaadva a játékvezetőnek egy fehér és egy sárga golyót, ekkor 1/2 valószínűséggel már három fehér golyód lesz, amivel közelebb jutottál a nyeréshez; de 1/2 valószínűséggel két sárga, egy fehér és egy piros golyód lesz, amivel helyben maradtál.

Te választod meg a stratégiát, de a feladat kitűzésében azt állítottam, hogy a lépések számának várható értéke bármely stratégia esetén ugyanannyi.

Előzmény: [3864] Róbert Gida, 2014-03-10 21:20:33
[3866] Róbert Gida2014-03-10 21:47:50

Nagyobb n-ekre megnézve látszik, hogy \frac {a(n)}{n} tart 1-hez, ami nagyon igaznak tűnik. Például a(1000) kb. 974.7749818216391980931583112 .

Előzmény: [3865] Róbert Gida, 2014-03-10 21:39:02
[3865] Róbert Gida2014-03-10 21:39:02

Optimális stratégiával a sorozat első 20 tagja (Neil adatbázisában nincs benne a számlálók sorozata, a nevezők 2 hatványok)

1 0

2 1

3 1

4 5/2

5 5/2

6 33/8

7 33/8

8 93/16

9 93/16

10 965/128

11 965/128

12 2379/256

13 2379/256

14 11333/1024

15 11333/1024

16 26333/2048

17 26333/2048

18 480429/32768

19 480429/32768

20 1079775/65536

Előzmény: [3864] Róbert Gida, 2014-03-10 21:20:33
[3864] Róbert Gida2014-03-10 21:20:33

"Minden lépésben megnézed a golyókat"

"A várható érték miért ugyanannyi függetlenül attól, hogy melyik golyókat választod?"

Játszhatok egy stratégia szerint, vagy véletlenül kell a golyókat kiválasztanom? Optimális stratégiával O(n) lesz a válasz: mindig a két eddig legtöbbet kihúzott színt választom (ha több lehetőség van, akkor véletlenül döntök a leggyakoribbak közül), ez persze mese eddig, hogy miért is ez lenne az opt. Várható értéket sem mutatja, de sokkal könnyebben kiszámítható ezzel a várható érték.

Míg hülyén játszva O(n2). Teljesen véletlenül játszva is érdekes (lehet) a feladat.

Előzmény: [3861] jonas, 2014-03-09 16:36:46
[3863] jonas2014-03-10 07:35:16

Igen, veheted úgy, hogy a játékvezető csukott szemmel választ egyet. Én úgy képzelem, hogy egy golyót a játékvezető jobb kezébe adsz, egyet a bal kezébe. Ezután ha a játékvezető fejet dob, akkor két olyat ad vissza, amilyen a bal kezében van, ha írást, akkor két olyat, ami a job kezében van.

Előzmény: [3862] BohnerGéza, 2014-03-10 03:13:18
[3862] BohnerGéza2014-03-10 03:13:18

Nem értem biztosan a feladatot. Ki dönti el, melyik az egyik illetve másik? Azt akarja jelenteni, amit így kapunk?

... A két kiválasztott közül csukott szemmel választ egyet és két ilyen színű kerül vissza. ...

n=1 esetén 0, n=2 esetén 1 a várható érték. A többi néhány esetet ehhez jobban értőkre bízom!

Előzmény: [3861] jonas, 2014-03-09 16:36:46

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]