Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[386] Hajba Károly2004-05-30 19:52:40

Kedves László!

Gratula, a feladat megoldva. Ti. a séta mindennapos esemény, így már másnap kimegy az első és kezdődhet a kapcsolgatás, továbbá a kapcsoló tényleg kezdetben lekapcsolt állapotban van, így ez nem probléma.

Ezzel kapcsolatban eszembe jutott egy bónusz kérdés.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy pontosan 1, 2, .. stb. év múlva milyen valószínűséggel lesznek még benn a rabok. (Szökőnapokat praktikusan nem vegyük számításba.)

HK

Előzmény: [385] lorantfy, 2004-05-30 19:04:39
[385] lorantfy2004-05-30 19:04:39

Kedves Károly!

Kösz a biztatást!

Megörültem, hogy Gyuri a feladatba beleírta, hogy tfh. a kapcsoló le van kapcsolva, de nyilván foglalkozni kell azzal az esettel is ha először felkapcsolt helyzetben van.

Azt hiszem erre az lenne a legjobb megoldás, hogy a megbeszélésen ne jelöljenek ki egy fix számoló embert, hanem kimondják, legyen az a számoló akit a megbeszélés utáni első nap visznek ki sétálni. Mikor kimegy lekapcsolt helyzetbe állítja a kapcsolót és kezdődhetnek a számolási körök.

Ha a kapcsoló alaphelyzete nem ismert és előre kijelölik a számláló embert, akkor az a probléma, hogy amikor először kijut a számláló és azt látja, hogy a kapcsoló fel van kapcsolva, nem tudja, hogy ez volt a kapcsoló alaphelyzete, vagy az első ember kapcsolta fel. Így a számolás 1-el csúszhat.

Erre az a megoldás, hogy megbeszélik előre, hogy akit a megbeszélés utáni első nap visznek ki, az mindenképpen fel állásba állítja a kapcsolót akárhogy is állt és többször nem kapcsol ha máskor kiviszik sétálni.

Még egy probléma lehet, ha a rabok nem tudják előre, hogy a megbeszélés után hányadik naptól kezdve visznek ki minden nap egy embert sétálni.

Ekkor, akit pl a 2. napon visznek ki sétálni, azt gondolhatja, lehet, hogy ő az első. Ezen még gondolkodom.

Előzmény: [384] Hajba Károly, 2004-05-30 17:11:08
[384] Hajba Károly2004-05-30 17:11:08

Kedves László!

A feladat lényegét már megoldottad, csak a kezdeti ún. "peremfeltételeket" kellene még tisztázni. Ki lesz a kijelölt ember, milyen állapotban van kezdetben a kapcsoló és ezt ki kapcsolta oda. Mi történik addig, míg először kiengedik a kijelölt embert?

Üdv: HK

Előzmény: [383] lorantfy, 2004-05-30 13:55:14
[383] lorantfy2004-05-30 13:55:14

82.feladathoz: Mivel csak egy kétállású kapcsolónk van, ezzel csak 1 embert lehet "megszámolni" azután vissza kell állítani alaphelyzetbe. Tehát ki kell jelölni egy nullázó-számlázó embert a rabok közül. Ezenkívül megegyeznek, hogy minden ember csak egyszer kapcsolhatja fel a kapcsolót, de csak akkor ha a sétája során lekapcsolva találja.

Így a számláló ember két sétája között, ha kiengednek egy új embert is, akkor az felkapcsolja a kapcsolót. A számláló ember a következő sétáján megnézi a kapcsolót, ha felkapcsolva találja, akkor növeli eggyel a már kiengedett rabok számát és lekapcsolja a kapcsolót, ha lekapcsolva találja, akkor nem járt kint közben új ember.

Tudja, hogy a rabok száma n, így n-1-nél már szólhat, hogy mindenki járt kint.

Hát, elég sokáig eltarthat a dolog, de mivel minden rab csak egyszer kapcsolhatja fel a kapcsolót, a számláló előbb-utóbb eljut n-1-ig és akkor kiszabadulnak.

Előzmény: [361] Gyuri, 2004-05-24 14:08:19
[382] Hajba Károly2004-05-30 13:42:42

83. feladat:

Vizsgáljuk meg a következő állítások igazságtartalmát:

a) Ez a mondat igaz.

b) Ez a mondat hamis.

Nos? :o)

HK

[381] Hajba Károly2004-05-28 10:59:37

Kedves Csimby!

Ne is mond el a választ, gondolkodom rajta, s a gondolataimat leírom. Az eddigi termés:

Egy N+ szám nem lehet négyzetszám, ha (N mod 5)=(2, 3). Azaz, ha egy szám 5-tel történő osztásának maradéka 2 vagy 3, nem lehet négyzetszám. (Remélem jól írtam fel a képletet.) Gyakorlatilag, ha 2, 3, 7, 8-ra nem végződhet négyzetszám.

Ez az utolsó számjegy vizsgálata, de tovább lehet finomítani, ha nem egy, hanem 2 vagy több utolsó számjegyet vizsgálunk. Például, ha az utolsó 2 jegyet vesszük, akkor a 100 lehetőségből 22 lehet négyzetszám, ciklikusan, huszas eltolással, de ezek vége sem lehet a fenti négy szám.

Másik oldalról a sorozat utolsó jegyeire is kellene találni valami törvényszerűséget, melyet összevethetünk az előbbiekkel. Hát itt még nem sok mindent találtam. Paritása: -, -, +, -, -, +, ... A számok rendjére még nincs semmi ötletem. Minden csűrés-csavarás után visszakapom az eredeti sor jellegét.

Ha van valami ötleted, szólj.

Üdv: HK

Előzmény: [367] Csimby, 2004-05-25 22:53:41
[380] Hajba Károly2004-05-26 15:10:53

Kedves Gyuri!

81. feladathoz

Van egy ötletem az 5 lépéses megoldásra, de sem időm, sem türelmem nincs jelenleg a kidolgozásra. Tehát:

Az 1. lépésben vagy átlósan vagy szomszédosan megvizsgálom a kapcsolók állapotát, de nem változtatok rajta. A 2. lépésben a másik módon vizsgálom meg, így két kapcsolóról konkrét adatom van, de egy harmadikról is lehet elég sok infóm, sőt bizonyos esetekben még a 4.-ről is. Ezek ismeretében a 2. lépésben úgy kapcsolok, hogy Syllabus 7 lépéses módszerének középállapotához jussak. Innen 1-2-1 és kész. Természetesen minden állapot megvizsgálása nélkül nem tudom, hogy mindenképpen el tudok-e ide jutni a 2. lépés során.

Üdv

PS. A hálón szokásos illemszabály szerint teljes nyugalommal tegeződhetünk. :o)

Előzmény: [378] Gyuri, 2004-05-26 14:14:36
[379] syllabus2004-05-26 15:06:19

Valóban a megoldás során nem vizsgáljuk, hogy milyen állapotban fogjuk meg a kapcsolókat.

Bármilyen állapotban is vannak, ezután a 7 kapcsolás után biztosan kinyílnak.

Esetszétválasztással valóban 5 lépésben kinyitható az "ördöngős lakat". :)

Előzmény: [377] Gyuri, 2004-05-26 13:40:35
[378] Gyuri2004-05-26 14:14:36

Kedves Syllabus!

Megértettem a megoldásukat, hibátlan. 1-2-1 vagy kinyitja a zárat, vagy 3. vagy 4. állapotba viszi. 3 pedig 1. vagy 2. állapotba visz. Ezután 1-2-1 újra, s nyitva a zár.

Mindenesetre várom az 5 lépéses megoldást is :)

Szintén a 81-es feladathoz lenne hozzáfüznivalóm. Legyen L db lyuk a kapcsolón, és K db kezünk! A megoldást sajnos nem tudom. Annyit csak, hogy prím L esetén K-nak legalább L-1 -nek kell lennie, hogy biztosan nyitható legyen a zár. Továbbá páros L esetén K=L-2 is elég. Ha mondjuk s()-sel jelölöm a minimálisan szükséges kezek számát a lyukak számának függvényében, akkor: s(3)=2, s(4)=2, s(5)=4, s(6)=4, s(7)=6 de pl. s(8)=?

[377] Gyuri2004-05-26 13:40:35

Kedves Syllabus!

Bevallom, nem tudom :) Mindenesetre 5 lépésböl is ki lehet nyitni!

Üdv szintén!

Előzmény: [376] syllabus, 2004-05-26 13:05:50
[376] syllabus2004-05-26 13:05:50

Kedves Gyuri!

Onogur kiegészítésével megszületett 373-as hozzászólásban megadott megoldás nem jó?

Üdvözlet!

Előzmény: [374] Gyuri, 2004-05-26 12:40:20
[375] Gyuri2004-05-26 12:43:45

Kedves Onogur!

A 82-eshez való hozzászólását köszönöm. Pontosan ez a helyzet!

Előzmény: [364] Hajba Károly, 2004-05-25 10:07:53
[374] Gyuri2004-05-26 12:40:20

Kedves Syllabus!

81-eshez: Érezzük azt is, hogy melyik kapcsoló melyik állásban van. Mondjuk kitapinthatjuk, hogy 0 vagy 1 az állapota. És véges algoritmus kell!

Előzmény: [365] syllabus, 2004-05-25 21:36:12
[373] syllabus2004-05-26 09:53:26

Köszi Onogur az észrevételt! Valóban, a 2. esetet még vissza kell vezetni az egyesre. Csak az 1-ből tudunk biztosan nyitni.

Előzmény: [372] Hajba Károly, 2004-05-26 03:52:50
[372] Hajba Károly2004-05-26 03:52:50

Kedves Syllabus!

A 2. lépés után be kell iktatni újból egy 1-es eljárást és akkor jó lesz. Lehet, hogy csak elfelejtetted beírni. :o)

Tehát az eljárások sorrendje a következő: 1-2-1-3-1-2-1.

Továbbá a 3-as és 4-es állapotot nem kell megkülönböztetni, mivel izomorfak az eljárás szempontjából.

HK

Előzmény: [369] syllabus, 2004-05-26 00:02:54
[371] Hajba Károly2004-05-26 03:18:20

Kedves Syllabus!

Ha jól követtem a gondolatmenetedet akkor a kezdetben 2-es állapotnak lehetséges még zárt állapota:

1. lépés: 1. eljárás - 2-es állapot

2. lépés: 2. eljárás - kinyit v. 1. állapot

3. lépés: 3. eljárás - 3. v. 4. állpot

4. lépés: 1. eljárás - 4. v. 3. állapot

5. lépés: 2. eljárás - 3. v. 4. állapot

:o(

HK

Előzmény: [369] syllabus, 2004-05-26 00:02:54
[370] syllabus2004-05-26 00:11:19

A 4 eset egy kicsit összeszétcsúszott az előbb.

Előzmény: [369] syllabus, 2004-05-26 00:02:54
[369] syllabus2004-05-26 00:02:54

81:

Négy eset lehetséges:

1. 2. 3. 4. 10 11 11 00 01 00 01 10

1. eljárás: Két szembenlévőt megfogom és mindkettőt megcserélem. 2. eljárás: Két egymásmellett lévőt megfogom és mindkettőt megcserélem. 3. eljárás: Két egymásmellett lévőt megfogom és az egyiket megcserélem.

1. lépés: Alkalmazom az 1. eljárást.

Az 1. esetben kinyílt, a 2. eset marad, a 3. és 4. egymásba átvált.

2. lépés: 2. eljárás.

A 2. esetben kinyílt, a 3. és 4. egymásba átvált vagy marad.

(Már csak 3-1-es lehet a kapcsolók állása. :)

3. lépés: 3. eljárás.

Vagy kinyílt, vagy 1-es vagy 2-es esetbe került a zár.

4. lépés: 1. eljárás.

Ha 1-esben volt, akkor kinyílt, ha 2-esben akkor maradt 2-eske.

5. lépés: 2. eljárás.

Heuréka! :)))

[368] syllabus2004-05-25 23:26:31

Kedves László!

Azért kérdeztem, mert ha meg tudjuk a fentet és a lentet különböztetni, akkor ha 3-1 után ellentétest fogunk meg, akkor már egy lépésben kinyithatjuk a zárat.

[367] Csimby2004-05-25 22:53:41

Onogur, nem mondom még meg a megoldást, hátha valaki kitalálja (egyébként én csak olyat ismerek ami az első 1 millió tagra bizonyítja, hogy nincsen benne csak 3 négyzetszám, de szerintem azzal a módszerrel meglehet csinálni teljesen (még nem tettem meg, tehát gonosz dolog volt kitűzni a példát), ráadásul amit ismerek megoldást az is csak algoritmus, de hát vannak itt nálam okosabbak akik majd kitalálják ;-)) Segítség: A sorozat különböző mod.-al vett maradékait kell vizsgálni és így egy csomó kiesik (hiszen minden mod.-ra megvan, hogy mely maradékok nem tartozhatnak négyzetszámokhoz.)

Előzmény: [362] Hajba Károly, 2004-05-24 23:58:07
[366] lorantfy2004-05-25 22:15:53

Kedves Károly!

Kösz az infót! Nem fogtam fel első olvasásra ezt a magában álló kapcsolót, hát hozzáköltöttem egy lámpát. Igy persze túl egyszerű lenne.

81. feladathoz: Szerintem nem lényeges, hogy le vagy fel vannak kapcsolva a kapcsolók, mert azt írja: a zár akkor nyit, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van.

Előzmény: [364] Hajba Károly, 2004-05-25 10:07:53
[365] syllabus2004-05-25 21:36:12

Azt szeretném kérdezni a 81-es feladathoz, hogy mikor megfogunk két kapcsolót akkor azt érezzük, hogy különböző állásban vannak, vagy azt, hogy az egyik "fel" van kapcsolva a másik "le"?

A feladat tehát arra megy ki, hogy véges algoritmust adjunk, vagy egy elég sok lépésben "nagyon valószínű" eljárást keresünk?

[364] Hajba Károly2004-05-25 10:07:53

Kedves László!

Újrafelbukkant Gyuri szellemes feladatain én is elgondolkoztam.

A 81. feladatnál szerintem nem lehet 100 % biztonságú stratégiát kialakítani, de még gondolkodom rajta. A 82. feladatot pedig ismerem. Itt a kapcsoló csak egy állapotot mutat, de nem égőt kapcsol, így egy rab csak akkor jut újabb infóhoz, ha éppen ő van kinn sétán és megnézi a kapcsoló aktuális állapotát.

HK

Előzmény: [363] lorantfy, 2004-05-25 09:31:53
[363] lorantfy2004-05-25 09:31:53

Kedves Gyuri!

Örülök, hogy újra látunk itt a Fórumon és a két jó példának is.

81. feladathoz: Két lyukat választhatunk ki. Vagy szomszédosakat választunk: pl.A-B, vagy átlósan kettőt: pl. A-C. Két kiválasztás után 3 kapcsolót biztos azonos állásba tudunk állítani, legyen ez a 3 A-B-C. Ha a D kapcsoló is ebben az állásban van, akkor a zár kinyílik.

Ha nem, akkor tudjuk hogy D ellenkező állásban van.

Ezután a következő a taktika: Kiválasztunk két lyukat, de csak akkor váltjuk át az egyik kapcsolót, ha ellenkező kapcsoló állást tapasztalunk. Ha a D kapcsolót váltottuk át, a zár kinyílik, ha nem akkor két-két kapsoló azonos állásban fog állni, pl. A és D 1-es, B és C 0 állásban.

Ezután viszont csak akkor fogjuk mindkét kiválasztott kapcsolót átváltani, ha azonos a kapcsoló állás. Ekkor a zár kinyílik.

Egyetlen apró kérdés maradt: Lehetséges-e ezt véges lépésben elvégezni?

82. feladathoz: A megbeszélésen minden rab kapjon egy sorszámot, amit megjegyez és megjegyzi még azt is, mi az utolsó sorszám. A cella falára mindegyik felkarcol egy táblázatot, annyi oszloppal ahányan vannak. Az éppen kint lévő rab annyiszor kapcsolja fel és le a lámpát, amennyi a sorszáma. Ekkor a cellában lévők tesznek egy x-et a megfelelő oszlopba, Ő meg a saját oszlopába, mikor visszaviszik. Ha bármelyik rabnál minden oszlopban lesz legalább egy x, akkor szólhat, hogy kész.

Előzmény: [361] Gyuri, 2004-05-24 14:08:19
[362] Hajba Károly2004-05-24 23:58:07

A 80. feladathoz:

A Fibonacci-számok birodalmába vezet a matematika.lap.hu oldalon található "ugródeszka" - aljas link :o)

Pl.: Fib(300)-ig nincs négyzetszám, de van néhány prím; találtam egy képletet, de nem sokra mentem vele:

Fib(n)= \frac{x_1^n-x_2^n}{x_1-x_2} ahol x1 és x2 a x2-x-1=0 egyenlet gyökei.

HK

Előzmény: [359] Csimby, 2004-05-23 22:59:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]