Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[456] lorantfy2004-09-01 17:50:40

Kedves Károly és Dávid!

Igazatok van! Ezt elkapkodtam. Nem is tudom mire lehetne ez válasz amit beírtam.

Előzmény: [450] Hajba Károly, 2004-09-01 14:48:50
[455] Hajba Károly2004-09-01 15:46:40

Kedves Dávid!

Jogos az észrevételed. (Nem figyeltem elég jól, hogy ez is binom-os :o) Tehát első durva közelítésben 2 számpár esetén több, mint 400 szelvényt kellene kitöltenünk.

HK

Előzmény: [454] V. Dávid, 2004-09-01 15:38:33
[454] V. Dávid2004-09-01 15:38:33

Bocsánat, de nem 4005 számpár lehetséges?

Előzmény: [453] Hajba Károly, 2004-09-01 15:35:33
[453] Hajba Károly2004-09-01 15:35:33

Kedves Káli gúla!

Utána számoltam az egyszerűbb változat egy durva alsó közelítésének. Egy szelvényen 5 szám segítségével \binom{5}{2}=10 számpár adható meg. Összesen 90*89=8010 számpár lehetséges, így legalább  n>\frac{8010}{10}=801 szelvény szükséges a feladat megoldásához. De mivel sok átfedés lehetséges, így ez a szám ennél magasabb. (Tehát feltehetően rosszul emlékeztem :o)

Érdekelne a pontos küszöb levezetése is, melyet említettél.

HK

Előzmény: [451] Káli gúla, 2004-09-01 14:58:15
[452] V. Dávid2004-09-01 15:35:07

Az ilyen "lehetetlennek" látszó feladatokat úgy lehet a lekönnyebben megoldani, hogy felteszed, hogy tényleg megoldhatatlan, és megpróbálod ezt bizonyítani. Egy idő után rájössz, hogy miért nem lehet bizonyítani a megoldhatatlanságát, és ebből indulhatsz ki az eredeti feladat megoldását illetően.

Előzmény: [418] lorytibi, 2004-07-17 20:01:28
[451] Káli gúla2004-09-01 14:58:15

nem is kell minden lehetséges hármast lefedni ...

Két nagyon egyszerű szűkítés:

(a) Vegyük a páratlan hármasokat és a páros hármasokat, ez összesen  2 \binom{45}{3} = 28380.

(b) Öt szám között van három azonos mod 3, vagy három különböző mod 3, így elég:

 3 \binom{30}{3} + 10 \cdot 30 \cdot 30 = 21180.

Kedves Károly,

Az "egyszerűbb változat" a kettesekkel egyáltalán nem egyszerű, a pontos küszöb sokáig megoldatlan probléma volt.

Előzmény: [449] V. Dávid, 2004-09-01 13:31:43
[450] Hajba Károly2004-09-01 14:48:50

Kedves László!

Dávidnak teljesen igaza van. A feladat egyszerűbb esetét tekintve, ha csak egy számot szeretnék mindenképpen eltalálni, elég 18 szelvényt kitölteni, de ha csak 89 szám közül kellene 5-öt húzni, akkor 17 is elég lenne.

Mintha valahol láttam/halottam, hogy 2 számhoz kb. 100 szelvényt kellene megfelelő módon kitölteni. Javaslom, hogy a feladat megoldásához először ezen egyszerűbb változatát próbáljuk megoldani tételes szelvénykitöltéssel együtt.

HK

Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06
[449] V. Dávid2004-09-01 13:31:43

Kedves Lorantfy! A feladat lényege, hogy legalább hány lottószelvényre van szükség. A te megoldásod szerint 43913143-ra, ez mindössze 36125-tel kevesebb, mint amennyi a biztos ötöshöz kell. Ennél nyilván sokkal kevesebb is elég. Egy felső becslés: ha minden szelvényen csak egyetlen hármast számítunk, még 117480 is sok. De minden szelvény 10 lehetséges hármast fed le, ráadásul nem is kell minden lehetséges hármast lefedni, csak arra van szükség bármely öt szám közül ki lehessen választani hármat úgy, hogy ez a három szám a valamelyik megjelölt szelvény öt száma közül hárommal egyezzen. Még érdekesebb kérdés, hogy hogyan kell kitölteni a szelvényeket.

Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06
[448] lorantfy2004-09-01 11:54:06

94. feladat megoldása: Gondolom a hagyományos 90/5-ös lottóra gondoltál. Kitöltjük azokat a szelvényeket amelyeken nincs találat, majd azokat amelyeken pontosan 1 találat van, majd a pontosan 2 találatosokat és a következő, mindezektől különböző szelvényen már biztosan lesz legalább 3 találat:

\binom{85}{5}+\binom{5}{1}\binom{85}{4}+\binom{5}{2}\binom{85}{3}+1

Előzmény: [444] V. Dávid, 2004-08-31 18:58:40
[447] V. Dávid2004-09-01 10:16:19

Én is üdvözlök mindenkit itt a fórumon. Ezt a feladatot magam találtam ki, és kíváncsi vagyok, hogy milyen gondolkodtatóra sikerült: 95. Feladat: van n darab valós számunk. A k-adik lépésben minden lehetséges módon kiválasztunk ezek közül k-t, ezeket összeszorozzuk, és az így kapott k tényezős szorzatokat összeadjuk. k=1..n (Példa n=3 és k=2-re: x1x2+x1x3+x2x3) Mind az n összeg pozitív. Bizonyítsuk be, hogy a kiindulásul választott összes szám pozitív.

[446] lorantfy2004-09-01 08:54:19

Kedves Vizi Dávid!

Üdvözöllek a Fórumon és kösz a szellemes megoldást! A forma az nem tetszik! Ha nem haragszol meg érte, gyorsan átírom:

Vezessük be az \sqrt x=a és \sqrt y =b jelöléseket.

Így az egyenletek:

2a4+b2+2a2+b4=8

a+b=2

Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből:

 \sqrt{2^{a^4+b^2}2^{a^2+b^4}}\leq 4 \implies   a^4+b^4+a^2+b^2 \leq 4

Felhasználva, hogy

a2+b2=(a+b)2-2ab  es  ÿ(a+b)2=4\implies2ab\gea4+b4

Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve:

2-2d2\ge2d4+12d2+2

azaz  0\ge2d4+14d2

innen már simán látszik, hogy d=0,ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

Előzmény: [445] V. Dávid, 2004-08-31 21:09:49
[445] V. Dávid2004-08-31 21:09:49

Bocsánat, de most regisztráltam, úgyhogy még nem volt lelkierőm végig csinálni ezt a TeX tanfolyamot. Jobb híján a ? a hatványozás jele. A 93-as megoldása: Vezessük be az sqrt(x)=a és sqrt(y)=b jelöléseket. Így az első egyenlet: 2?(a?4+b?2)+2?(a?2+b?4)=8 Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből: 4>=a?4+b?4+a?2+b?2 Felhasználva, hogy a?2+b?2=(a+b)?2-2ab 2ab>=a?4+b?4 Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve: 2-2d?2>=2d?4+12d?2+2, azaz 0>=2d?4+14d?2, innen már simán látszik, hogy d=0, ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

Előzmény: [442] lorantfy, 2004-08-19 17:11:05
[444] V. Dávid2004-08-31 18:58:40

94. Feladat: Legalább hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen hármas találatunk?

[443] V. Dávid2004-08-31 17:52:32

"Mi a helyzet akkor, ha nincsen kalapjuk meg kavicsuk, csak papíruk és ceruzájuk?" Ugyanaz a helyzet mint akkor, amikor kavicsokat dobáltak. Mondjuk 1. annyi szakaszt húz, ahány éves, aztán behajtja a lapot. 2. pedig itt folytatja a vonalhúzogatást. A lap visszahajtása után a szakaszok határa nem látható. (Feltesszük, hogy eközben más nem néz a lapra.)

Előzmény: [425] Csimby, 2004-07-20 00:58:53
[442] lorantfy2004-08-19 17:11:05

93. feladat: Oldjuk meg az egyenletrendszert!

2x2+y+2x+y2=8

\sqrt x+\sqrt y=2

Előzmény: [441] lorantfy, 2004-08-19 17:05:54
[441] lorantfy2004-08-19 17:05:54

93.feladat: Oldjuk meg az egyenletrendszert!

2x2+y+2x+y2=8

sqrtx+sqrty=2

[440] Hajba Károly2004-08-10 22:51:15

Kedves joe!

A 92. feladat tipikusan méricskélős feladat, így a biliárdgolyós topikban válaszolok rá.

HK

Előzmény: [439] joe, 2004-08-07 18:11:07
[439] joe2004-08-07 18:11:07

92. feladat: Van két piros, két fehér és két zöld golyónk. Az azonos színűek közül az egyik 100, a másik 101 grammos. Egy kétkarú mérleg segítségével, mérősúlyok nélkül, két méréssel állapítsuk meg mindegyik golyó súlyát!

[438] Káli gúla2004-08-05 23:06:09

Sziasztok!

Megoldás a 71. feladatra.

Színezzük pirossal és kékkel a sakktáblát. Elég belátni, hogy vagy (a) van minden oszlopot érintő piros út, vagy (b) van minden sort érintő kék út, mert (a) esetben a piros, (b) esetben a kék rész járható végig.

Nyilván feltehetjük, hogy nincsen sem egyszínű sor, sem egyszínű oszlop. Ha bármelyik két szomszédos oszlopnál a piros mezők közt van valahol "átjárás", akkor az (a) eset teljesül, ezért feltehetjük, hogy az i-edik oszlop piros mezőiről nincs átjárás az (i+1)-edik oszlop piros mezőire. Ekkor ez a két oszlop tartalmazni fog egy (b) szerinti kék utat, mert egyrészt az i-edik oszlop piros pontjai mellett az (i+1)-edik oszlopban kék pontok vannak, tehát a két oszlop kék színű pontjai az összes sort lefogják, másrészt az i-edik oszlop nem egyszínű, így valamelyik piros mezőjének van függőleges kék szomszédja is, ami a vízszintes kék szomszédjával átlósan összeköthető.

[437] Suhanc2004-08-02 13:00:22

Kedves Csimby!

Bocsi, hogy ilyen "jó" a reakcióidőm... táborozni voltam. A négy dimenziós kockának csak a megoldását tudom, a füzetemet meg még nem találtam meg, amibe leírtam!;)

De keresem...:)

A Gordiuszon mesélte egy srác, hogy a sulijában páran összefogva elemezték a SET-et, olyan k és l paraméterekre, hogy k a tulajdonságok száma, l egy tulajdonságon belül a lehetőségek száma. Erre is sikerült asszem megadniuk a maximális húzható lapot...

A fodrászos feladathoz pedig 2 dolog jutott eszembe:

1. Egy másik megoldásötlet: Hívjuk vissza Gedeon bácsit, de előtte a három nő beszéljen meg egy X számot! Majd egyenként mondják meg neki életkor +X értékét. Ekkor Gedeon bácsi tudja a sorrendet, de nem tudja a valós életkort!:)

2. Egy kérdés: Összejátszhat-e bármely 2 nő a harmadik életkorának megismeréséért? / szóval kibeszélik-e;)) / Mert, ha feladatod azt kéri, még öszejátszással se lehessen kideríteni, akkor az eddigi két ötletem nem volt jó...:)

Előzmény: [436] Csimby, 2004-07-23 18:36:33
[436] Csimby2004-07-23 18:36:33

Helló!

Én is ott voltam a táborban, de erre sajnos nem emlékszem ;-( így érdemes engem tanítani. Na de most én is a SET kapcsán kezdtem el ezzel foglalkozni! A max. már megvan általánosan csak bizonyítani még nem sikerült, a SET-re sem(SET-nél 4 dimenziós kocka kell)(négyzetre megvan), de már érzem, hogy meglessz a SET is :-) Ha emlékszel vmire amit a táborban mondtak róla légyszi írd meg (csajbok@dpg.hu)! Nagyon jó az a játék és érdekes problémákat vet fel...

Előzmény: [434] Suhanc, 2004-07-23 13:31:28
[435] Suhanc2004-07-23 13:46:42

Egy ötlet a 90.Feladat-hoz:

Legyen a három nő 1. 2. 3., életkoruk A;B;C. 1. gondol egy pozitív egész X számra, és megsúgja 2.-nek az A+X összeget. 2. megsúgja 3.-nak az A+B+X összeget. 3. megsúgja 1.-nek az A+B+C+X összeget.

Ekkor 1. Ismeri B+C+X értékét. Megsúgja 2.-nak a B+C+X összeget. Mivel 2. Ismeri saját életkorát, így ismeri C+X összeget.

Mivel 2. ismeri A+X és C+X összegeket, így ismeri C-A értékét. E különbség előjele meghatározza, hogy A vagy C az idősebb. Ezt B hangosan bemondja.

Ezután B, majd C gondol egy számot,és így 3kör alatt három egyenlőtlenséghez jutunk, melyekben az életkorok szerepelnek, és így egyértelműen meg tudjuk állapítani a sorrendet.

Megj. ez a megoldás csak akkor működhet, haténylegnem egyidősek... de ha mondjuk pontosítunk, és A= 10000000000000000000000000*8születési év)+1000000000*(születés hónapja)+100000*(nap) +1000*(óra)+(perc) B=...

akkor nagy valószínűséggel nem lesz A=C ;)

Egy extrémebb kérdés, bár nem gondoltam át, hogy van-e egyáltalán megoldása...

Mindhárman a búra alatt ülnek, és ordibálnak... tehát nincs suttogás, mindenki hall mindent, se papír, se toll! most mit lehet csinálni?

[434] Suhanc2004-07-23 13:31:28

Kedves Csimby!

Ezzel a feladattal a tavalyi Montágh- Hraskó-Kós féle táborban talákoztam, a SET nevű játék kapcsán. :)

Akkor ott ezt 3D-ben, és az eredeti játékra vonatkozóan is vizsgálta az előadó...

[433] Csimby2004-07-23 12:12:10

Elnézést, nem voltam elég világos, tehát átlónak tekintem pl. a következő ábrán mind a 3 különböző színnel jelölt 3-as csoportot.

[432] Sirpi2004-07-23 11:36:29

Bocs, nem olvastam el a feladat legutolsó mondatát... Szóval nxn-es esetben mind a 2n átlót kéne figyelni, szóval rossz, amit írtam.

Ebéd alatt majd kitalálom :-)

Előzmény: [431] Sirpi, 2004-07-23 09:29:27

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]