Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[468] V. Dávid2004-09-03 21:34:13

A 95. általánosítása: Vegyünk három helyett n darab számot. A keresett P(n) valószínűség az egységsugarú n-dimenziós gömb G(n) és a két egység oldalú n-dimenziós kocka K(n) térfogatának aránya. Nyilván K(n)=2n, de mi a helyzet G(n)-nel?

Nézzük meg, hogyan is számoltuk ki a gömb térfogatát. Adott az origó középpontú, r sugarú k kör. Most x szerint integráljuk azoknak a köröknek a területét, amelyek sugara egyenlő k x-hez tartozó y koordinátájával. 4 dimenzióra analogikusan gondolkodunk: Adott az előző k kör. Most x szerint integráljuk azoknak a gömböknek a térfogatát, amelyek sugara k x-hez tartozó y koordinátája, azaz

G(4)=\int_{-r}^r\frac{4\pi}3\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3dx=\frac{\pi^2}2r^4

Hasonlóan G(5)=\frac{8\pi^2}{15}r^5. Kipróbáltam az első néhány n-re, és az a sejtésem alakult ki, hogy

G(2k)=\frac{\pi^k}{k!}r^{2k}

De semmilyen selytésem nem alakult ki páratlan n-re.

Előzmény: [466] lorantfy, 2004-09-03 12:05:45
[467] Káli gúla2004-09-03 12:33:30

Kedves Károly!

A kettes találathoz nem kell minden párt eltalálni. Például, minden nyerő ötösben van két szám, ami néggyel osztva azonos maradékot ad, így elég az ilyen párokat eltalálni. Leírok egy rendszert, amivel 30 szelvényen mindig lesz 2 találatunk, feltéve, hogy a nyerő ötösben van két 4-gyel osztható szám. Ezt a 30 szelvényt 0-val, 1-gyel, 2-vel és 3-mal eltolva kaphatunk 120 szelvényt, ami garantál 2 találatot. Ez nem optimális, de nincs nagyon messze attól. A pontos szám 100 körül lehet, ahogy írtad.

Az egyszerűség kedvéért 100-ig nézzük a számokat, a 25 néggyel osztható számból alkotható összes párt, másképp mondva a 25 csúcsú teljes gráf éleit akarjuk 30 ötössel lefedni. A 25 számot 5 ötös csoportba osztjuk: (0,4,8,12,16), (20,24,28,32,36), ..., (80,84,88,92,96). Először is a "belső élekhez" ezt az 5 ötöst megjátszuk 1-1 szelvényen.

Ezután, mivel két ötös csoport "között" 25 él lehetséges, a "köztes" élek lefedéséhez azt kell csak megoldani, hogy azok mind előforduljanak valamelyik szelvényünkön. Indexeljünk egy-egy ötös csoporton belül 0, 1, ..., 4 - gyel, és készítsünk egy olyan táblázatot, ahol bármely két oszlopot végignézve (az oszlopok az ötös csoportoknak felelnek meg), minden lehetséges párt megtalálhatunk. Ilyen táblázat 25 sorát az

(i,j,i+j,2i+j,3i+j),  (i,j=0,..,4)

ötösökkel lehet elkészíteni, ezt mutatja az ábra bal oldali része, a jobb oldali részen pedig a nekik megfelelő 25 lottószelvény található (a nem létező lottószámokat tetszőleges másik számmal kell helyettesíteni).

Előzmény: [455] Hajba Károly, 2004-09-01 15:46:40
[466] lorantfy2004-09-03 12:05:45

Hello Fiúk!

Ez tényleg sokat segít. Ha a kiválasztott három számot térbeli koordinátákként fogjuk fel, akkor az összes lehetséges pont egy 2 egység oldalú kockát ad. A négyzetösszegük a pont origótól vett távolságának négyzete. Így a jó pontok egy egység sogarú körben vannak. A térfogatok aránya adja a keresett valószínüséget. Majd otthonról felteszek egy 3D-s ábrát hozzá.

Előzmény: [463] Sirpi, 2004-09-02 22:48:28
[465] V. Dávid2004-09-03 10:13:45

97. Feladat: Hozzunk létre olyan sík-koordináta-rendszert, amelyben a sík minden pontjának egyetlen koordinátája van.

[464] V. Dávid2004-09-03 10:07:10

Aki nem jön rá a trükkjére, és algebrai módszerekkel akarja megoldani, az reménytelennek találja a feladatot. Egyszer fealdtam egy nagyon jó matekos srácnak, aki emiatt nem tudta megoldani.

Előzmény: [463] Sirpi, 2004-09-02 22:48:28
[463] Sirpi2004-09-02 22:48:28

96.-ra a megoldás: \frac 1{2^3}\cdot \frac 43 1^3 \pi=\frac{\pi}6. Ennél jobban nem akarnám lelőni.

Előzmény: [462] V. Dávid, 2004-09-02 20:47:19
[462] V. Dávid2004-09-02 20:47:19

96. Feladat: a [-1;1] intervallumból véletlenszerűen kiválasztunk három valós számot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ezek négyzetösszege legfeljebb 1?

[461] lorantfy2004-09-02 17:46:24

Kedves Károly!

Igen én is ilyesmire gondoltam. Vagy a +1 nélkül: max. hány szelvényt lehet különbözöképpen kitölteni, hogy ne legyen biztosan 3-as találatunk.

Előzmény: [460] Hajba Károly, 2004-09-02 17:15:48
[460] Hajba Károly2004-09-02 17:15:48

Kedves László!

> Nem is tudom mire lehetne ez válasz amit beírtam.

Egy zsákba beletettük az összes lehetséges módon kitöltött lottószelvényt. Hány szelvényt kell kihúznunk, hogy biztos legyen ezek között hármas találatú?

Talán erre lenne jó a válaszod. :o)

HK

Előzmény: [456] lorantfy, 2004-09-01 17:50:40
[459] V. Dávid2004-09-01 21:01:25

Hogy érted, hogy nem lehet-e negatív gyök? Kösz, ha az az egyetlen megoldása, amit én találtam ki, akkor a feladat tényleg nagyon szép. De lehet, hogy valaki talál egy sokkal kézenfekvőbbet.

Előzmény: [458] Káli gúla, 2004-09-01 20:19:31
[458] Káli gúla2004-09-01 20:19:31

ad 95. Nem lehet negatív gyök? Szép feladat, grat.

Előzmény: [457] V. Dávid, 2004-09-01 18:04:01
[457] V. Dávid2004-09-01 18:04:01

Megoldás a 95-ös feladatra?

[456] lorantfy2004-09-01 17:50:40

Kedves Károly és Dávid!

Igazatok van! Ezt elkapkodtam. Nem is tudom mire lehetne ez válasz amit beírtam.

Előzmény: [450] Hajba Károly, 2004-09-01 14:48:50
[455] Hajba Károly2004-09-01 15:46:40

Kedves Dávid!

Jogos az észrevételed. (Nem figyeltem elég jól, hogy ez is binom-os :o) Tehát első durva közelítésben 2 számpár esetén több, mint 400 szelvényt kellene kitöltenünk.

HK

Előzmény: [454] V. Dávid, 2004-09-01 15:38:33
[454] V. Dávid2004-09-01 15:38:33

Bocsánat, de nem 4005 számpár lehetséges?

Előzmény: [453] Hajba Károly, 2004-09-01 15:35:33
[453] Hajba Károly2004-09-01 15:35:33

Kedves Káli gúla!

Utána számoltam az egyszerűbb változat egy durva alsó közelítésének. Egy szelvényen 5 szám segítségével \binom{5}{2}=10 számpár adható meg. Összesen 90*89=8010 számpár lehetséges, így legalább  n>\frac{8010}{10}=801 szelvény szükséges a feladat megoldásához. De mivel sok átfedés lehetséges, így ez a szám ennél magasabb. (Tehát feltehetően rosszul emlékeztem :o)

Érdekelne a pontos küszöb levezetése is, melyet említettél.

HK

Előzmény: [451] Káli gúla, 2004-09-01 14:58:15
[452] V. Dávid2004-09-01 15:35:07

Az ilyen "lehetetlennek" látszó feladatokat úgy lehet a lekönnyebben megoldani, hogy felteszed, hogy tényleg megoldhatatlan, és megpróbálod ezt bizonyítani. Egy idő után rájössz, hogy miért nem lehet bizonyítani a megoldhatatlanságát, és ebből indulhatsz ki az eredeti feladat megoldását illetően.

Előzmény: [418] lorytibi, 2004-07-17 20:01:28
[451] Káli gúla2004-09-01 14:58:15

nem is kell minden lehetséges hármast lefedni ...

Két nagyon egyszerű szűkítés:

(a) Vegyük a páratlan hármasokat és a páros hármasokat, ez összesen  2 \binom{45}{3} = 28380.

(b) Öt szám között van három azonos mod 3, vagy három különböző mod 3, így elég:

 3 \binom{30}{3} + 10 \cdot 30 \cdot 30 = 21180.

Kedves Károly,

Az "egyszerűbb változat" a kettesekkel egyáltalán nem egyszerű, a pontos küszöb sokáig megoldatlan probléma volt.

Előzmény: [449] V. Dávid, 2004-09-01 13:31:43
[450] Hajba Károly2004-09-01 14:48:50

Kedves László!

Dávidnak teljesen igaza van. A feladat egyszerűbb esetét tekintve, ha csak egy számot szeretnék mindenképpen eltalálni, elég 18 szelvényt kitölteni, de ha csak 89 szám közül kellene 5-öt húzni, akkor 17 is elég lenne.

Mintha valahol láttam/halottam, hogy 2 számhoz kb. 100 szelvényt kellene megfelelő módon kitölteni. Javaslom, hogy a feladat megoldásához először ezen egyszerűbb változatát próbáljuk megoldani tételes szelvénykitöltéssel együtt.

HK

Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06
[449] V. Dávid2004-09-01 13:31:43

Kedves Lorantfy! A feladat lényege, hogy legalább hány lottószelvényre van szükség. A te megoldásod szerint 43913143-ra, ez mindössze 36125-tel kevesebb, mint amennyi a biztos ötöshöz kell. Ennél nyilván sokkal kevesebb is elég. Egy felső becslés: ha minden szelvényen csak egyetlen hármast számítunk, még 117480 is sok. De minden szelvény 10 lehetséges hármast fed le, ráadásul nem is kell minden lehetséges hármast lefedni, csak arra van szükség bármely öt szám közül ki lehessen választani hármat úgy, hogy ez a három szám a valamelyik megjelölt szelvény öt száma közül hárommal egyezzen. Még érdekesebb kérdés, hogy hogyan kell kitölteni a szelvényeket.

Előzmény: [448] lorantfy, 2004-09-01 11:54:06
[448] lorantfy2004-09-01 11:54:06

94. feladat megoldása: Gondolom a hagyományos 90/5-ös lottóra gondoltál. Kitöltjük azokat a szelvényeket amelyeken nincs találat, majd azokat amelyeken pontosan 1 találat van, majd a pontosan 2 találatosokat és a következő, mindezektől különböző szelvényen már biztosan lesz legalább 3 találat:

\binom{85}{5}+\binom{5}{1}\binom{85}{4}+\binom{5}{2}\binom{85}{3}+1

Előzmény: [444] V. Dávid, 2004-08-31 18:58:40
[447] V. Dávid2004-09-01 10:16:19

Én is üdvözlök mindenkit itt a fórumon. Ezt a feladatot magam találtam ki, és kíváncsi vagyok, hogy milyen gondolkodtatóra sikerült: 95. Feladat: van n darab valós számunk. A k-adik lépésben minden lehetséges módon kiválasztunk ezek közül k-t, ezeket összeszorozzuk, és az így kapott k tényezős szorzatokat összeadjuk. k=1..n (Példa n=3 és k=2-re: x1x2+x1x3+x2x3) Mind az n összeg pozitív. Bizonyítsuk be, hogy a kiindulásul választott összes szám pozitív.

[446] lorantfy2004-09-01 08:54:19

Kedves Vizi Dávid!

Üdvözöllek a Fórumon és kösz a szellemes megoldást! A forma az nem tetszik! Ha nem haragszol meg érte, gyorsan átírom:

Vezessük be az \sqrt x=a és \sqrt y =b jelöléseket.

Így az egyenletek:

2a4+b2+2a2+b4=8

a+b=2

Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből:

 \sqrt{2^{a^4+b^2}2^{a^2+b^4}}\leq 4 \implies   a^4+b^4+a^2+b^2 \leq 4

Felhasználva, hogy

a2+b2=(a+b)2-2ab  es  ÿ(a+b)2=4\implies2ab\gea4+b4

Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve:

2-2d2\ge2d4+12d2+2

azaz  0\ge2d4+14d2

innen már simán látszik, hogy d=0,ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

Előzmény: [445] V. Dávid, 2004-08-31 21:09:49
[445] V. Dávid2004-08-31 21:09:49

Bocsánat, de most regisztráltam, úgyhogy még nem volt lelkierőm végig csinálni ezt a TeX tanfolyamot. Jobb híján a ? a hatványozás jele. A 93-as megoldása: Vezessük be az sqrt(x)=a és sqrt(y)=b jelöléseket. Így az első egyenlet: 2?(a?4+b?2)+2?(a?2+b?4)=8 Most az egyenlet bal oldalára alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, ebből: 4>=a?4+b?4+a?2+b?2 Felhasználva, hogy a?2+b?2=(a+b)?2-2ab 2ab>=a?4+b?4 Bevezetjük az a=1-d és b=1+d jelöléseket, ezeket behelyettesítve: 2-2d?2>=2d?4+12d?2+2, azaz 0>=2d?4+14d?2, innen már simán látszik, hogy d=0, ezek szerint a=b=1, tehát x=y=1 az egyetlen megoldás.

Előzmény: [442] lorantfy, 2004-08-19 17:11:05
[444] V. Dávid2004-08-31 18:58:40

94. Feladat: Legalább hány lottószelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen hármas találatunk?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]