Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[56] Lóczi Lajos2003-11-12 19:38:44

Tetszetős ez a megoldás... Kérdezném, kinek mi a véleménye e megoldás alábbi határesetéről: az északi sarkponttól 1 km-re délfelé kezdi meg az útját; 1 km-t északra haladva bejut az É sarkra, kelet felé onnan nem tud (mert nem lehet) haladni, tehát nem mozdul, majd dél felé 1 km-t ballag és visszajut a kezdőpontba.

Azaz, elfogadjuk-e "1 km keletre haladásnak" azt, ha valahol nem lehet kelet felé haladni.

Másik megjegyzésem: hogyan lehetne (formálisan, esetleg rajz nélkül) bizonyítani, hogy több lehetséges útvonal nincsen? (Hiszen az első megoldás is meggyőzőnek tűnt.)

Azzal is érdekes -- és minden bizonnyal sokmegoldású -- feladatokat lehetne gyártani, ha pl. a megtett távolságok összemérhetők/meghaladják a bolygó (fél)kerületét.

Előzmény: [55] Sirpi, 2003-11-12 14:58:22
[55] Sirpi2003-11-12 14:58:22

Lorybetti: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra.

Nem csak így lehet... Vegyünk az északi sarkpont közelében egy olyan szélességi kört, aminek kerülete osztja az 1km-t, és a kiindulópont ettől 1km-rel délre legyen. Ebben az esetben az É, K, D út triviálisan a kezdőpontba vezet, és akkor mégse pingvint találtunk :-) Vagyis az eredeti feladat is értelmes, nem kell permutálni az irányokat.

S

Előzmény: [50] lorybetti, 2003-11-10 22:23:48
[54] Fálesz Mihály2003-11-12 13:46:35

Kedves Onogur,

Gratulálok!

Előzmény: [53] Hajba Károly, 2003-11-12 01:47:01
[53] Hajba Károly2003-11-12 01:47:01

Kedves Mihály!

Nem csalás, nem ámítás,

a 2. feladatra a megoldás :o)

Előzmény: [2] Fálesz Mihály, 2003-10-30 10:22:23
[52] Bubu2003-11-12 01:14:45

Rendbonto leszek, elnezest erte... Szoval a billiardgolyos feladat (amit egyebkent anno GY peldakent lekuzdottem:)) egy kulonleges matematikai kepzettseggel nem biro (erettsegi), de egyebkent feletteb intelligens rokonomat "megihlette". Azt allitja, hogy 5 meressel 12 golyobol ki tud valasztani 2 db eltero tomegut! Precizebben: van 12 kulsore egyforma golyo. 10 tomege megegyezik, kettoje elter (hogy milyen "iranyban" es mennyire, azt nem tudjuk). Egy ketkaru merleg segitsegevel valasszuk ki a ket kulonc golyot ot meressel. A megoldasrol sejtelmem sincs, de a hetvegen fogok vele foglalkozni. Aki barmilyen reszeredmenyt/otletet tud, az mailezzen legyen szives!

[51] lorantfy2003-11-11 23:00:51

A tevés feladat megoldása:

Az osztószámok: k , l, m, a tevék száma: n és k < l < m < n.

A végakarat teljesítésének szükséges feltétele a kölcsönkért 1 tevével:

\frac{n+1}{k}+\frac{n+1}{l}+\frac{n+1}{m}=n

Mindkét oldalt elosztva (n+1) –el és \frac{1}{n+1} –et mindkét oldalhoz hozzáadva:

\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1} = 1

Ezt az egyenletet kell megoldanunk a 0 < k < l < m < n+1 : egész számok feltétellel.

Látszik, hogy k = 2, ugyanis k = 3 esetén a lehető legkisebb l, m, n+1 értékekre is az összeg 1-nél kisebb:

\frac13+\frac14+\frac15+\frac16=\frac{59}{60}

Már csak három ismeretlenünk van:

\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac12

\frac15+\frac16+\frac18=\frac{59}{120}<\frac12

emiatt l lehetséges értékei: l = 3, l = 4

Kezdjük l = 3–mal:

\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac16

és 6 < m < 12 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

n+1=\frac{6m}{m-6}=6+\frac{36}{m-6}

Tehát (m-6) osztója 36-nak.

m = 7, n+1 = 42, n = 41 jó megoldás,

m = 8, n+1 = 24, n = 23 jó megoldás,

m = 9, n+1 = 18, n = 17 jó megoldás,

m = 10, n+1 = 15, n = 14 NEM jó megoldás, mert \frac {n+1}{m} nem egész szám.

l = 4 a következő eset

\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac14

és 4 < m < 8 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

n+1=\frac{4m}{m-4}=4+\frac{16}{m-4}

Tehát (m-4) osztója 16-nak.

m = 5, n+1 = 20, n = 19 jó megoldás,

m = 6, n+1 = 12, n = 11 jó megoldás.

Összesen 5 megoldást találtunk!

[50] lorybetti2003-11-10 22:23:48

Kedves Fálesz Mihály!

Egyetértek Veled, így szeretném csökkenteni a megoldatlan példák számát.A medvés példa- Fizban 22.es hozzászólása A szöveg így szólt: "Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba."

A feladat megoldása: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra. Tartok töle, hogy Fizban rosszul írta az irányokat, mert így a medve fekete-fehér színű és Pingvin névre hallgat. Ha jegesmedvéről lenne szó-ami persze fehér: az irányok sorrendje: D, K és É vagy K, É, D vagy É, D, K (utóbbi két esetben csak érinti az északi sarkpontot)

Értékes megjegyzés: A medve olyan gömbi háromszögben mozog, melynek minden szöge derékszög. Lehet hogy Bolyait is ez ihlette meg?

[49] Fálesz Mihály2003-11-10 18:10:51

Sziasztok,

Kicsit kezdenek elburjánzani a meg nem oldott feladatok. Pillanatynilag a következőkre nincs még teljes megoldás:

-- 2. feladat (9 pont), 2. hozzászólás

-- 3. feladat (emberevők) [3]

-- 5. feladat (100 láda pénz) [6]

-- milyen színű a medve [22]

-- tevék [26]

-- Rubik-hasáb [43]

-- mekkora az EDB szög [46-47]

Összesen 7, ami túl sok. Azt javaslom, hogy most egy darabig ne írjunk új feladatokat, inkább ezekere lássunk megoldást, és a továbbiakban is törekedjünk arra, hogy ne legyen egyszerre - mondjuk - háromnál több megoldatlan feladat.

F.M.

[48] Sirpi2003-11-10 14:18:59

Ez a szummafelcserélés tökéletes megoldás, gratula, én is így csináltam (mellesleg azért nem így adtam fel, mert így sokkal könnyebb, csupán a 2, 3, 5, 8 kitevőket kivéve szerintem nehezebb feladatot kapunk.

Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59
[47] lorantfy2003-11-10 11:21:06

Egy ábra a lenti feladathoz. (Imádom az Euklides programot!)

[46] jenei.attila2003-11-10 10:44:46

Egy geometria feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egyenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egyenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög?

[45] Hajba Károly2003-11-10 01:19:09

> köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt

Tanulom a TeX-et. :o)

> Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára

Mi az, hogy emlékszem! Engem a gimi 3. osztályában ért (ma 11. o.), s a kockám nemegyszer a tanári asztalon vészelte át az óra második felét több más kockával egyetemben. Így az ábrád öt percnyi tanulmányozása után rájöttem a "trükk"-re, de hagyok mást is gondolkodni.

Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59
[44] Lóczi Lajos2003-11-09 16:21:43

Valóban, ez így szép és jó. Utólag természetesen a "mi" formulánkat is megtaláltam, pl. a http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html oldalon ez a (23)-as formula :-) Érdemes megnézni, van néhány szép ábra (és csaknem 100 egyéb dzeta-képlet)...

Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59
[43] lorantfy2003-11-08 15:50:59

Kedves Károly!

Gratulálok a megoldáshoz és köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt!

Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára és remélem, hogy a fiatalabbak is ismerik. Nekem nagy sikerélmény volt, hogy meg tudtam oldani. 3 napom ment rá egy téli vizsgaidőszakban és meg is lett az eredménye, 4-es lett az analízis vizsgám… A következő nyáron Angliában jártam és ott lehetett kapni a Rubik kocka mindenféle változatát. Vettem is egy nyolcszög alapú hasáb alakút és összekeverés után a begyakorolt transzformációkkal próbáltam visszaforgatni az alaphelyzetbe. Rejtélyes módon az alábbi eredményre jutottam: egy élközépen lébő kocka megfordult a többi mind a helyére került. 9. feladat : Hogyan lehetséges ez?

[42] Hajba Károly2003-11-08 00:46:23

Kedves László!

Igazad van, én is megtaláltam az 5 megoldást.

K L M N
2 3 7 41
2 3 8 23
2 3 9 17
2 4 5 19
2 4 6 11
Előzmény: [38] lorantfy, 2003-11-06 23:19:20
[41] lorantfy2003-11-08 00:39:03

Kedves Fórumosok !

Örülök, hogy ilyen sokan foglalkoztatok a biliárdgolyós példával, még idemásolok egy megoldást, ami felhasználja ugyan az előbbi mérés eredményét, de talán annak aki később idetéved érthetőbb:

A 12 golyót 3 4-es csoportra bontom.

OOOO OOOO OOOO

Két 4-es csoportot összehasonlítok a mérleggel (1. mérés)

OOOO -- OOOO

1.1. Egyenlők: ekkor a maradék 4 között van az eltérő

OOOO = OOOO HHHH

Veszek 2-t az első 8 golyó közül (ezek jók) és 2-t a maradék 4-ből

OO -- HH HH

Összemérem őket (2. mérés),

1.2. Ha lebillen a mérleg akkor a mérlegen lévő kettő (HH) közül a 3. méréssel eldöntöm melyik az eltérő golyó.

1.3. Ha egyenlő a 2. mérés eredménye akkor a nem mért 2 közül (HH) döntök a 3. méréssel. (Egyiket összemérem egy jó golyóval)

2.1. Ha a két 4-es csoport összemérésekor lebillen a mérleg. Ekkor amerre lebillent azt a 4 golyót N betűvel jelölöm ( ezek között lehet egy nehezebb)a másik oldalon lévő 4-et K betűvel jelölöm (ezek között lehet egy könnyebb)

Pl.: KKKK < NNNN OOOO

2.2. Bal oldalra felteszek a mérlegre 3 db K jelű golyót és 1 db N jelűt, jobb oldalra pedig 1 db (a megmaradt) K jelűt és a 3 db biztosan jó golyót. (Még 3 db N jelű és egy jó (O) marad ki)

KKKN -- KOOO NNN O

Nézzük az eseteket:

3.1. Ha a mérleg jobbra billen le. Ekkor a bal oldali 3 K közül 1 golyó könnyebb.

KKKN < KOOO NNN O

Ezek közül egy méréssel tudok dönteni, hiszen tudom, hogy a hibás golyó könnyebb. Kettőt összemérek, amelyik felemelkedik az a hibás. Ha egyenlő a kettő összemért, akkor a 3. a hibás golyó.

3.2. Ha a mérleg egyensúlyban marad akkor a kimaradt 3 db N jelű golyó

KKKN = KOOO NNN O

között van egy nehezebb, amit a 3. méréssel az előzőhöz hasonlóan el lehet dönteni.

3.3. Ha a mérleg balra billen ki, akkor ezt okozhatja a bal oldali N jelű golyó vagy a jobb oldalon lévő K jelű golyó.

KKKN > KOOO NNN O

Ezt a 3. méréssel könnyen el lehet dönteni, ha pl. a K jelűt összemérem egy jó golyóval. Ha felemelkedik akkor ez a hibás, ha egyenlők, akkor az N jelű.

[40] Pach Péter Pál2003-11-07 23:14:59

A 8. feladatra írok megoldást, úgyhogy, aki még nem oldotta meg (és szeretne rajta gondolkozni), ne olvassa tovább. Tekintsük a következő átalakításokat:

\sum_{k=2}^{\infty} (\zeta(k)-1)=\sum_{k=2}^{\infty} \left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac1 {n^k}\right)=\sum_{n=2}^{\infty} \left(\sum_{k=2}^{\infty} \frac1 {n^k}\right)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac1 {n(n-1)}=

=\sum_{n=2}^{\infty} \left (\frac1 {n-1}-\frac1 {n} \right)=1

Pozitív számokat összegzünk, és a határérték valóban létezik (olvassuk az átalakításokat hátulról visszafelé), így nem "csaltunk", amikor megcseréltük a két szummát. Ezen kívül a mértani sor összegképletét, és egy ún. "teleszkópos trükköt" alkalmaztunk.

Az előbb bizonyított állítás nyilvánvaló következménye, hogy

\sum_{k=2}^N (\zeta (k)-1) <1,

ugyanis az előbbi összegnek van olyan tagja, ami ebben az összegzésben nem szerepel. (Mint már megállapítottuk, minden tag pozitív: 0<\frac1 {n^k})

Pach Péter Pál

Előzmény: [30] Lóczi Lajos, 2003-11-05 23:59:16
[39] lorantfy2003-11-07 09:56:01

A biliárdgolyós példa alábbi megoldását Gáti Beatrix küldte nekem.

[38] lorantfy2003-11-06 23:19:20

Kedves Csillag! Nagyon szép a megoldásod, gratulálok! Holnap felteszek hozzá egy táblázatot, hogy mikor melyik golyó jön ki, igy mindenki ellenőrizheti, hogy jó is. Elemben a tevés példán gondolkodók még keresgélhetnek, ha van idejük, mert én 5 megoldást találtam.

[37] Csillag2003-11-06 16:02:59

A billiárdgolyós probléma mindkét nehezített változatát megoldja a következő három mérés. Ezzel 12 golyó esetén meghatározható, hogy melyik volt hibás és hogyan, 13 golyó esetén pedig, hogy melyik volt hibás: 1.mérés: (x1,x2,x3,x4) összehasonlítása (x5,x6,x7,x8)-cal 2.mérés: (x1,x2,x5,x11) összehasonlítása (x3,x6,x9,x10)-zel 3.mérés: (x1,x6,x9,x11) összehasonlítása (x3,x4,x7,x12)-vel

Előzmény: [20] Kós Géza, 2003-11-05 12:21:41
[36] Kós Géza2003-11-06 14:24:35

Kedves Csimby,

Amit írtatok, az mindenképpen megérdemel egy fél Túró Rudit, de jobb lenne egy szép, világos, kerek megoldássá átírni. Ehhez pontosabban kell kezelni a falvak és a hittérítők lehetséges állapotait.

Előzmény: [23] Csimby, 2003-11-05 18:21:35
[35] lorantfy2003-11-06 14:18:01

Az eredeti tevés példa úgy szólt, hogy 11 tevét örökölnek és hogyan oszthatnák el ha a legidősebb felét, a középső harmadát, a legkisebb hatodát örökölte. És a bölcs kádi javaslatára kölcsönkérnek egy tevét, amit az osztozkodás után vissza is adnak.

[34] Fálesz Mihály2003-11-06 13:06:27

Ha jól értem, a végén maradnia kell egy tevének, amit visszadanak.

Előzmény: [31] Rizsa, 2003-11-06 12:27:26
[33] Hajba Károly2003-11-06 12:43:32

Hát igen! Mivel a reciprokösszeg lehet 1,0 is, ezért ezt elnéztem, tehát ezek szerint 3 megoldást találtunk eddig.

Előzmény: [32] Hajba Károly, 2003-11-06 12:31:28
[32] Hajba Károly2003-11-06 12:31:28

A 7. feladathoz:

Először is elnézést mindenkitől, de még nem sikerült elmélyedni a TeX-ben, így annak lehetőségeit most nem használom ki. (De ami késik, nem múlik.)

Mivel a tevék számához még 1-t hozzáadva el tudták osztani kényelmesen és még meg is maradt a kölcsönteve, ezért a K, L, M számok reciprokösszege alulról közelíti az 1-t, de nagyobb mint a legkisebb elérhető N-re N/(N+1)=0,9; ahol N=2+3+4=9. (Lehet ennél finomabban is lehatárolni.)

Tehát azokat a számhármasokat kell megvizsgálni, melyek reciprokösszege ebbe a tartományba esik. K=2, mivel a 3, 4, 5 számhármasra 0,78..; továbbá 2, 4, 5 számhármasra 0,8666... jön ki, mint alsó korlát, másrészről 2, 3, 6 számhármasra 1,00 jön ki, mint felső korlát. Én a két számhármas között két megoldást találtam:

K=2, L=3, M=7, N=41

K=2, L=4, M=6, N=11

Hajba Károly

Előzmény: [26] lorantfy, 2003-11-05 21:34:18

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]