Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[651] Lóczi Lajos2004-12-20 19:21:46

Egy újabb összefüggést mutatnak a

http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html

oldal (20)-(22) formulái.

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[650] Lóczi Lajos2004-12-20 19:16:20

Egy másik összefüggés az

http://binomial.csuhayward.edu/Identities.html

oldal Catalog # : 3900015 -számú azonossága.

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[649] Lóczi Lajos2004-12-20 18:44:46

Egy lehetséges összefüggésre példa:

http://binomial.csuhayward.edu/proofs/pf1200003.html

Előzmény: [648] Csimby, 2004-12-16 22:01:15
[648] Csimby2004-12-16 22:01:15

129.feladat

Keressünk összefüggést a Pascal háromszög és a Fibonacci sorozat között.

[647] Csimby2004-12-16 21:44:11

128. feladat

Egy 8×8-as sakktáblán 8 bástyát helyeztünk el úgy, hogy semelyik kettő sem üti egymást. Bizonyítsuk be, hogy páros sok bástya áll fekete mezőn. (Arany Dani döntő volt, a KöMaL-ban szerepel, de nem mindenkinek jár az újság)

[645] Lóczi Lajos2004-12-10 21:16:22

Nekem 45454 darab jött ki.

Előzmény: [644] Szabó Dániel, 2004-12-10 20:02:27
[644] Szabó Dániel2004-12-10 20:02:27

Matekszakkörön találkoztam a következő feladattal: hány olyan 1000000-nál kisebb természetes szám van, melynek a számjegyeinek összege páros, s a nála eggyel nagyobb szám számjegyeinek összege is páros. Leszámoltam Turbo Pascallal, az eredmény 45455. Tanárom szerint 45454. Melyikünknek van igaza?

[643] Lóczi Lajos2004-12-09 10:14:55

Gratulálok, nagyon szép, egyszerű megoldást találtál! LL

Előzmény: [642] Kemény Legény, 2004-12-08 20:43:54
[642] Kemény Legény2004-12-08 20:43:54

Ha valamelyik ismeretlen 1,akkor a többi is az,és ez megoldás. A 3 egyenlet logaritmusát összeszorozva kapjuk,hogy : xyzlog(x)log(y)log(z)=log(x)log(y)log(z),mivel egyik sem 1(ezt már feltehetjük) xyz=1.Ha nem mind 1: vagy van 2 db 1-nél kisebb vagy lesz 2 db 1-nél nagyobb.Ha pl x és y 1-nél nagyobb: z=x**y>1,azaz xyz>1*1*1=1,nem lehetséges.Ha x és y 1-nél kisebbek z=x**y<1 azaz xyz<1*1*1=1 nem lehetséges.Igy x=y=z=1 a megoldás. (A ** jelöli a hatványozást).

Előzmény: [631] Lóczi Lajos, 2004-11-26 01:04:46
[641] Csimby2004-12-08 18:39:12

A bal alsó sarokban szereplő számjegy a feltételek miatt nem szerepelhet megegyszer a szürkével jelölt négyzeteken. A skatulya-elv miatt rögtön látszik, hogy mindegyik számjegy pontosan 6-szor kell, hogy előforduljon. Tehát a fennmaradt fehér mezőkön összesen 5-ször kell elhelyezni azt a számjegyet ami a bal alsó sarokban szerepel. Ekkor a két egybevágó fehér rész közül az egyikben 3-szor kell, hogy szerepeljen ez a számjegy. Ez pedig már könnyen látszik, hogy nem lehetséges...

Előzmény: [639] rizs, 2004-12-08 14:28:16
[640] rizs2004-12-08 14:29:44

Van egy számológépünk, ami kicsit komolyabb, mint egy négyműveletes, tehát tud olyan műveleteket (az inverzeikkel együtt!), hogy gombnyomásra négyzet- és köbgyököt von, van rajta sinus, cosinus, tangens (mindezek hiperbolikus változatai is), 1/x, 10 és e alapú logaritmus, faktoriális. Egy cetlire fel van írva két különböző pozitív egész szám (többjegyű is lehet). Az elsőt még be tudjuk pötyögni a cetliről, de azután már az összes számjegy gombja (0-9) és a tizedesvessző, valamint a négy alapművelet gombja is elromlottnak tekintendő, még az = sem működik. Ezekhez nem szabad nyúlni. A feladat az, hogy csak a rendelkezésre álló matematikai funkciók gombjainak használatával elérjük, hogy a beírt szám helyett előbb-utóbb a cetlin lévő másik pozitív egész szám legyen a kijelzőn. Tehát olyan eljárást kell keresni, amelynek kiindulása az egyik pozitív egész szám, végeredménye pedig a másik, azok értékétől és különbségétől függetlenül. (A kiindulási szám akármennyivel kisebb, de nagyobb is lehet a másiknál.) A módszernek tehát olyannak kell lennie, hogy bármely két pozitív egész számra működjön.

[639] rizs2004-12-08 14:28:16

sziasztok!

szerintetek lehet rajzolni olyan 6*6-os bűvös négyzetet, amelynek mindegyik sorában, oszlopában és átlójában (átlóként értelmezünk minden átlót, tehát a sarok elemeket, az azok mellett elhelyezkedő 2 elemű átlót, stb.) az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok midegyike legfeljebb 1 alkalommal fordul elő. Természetesen ez azt jelenti, hogy a sorokban, az oszlopokban, és a főátlókban mindegyik szám pontosan egyszer szerepel.

[638] Csimby2004-12-07 22:07:15

Ha valakit érdekel, a "Bizonyítások a Könyből" című könyvben (Könyvajánló [27] és [28]) például 3 bizonyítást is adnak erre :

\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

Ebből:

\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}+\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}

\sum_{k=1}^\infty\frac1{(2k)^2}=\frac14(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...)=\frac14\zeta(2)

Tehát:

\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^2}=\frac34\zeta(2)=\frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}

Megjegyzés:

A Riemann-féle \zeta(s) zéta függvényt s>1-re \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}-ként definiáljuk.

Előzmény: [636] Lóczi Lajos, 2004-12-03 17:44:57
[636] Lóczi Lajos2004-12-03 17:44:57

A pontos érték egyébként \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}-1\approx 0.233701.

Előzmény: [633] lorantfy, 2004-12-02 11:34:29
[635] Csimby2004-12-02 20:05:02

Teljesen igazad van, csak rohantam az OKTV-re és azt hittem, hogy majd ez megtördeli magának. Tiszta béna lett az egész lap, sorry.

Előzmény: [634] lorantfy, 2004-12-02 13:47:46
[634] lorantfy2004-12-02 13:47:46

Kedves Csimbi!

Kösz a gyors megoldást! Aki nem ismerte, tanulhat belőle!

Csak a beírás formájával van gondom.

Meg kellett volna törni a sort mert így megszélesíti a lapot és nem lehet "átlátni" a hozzászólásokat.

Elég gyér a Fórum látogatottsága a héten. Aki ráér tegyen ellene!

Előzmény: [646] Csimby, 2004-12-02 12:56:46
[646] Csimby2004-12-02 12:56:46

\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{(2n+1)^2} < \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{5^2-1}+\frac{1}{7^2-1}+...+\frac{1}{(2n+1)^2-1} =

= \frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 8}+...+\frac{1}{2n\cdot (2n+2)} = \frac{1}{2}(\frac{4-2}{2\cdot 4}+\frac{6-4}{4\cdot6}+\frac{8-6}{6\cdot 8}+...+\frac{(2n+2)-2n}{2n\cdot (2n+2)} =

=\frac{1}{2}(\frac12-\frac14+\frac14-\frac16+\frac16-\frac18+...+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}) = \frac14 - \frac{1}{4n+4} < \frac14

Előzmény: [633] lorantfy, 2004-12-02 11:34:29
[633] lorantfy2004-12-02 11:34:29

Lóczi Lajos [631]-beli feladata a 122.,[632]-beli pedig a 123.

124. feladat: Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra:

\frac {1}{3^2}+\frac {1}{5^2}+ ... +\frac {1}{(2n+1)^2}<\frac{1}{4}

[632] SchZol2004-11-26 12:17:38

Kedves László!

A Bolzano-Weierstrass tétel valóban az, amit Géza írt, viszont tényleg van egy olyan Bolzano tétel is, ami azt mondja ki, hogy:

Ha f folytonos [a, b]-ben és f(a)<c<f(b), akkor létezik \xi\in(a,b): f(\xi)=c

Üdv, Zoli

Előzmény: [629] lorantfy, 2004-11-25 22:22:24
[631] Lóczi Lajos2004-11-26 01:04:46

Keressük meg azokat a pozitív x,y,z számokat, melyekre teljesül az xy=z, yz=x és zx=y egyenletrendszer.

[630] Lóczi Lajos2004-11-26 00:52:44

Ennek mintájára:

Adjunk példát olyan, az egész számegyenesen értelmezett f valós függvényre, amelyre f(f(x))=-x.

Vizsgáljuk meg az analóg problémát hármas vagy magasabb kompozícióra. Még régebben keresgéltem ilyen függvényeket, ebből nálam szép, forgásszimmetrikusnak kinéző ábrák születtek...

Előzmény: [622] jenei.attila, 2004-11-24 20:39:06
[629] lorantfy2004-11-25 22:22:24

Kedves Géza!

Igazad van! A Bolzano-Weierstrass a számsorozatoknál, az említett tétel. Ennek ellenére több helyen is olvastam már, hogy zárt intervallumon folytonos fgv... témában Bolzano-Weierstass tételre hivatkoztak - eszerint helytelenül.

Előzmény: [628] Kós Géza, 2004-11-25 14:18:45
[628] Kós Géza2004-11-25 14:18:45

A Bolzano-Weierstrass tétel szerintem más. Azt mondja ki, hogy minden korlátos számsorozatban van konvergens részsorozat.

Előzmény: [627] lorantfy, 2004-11-25 10:53:02
[627] lorantfy2004-11-25 10:53:02

Bolzano-tétel (Bolzano-Weierstrass-tételként is szokták emlegetni)

Előzmény: [626] jenei.attila, 2004-11-25 10:01:11
[626] jenei.attila2004-11-25 10:01:11

Én is így oldottam meg, figyelembe véve Géza kiegészítését. A szürjektivitásról szóló indoklást nem értem, hiszen egy függvényről akkor állítható hogy szürjektív, ha megadjuk az értékkészletét. Inkább csak annyi kell, hogy g értelmezési tartománya és értékéészlete megegyezik, ezért értelmezhető gg. Folytonos és injektív függvény pedig szigorúan monoton (folytonos fv. bármely két értéke közötti minden étéket felvesz. Mi a tétel neve?).

Egyébként a feladat a nyári kisinóci táborban volt feladva (legalábbis én ott találkoztam vele először). Esetleg megbeszélhetnénk a többi feladatot is.

Előzmény: [623] HOMI, 2004-11-25 02:24:03

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]