Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[676] Csimby2005-01-03 16:48:53

Vagy a függőleges gyufát a pluszjelből áttesszük a jobboldalon a V mellé, és akkor gyök jelet kapunk: IV-III=\sqrt{I}

Előzmény: [675] Lóczi Lajos, 2005-01-03 15:37:20
[675] Lóczi Lajos2005-01-03 15:37:20

Nekem ezek jutottak eszembe: IV-III \ne VI, illetve IV+III > VI, ahol persze a "nagyobb-jel" alsó vonalkája vízszintes :)

Előzmény: [672] lorantfy, 2004-12-31 21:36:18
[674] lorantfy2005-01-01 22:06:33

BOLDOG ÚJ ESZTENDŐT KÍVÁNOK A FÓRUM MINDEN KEDVES LÁTOGATÓJÁNAK!

[673] jonas2005-01-01 18:35:17

133.-ra: dobja ki mind a három szemet, és vegyen ki egy-egy újat. Ez persze nem működik, ha a gyógyszerek szemre ki vannak számolva, de az olyan gyógyszer nem dobozban szokott lenni, hanem levélben.

Előzmény: [669] Csimby, 2004-12-31 14:19:36
[672] lorantfy2004-12-31 21:36:18

134. feladat: Egy ovis gyufarejtvény, hátha valaki még nem ismeri:

Tegyük igazzá 1 szál gyufa elmozdításával!

[671] lorantfy2004-12-31 21:19:45

132.feladat megoldása: Ha a 6-ost fejreállítjuk:

72=49

Előzmény: [669] Csimby, 2004-12-31 14:19:36
[670] lorantfy2004-12-31 20:52:48

133. feladat megoldása: Vegyen ki még egy gyógyszert az első dobozból. Így mindkét dobozból 2-2 gyógyszer lesz. Majd törje ketté őket és vegye be mindegyiknek a felét! A megmaradó feleket tegye félre másnap estére. (Feltéve persze, hogy nem olyan kapszulás gyógyszerről van szó amit nem szabad kettétörni.)

Előzmény: [669] Csimby, 2004-12-31 14:19:36
[669] Csimby2004-12-31 14:19:36

132. feladat 76=24, tegyük igazzá a számjegyek elmozgatásával.

133. feladat Egy ember minden este két féle gyógyszerból vesz be 1-et 1-et, amelyek pontosan ugyanúgy néznek ki. Egyik este amikor 1-et már kitöltött az egyikből, véletlenül meglódul a másik doboz és a másikból 2-t tölt ki. Most 3 pontosan ugyanolyan gyógyszer van a kezében. Mit tegyen?

[668] Csimby2004-12-30 15:29:49

Akkor gyorsan, amíg aktuális:

2002x+2004y+1=xy

x(2002-y)+2004y+1=0

x(2002-y)+1+2002*2004=2002*2004-2004y

x(2002-y)-2004(2002-y)=-2002*2004-1

(2002-y)(2004-x)=2002*2004+1

(2002-y)(2004-x)=20032

2003 prím, tehát a megoldások:

y=2001, x=2004-20032

y=2002-20032, x=2003

y=-1, x=1

y=2003, x=2004+20032

y=2002+20032, x=2005

y=4005, x=4007

Előzmény: [667] lorantfy, 2004-12-30 14:44:26
[667] lorantfy2004-12-30 14:44:26

131. feladat: Oldjátok meg az egész számok halmazán:

2002x+2004y+1=xy

Még egy napig "aktuális".

[666] PolarFox2004-12-29 11:49:33

Köszönöm szépen az időt, amit a feladatomra forditottatok, és a megoldást. Sajnos csak a pozitív egész számokra kell az egyenletet megoldani, úgyhogy úgy néz ki ott nincs megoldás. Köszönöm szépen.

[665] Kós Géza2004-12-29 09:07:49

Kedves PolarFox,

Biztos, hogy pozitív egész megoldásokat keresünk? A feladat érdekesebb, ha az egész (vagy racionális) megoldásokra vagyunk kíváncsiak vagy az xyz együtthatóját egy másik -- nagyobb -- páros számnak választjuk. (Akkor nem működik közvetlenül a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség.)

A feladatnak egy közeli rokona szerepelt az 1983-as Kürschák-versenyen:

Bizonyítsuk be, hogy ha az x,y,z racionális számokra x3+3y3+9z3-9xyz=0 teljesül, akkor x=y=z=0.

Érdemes elolvasni a megoldást itt.

Előzmény: [663] PolarFox, 2004-12-28 19:47:08
[664] SchZol2004-12-28 23:44:15

Hello PolarFox!

Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget, mivel pozitív tagokról van szó ezt megtehetjük. A tagok amire alkalmazzuk x3, 2y3, 4z3.

\frac{x^3+2y^3+4z^3}{3} \ge \root3\of{x^32y^34z^3}

átrendezve:

x3+2y3+4z3-6xyz\ge0 egyenlőség akkor lép fel, ha a tagok amire alkalmaztuk a közepeket egyenlőek, vagyis x3=2y3=4z3 Ehhez pedig az kell, hogy a tagokban a 2-es azonos kitevőn legyen, vagyis, ha x-ben a-val, y-ben b vel, z-ben c-vel jelöljük a kettőnek a kitevőjét, akkor az alábbi egyenletnek igaznak kell lenni: 3a=3b+1=3c+2 ahol a,b,c egészek. Ez viszont nem lehet soha egyenlő, mert 3-mal osztva különbőző maradékot adnak. Ebből viszont az következik, hogy az egyetlen megoldás a triviális megoldás, ha a x,y,z is 0.

Remélem jó és érthető!

Üdv, Zoli

Előzmény: [663] PolarFox, 2004-12-28 19:47:08
[663] PolarFox2004-12-28 19:47:08

Sziasztok. Nagy problémám van, már rég óta agyalok egy egyenleten de nem sikerül szorzattá alakítanom, légyszi segítsetek. A feladat: (nem tudok felső indexet írni) x*x*x+2*y*y*y+4*z*z*z-6xyz=0 tehát x3+2y3+4z3-6xyz=0 oldd meg az egyenletet, ha x;y;z eleme a pozitív egész számoknak.

[662] zitoca2004-12-27 10:58:10

Székely J. Gábor Paradoxonok a véletlen matematikájában c könyvében azt olvastam, hogy 100 lottószelvényt kell kitöltenünk ahhoz, hogy biztos legyen kettes találatunk az ötöslottón (ennyi minimum kell és ennyi elég is), viszont nem tudjuk megmondani, hogy hány szelvény kell minimum a biztos hármas illetve négyes találat eléréséhez.

Tudna valaki ennek a problémának a mélységéről, kutatási irányáról részletesebben írni? Nagyon érdekesnek találom a problémát, mert egyszerű a kérdés, bárkinek eszébe juthat és mégsem tudjuk megválaszolni...sőt ezek szerint a meggondolások messzebbre is vezetnek, mint ahogy elsőre tűnik.

[661] jonas2004-12-23 23:10:27

Szoval a Pascal-haromszogben a paratlan szamok egy Sierpinski-haromszog nevu fraktalon helyezkednek el, es erdekes modon ezt a Sierpinski-haromszoget egy vonallal le lehet rajzolni:

Előzmény: [659] Lóczi Lajos, 2004-12-23 12:25:17
[660] jonas2004-12-23 22:08:13

Igen, tényleg rosszat írtam.

Tehát akkor  \binom{m}{n} páratlan akkor és csak akkor, ha n AND NOT m=0.

Előzmény: [659] Lóczi Lajos, 2004-12-23 12:25:17
[659] Lóczi Lajos2004-12-23 12:25:17

Megértettem, de szerintem pont fordítva van, mint ahogyan írtad:

Legyen pl. m=2, n=1, ekkor \binom{2}{1} páros, az 1 és 2 számok kettes számrendszerben 01 és 10, ezek bitenkénti AND NOT-ja kettes számrendszerben 01, azaz nem nulla.

Legyen most m=3, n=1, ekkor \binom{3}{1} páratlan, az 1 és 3 számok kettes számrendszerben 01 és 11, melyek bitenkénti AND NOT-ja kettes számrendszerben 00, azaz nulla.

Tehát \binom{m}{n} pontosan akkor páratlan, ha (a fenti átírás szerint, balról a megfelelő számú nullákkal kiegészítve) n BIT AND (NOT m) minden bináris jegye 0.

Az idézett honlapon viszont nem egyértelmű a kiszámítási utasítás, tehát nem mondhatjuk rá, hogy rossz: ott csak annyi van írva, hogy n XOR m kifejezésből lehet KISZÁMOLNI (de hogy hogyan, az kérdés).

Előzmény: [656] jonas, 2004-12-21 20:51:57
[658] Sirpi2004-12-23 12:10:57

Igaz, igaz, kicsit figyelmetlen voltam.

n=2-es számrendszerben mondjuk kicsit furcsa a dolog, de végülis ott is működik. Ott ugye minden számra S értéke éppen az n-1-es, azaz 1-es maradék (ezt igen ritka esetben szokta az ember használni általában), ami minden számra nulla, viszont 0 helyett mindig n-1-et, azaz 1-et kell venni, tehát 2-es számrendszerben minden számra S értéke 1.

Előzmény: [657] Lóczi Lajos, 2004-12-23 11:00:40
[657] Lóczi Lajos2004-12-23 11:00:40

Lényegében igen. Annyi pontosítást csak, hogy S(n) értéke a 9-cel való maradék, ha az nem nulla, és 9, ha n osztható 9-cel.

Előzmény: [655] Sirpi, 2004-12-21 20:41:19
[656] jonas2004-12-21 20:51:57

At kell irni oket kettes szamrendszerbe, hogy konnyen el tudd vegezni bitenkent a logikai muveleteket. (A tizes szamrendszer szerintem nem tartozik magahoz a szamhoz, az csak azt jelenti, hogy irod le oket.)

Ugy ertem, ha nimet jatszol, akkor bitenkenti xor muveletet kell vegezni a nyero strategia meghatarozasahoz, attol fuggetlenul, hogy milyen szamrendszerben irod fel a kovek szamat.

Előzmény: [653] Lóczi Lajos, 2004-12-21 15:05:43
[655] Sirpi2004-12-21 20:41:19

Dehát S értéke éppen a szám 9-es maradéka, az pedig hatványozás során nyilván periodikus sorozatot ad. És a 2-hatványokon éppen azért egyezik meg S értéke a 11-hatványokéval, mert ugyanazt a 9-es maradékot adják. Más (n-es) számrendszerre elvileg ugyanez megy, ott S értéke épp a szám n-1-es maradéka lesz.

Előzmény: [654] Lóczi Lajos, 2004-12-21 16:34:56
[654] Lóczi Lajos2004-12-21 16:34:56

A minap hallottam valakitől egy megfigyelést, ebből született az alábbi 130. feladat.

Jelölje S azt a pozitív egészeken értelmezett függvényt, amely egy n számhoz hozzárendeli azt az S(n) pozitív egész számot, amely úgy keletkezik, hogy összeadjuk n (tízes számrendszerbeli) számjegyeit, majd az eredmény számjegyeit ismét összeadjuk, stb., addig folytatva, amíg egyjegyű számot nem kapunk. Tehát pl. S(7331)=5, mert 7+3+3+1=14, és 1+4=5.

Nézzük meg az S függvény értékeit a hatványokon. Azt állítom, hogy az alábbi ismétlődő mintázat keletkezik.

S(11)=1,S(12)=1,...

S(21)=2,S(22)=4,S(23)=8,S(24)=7,S(25)=5,S(26)=1,S(27)=2,S(28)=4,...

S(31)=3,S(32)=9,S(33)=9,...

S(41)=4,S(42)=7,S(43)=1,S(44)=4,S(45)=7,S(46)=1,...

S(51)=5,S(52)=7,S(53)=8,S(54)=4,S(55)=2,S(56)=1,S(57)=5,S(58)=7,...

S(61)=6,S(62)=9,S(63)=9,...

S(71)=7,S(72)=4,S(73)=1,S(74)=7,S(75)=4,S(76)=1,...

S(81)=8,S(82)=1,S(83)=8,S(84)=1,...

S(91)=9,S(92)=9,...

S(101)=1,S(102)=1,...

...

Tehát azt állítom, hogy az 1-hatványokon felvett értékei S-nek ciklikusak, 1-periódussal; a 2-hatványokon felvett értékei S-nek ciklikusak, 6-os periódushosszal; stb. mind-mind periodikusak; sőt, a 10-hatványoktól kezdve az egész eddigi blokk megismétlődik és az ismétlődés folytatódik, tehát pl. S értékei a 11-hatványokon ugyanazok, mint S értékei a 2-hatványokon, stb.

Kérdés: helyes-e az állításom/megfigyelésem?

Mi a helyzet, ha 10-es helyett más számrendszert választok?

[653] Lóczi Lajos2004-12-21 15:05:43

Nem értem. Hogy van értve két tízes számrendszerbeli szám logikai művelettel való összekapcsolása?

Előzmény: [652] jonas, 2004-12-20 22:49:24
[652] jonas2004-12-20 22:49:24

Je! Nem tudom, eszrevetted-e, hogy ezen az oldalon, amit mutattal: http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html van egy hiba.

Azt irja, hogy az  \binom mn paritasat az n XOR m kifejezesbol lehet kiszamolni, holott a helyes kifejezes n AND NOT m; pontosabban  \binom mn paratlan acsa, ha n AND NOT m\ne0.

Előzmény: [651] Lóczi Lajos, 2004-12-20 19:21:46

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]