Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[68] lorantfy2003-11-13 23:16:47

Kedves Lajos!

Örülök, hogy feltetted a megoldást. Úgy néz ki a „fiatalok” tényleg nem harapnak erre a témára. A „spin” szóhasználatból arra következtetek, hogy talán Te is olvastad a Fizikai Szemlében megjelent cikket (21 éve) Ha esetleg valakinek meglenne elektronikus formában köszönettel venném:

MARX GY., GAJZÁGÓ É., GNÄDIG P., ZÁMBÓ V.: A bűvös kocka univerzuma - Fizikai Szemle 32 (1982) 73-77

Előzmény: [59] Hajba Károly, 2003-11-13 00:09:23
[67] Lóczi Lajos2003-11-13 21:51:19

Mi sem egyszerűbb: helyettesítve a képletbe \alpha=80o, \beta=60o, \gamma=50o -- ha nem tévedek, ezekre gondoltál --, majd algebrai egyszerűsítések után a keresett \varphi szögre 80o adódik.

Előzmény: [64] jenei.attila, 2003-11-13 17:28:42
[66] Csillag2003-11-13 20:15:54

Szia Attila!

A 18 szöges megoldás végigolvasásához nem volt türelmem, de remélem a köv. megoldás független tőle: (AB és DE metszéspontja P)

ABD\angle=50\impliesADB\angle=50

AB=AD=AF\impliesADF\angle=80\impliesGDF\angle=100,DFG\angle=40\impliesDG=DF

DFEG paralelogramma szimmetriatengelye DE, így EPB\angle=30 és EDB\angle=80 GB

Előzmény: [64] jenei.attila, 2003-11-13 17:28:42
[65] Lóczi Lajos2003-11-13 18:57:33

Álljon itt a háromszöges feladat egy általánosítása: az alapon fekvő szögek a 80o helyett legyenek \alpha, a 60o-os BAE szög helyett legyen \beta, a 70o-os ABD szög pedig legyen most \gamma; ezekről tehát azt tesszük fel csak, hogy 0<\alpha<90o, 0<\beta<\alpha, 0<\gamma<\alpha. Jelölje továbbá a keresett BDE szöget \varphi. A rövidség kedvéért egy x szög tangensét jelölje \taux.

Ekkor elemi koordinátageometriai érvelés mutatja, hogy


\cos\varphi=\frac{1-m\cdot \tau_\gamma}{\sqrt{(m^2+1)(\tau^2_\gamma+1)}},

ahol m=\frac{\tau^2_\alpha\cdot(\tau_\beta-\tau_\gamma)}{\tau^2_\alpha-\tau_\beta\cdot\tau_\gamma}.

Az \alpha=80o, \beta=60o, \gamma=70o értékeket behelyettesítve, "némi" algebrai egyszerűsítés után például az alábbi alakot kapjuk (ki-ki maga is megpróbálkozhat eljutni idáig):


\cos\varphi=\frac{1-\cos 80^\circ}{\sqrt{3-2\sqrt{3} \cos 50^\circ}}.

13. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a fenti kifejezés jobb oldala cos 20o.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[64] jenei.attila2003-11-13 17:28:42

Ötletes a hivatkozott KÖMAL-ban közölt 18 szöges megoldás, bár abban a feladatban az ABD szög 50 fok. Valószínűleg a módszer alkalmazható akkor is, mikor ABD szög=70 fok. Kiváncsi lennék a 18 szöges megoldástól független megoldásra ABD=50 fok esetén.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[63] Kós Géza2003-11-13 14:25:51

Aki szeretne kicsit mélyebben a feladat mögé nézni, annak ajánlom Csirmaz László Egy geometriai feladatról című cikkét. (KöMaL 1985/4, 147-149. oldal)

Előzmény: [62] lorantfy, 2003-11-13 13:51:17
[62] lorantfy2003-11-13 13:51:17

Kedves Csillag és Attila!

Szép a megoldás! Egy ábrát megérdemel.

[61] jenei.attila2003-11-13 10:34:03

Szia Csillag!

Szép megoldás, gratulálok. Egy két apróbb megjegyzést tennék. Amikor felírtad, hogy GD=GF=GE, innen már azonnal következik, hogy GDE szög = GED szög = 50 fok, de ADB szög = 30 fok, amiből EDB szög = 20 fok. Csak egy kis egyszerűsítés. Az én megoldásom is hasonló, megtartva a Te jelöléseidet, a következő: DC/GD=CB/CE=AB/GE. A GE félegyenesen vegyük fel H pontot úgy, hogy GH=GC legyen. Ekkor EH=GH-GE=GB-GF=FB=AB. Vagyis DC/GD=AB/GE=EH/GE miatt CH párhuzamos DE-vel. De GCH szög=GHC szög= 50 fok (mivel GC=GH) =GDE szög. EDB szög=GDE szög -ADB szög= 50-30=20 fok. A TeX-hel még nem tudok rendesen bánni, legközelebb azért megpróbálom.

Előzmény: [57] Csillag, 2003-11-12 22:20:02
[60] Hajba Károly2003-11-13 00:31:47

Ha (46) Jenei Attila geometriai feladata a 10. és (52) Bubu kérdése a 11. akkor

12. feladat: Kössük össze 12 darab, folytonos, a kiinduló pontba visszazáródó és a külső pontsoron túl nem nyúló egyenes szakasszal (azaz egy 12 szakaszból álló hurokkal) az alábbi 49 pontot.

HK

[59] Hajba Károly2003-11-13 00:09:23

Kedves László!

Úgy tűnik nekem, hogy csak ketten vagyunk jelen abból a generációból, kiket elbűvölt a bűvös kocka, habár jelenleg is kapható. Ezért is ill., hogy Mihály kérésére csökkenjen a megoldatlan feladatok száma, válaszolok a bűvös kockás feladatra.

Megoldás a 9. feladatra:

Az eredeti kockán található oldaléleknek két állásuk lehetséges, alaphelyzet ill. (180°-os) elforgatottság. Nevezzük 0 ill. 1/2 spinnek. Egy rendesen összeállított kocka spinjei mindig egész számot adnak ki, tehát első ránézésre a bűvös hasáb rendellenesen lett összeállítva, ami persze nem igaz, mivel alaphelyzetből és 0 spinnel lett összekeverve.

Ha jobban megnézzük az ábrát, látható, hogy a hasáb forma miatt 4 oldalél "le lett vágva", így azoknak csak egy színűk van, de ha 180°-kal elforgatom, önmagába tér vissza. Így e 4 elemnél a 0 és 1/2 spin teljesen egyformának tűnik. Ha az összekeverés előtt egy aszimetrikus jellel meg lettek volna jelölve, akkor 1 vagy 3 elem 1/2 spin elfordulást mutatna.

Hajba Károly

Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59
[58] lorantfy2003-11-12 22:31:25

Kedves Lajos!

Nekem az 1 km helybenjárás kelet felé az nem tetszik, de miközben gondolatban ráhúztál a határesetre megálltál-e n-szer az 1/n sugarú köröknél és beidomítottad-e a medvét, hogy menjen körve n-szer kelet felé? Mert ha igen tiéd a Nagy Polarbear emlékérem. Persze mindig kicsit közelebbről kell elindítani a medvét. ( A felülnézeti ábrán a távolságok nem arányosak!)

Sirpinek gratula a jó ötletért!

[57] Csillag2003-11-12 22:20:02

Üdv Mindenkinek!

Sajnos ábrát nem tudok rajzolni, de egy megoldást elmondok a geometria példához: E tükörképe a C-nél levő szögfelezőre G. A C-nél levő szögfelező és az AE metszéspontja F. GD=GF, mert

\frac{GD}{DC} =\frac{BG}{BC} =\frac{CG}{CB} =\frac{GF}{FB}

(szögfelezőtétel többszöri felhasználása, GCB\angle=GBC\angle=20o)

Tehát GD=GF=GE=FE(mert GEF szabályos háromszög). BGA\angle=40,FGD\angle=140,GDF\angle=20,DF||CB,FDB\angle=DBC\angle=10,DGE\angle=80,GDE\angle=50,BDE\angle=GDE\angle-GDF\angle-FDB\angle=20.

Vagyis a keresett szög 20 fokos.

GB

Előzmény: [46] jenei.attila, 2003-11-10 10:44:46
[56] Lóczi Lajos2003-11-12 19:38:44

Tetszetős ez a megoldás... Kérdezném, kinek mi a véleménye e megoldás alábbi határesetéről: az északi sarkponttól 1 km-re délfelé kezdi meg az útját; 1 km-t északra haladva bejut az É sarkra, kelet felé onnan nem tud (mert nem lehet) haladni, tehát nem mozdul, majd dél felé 1 km-t ballag és visszajut a kezdőpontba.

Azaz, elfogadjuk-e "1 km keletre haladásnak" azt, ha valahol nem lehet kelet felé haladni.

Másik megjegyzésem: hogyan lehetne (formálisan, esetleg rajz nélkül) bizonyítani, hogy több lehetséges útvonal nincsen? (Hiszen az első megoldás is meggyőzőnek tűnt.)

Azzal is érdekes -- és minden bizonnyal sokmegoldású -- feladatokat lehetne gyártani, ha pl. a megtett távolságok összemérhetők/meghaladják a bolygó (fél)kerületét.

Előzmény: [55] Sirpi, 2003-11-12 14:58:22
[55] Sirpi2003-11-12 14:58:22

Lorybetti: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra.

Nem csak így lehet... Vegyünk az északi sarkpont közelében egy olyan szélességi kört, aminek kerülete osztja az 1km-t, és a kiindulópont ettől 1km-rel délre legyen. Ebben az esetben az É, K, D út triviálisan a kezdőpontba vezet, és akkor mégse pingvint találtunk :-) Vagyis az eredeti feladat is értelmes, nem kell permutálni az irányokat.

S

Előzmény: [50] lorybetti, 2003-11-10 22:23:48
[54] Fálesz Mihály2003-11-12 13:46:35

Kedves Onogur,

Gratulálok!

Előzmény: [53] Hajba Károly, 2003-11-12 01:47:01
[53] Hajba Károly2003-11-12 01:47:01

Kedves Mihály!

Nem csalás, nem ámítás,

a 2. feladatra a megoldás :o)

Előzmény: [2] Fálesz Mihály, 2003-10-30 10:22:23
[52] Bubu2003-11-12 01:14:45

Rendbonto leszek, elnezest erte... Szoval a billiardgolyos feladat (amit egyebkent anno GY peldakent lekuzdottem:)) egy kulonleges matematikai kepzettseggel nem biro (erettsegi), de egyebkent feletteb intelligens rokonomat "megihlette". Azt allitja, hogy 5 meressel 12 golyobol ki tud valasztani 2 db eltero tomegut! Precizebben: van 12 kulsore egyforma golyo. 10 tomege megegyezik, kettoje elter (hogy milyen "iranyban" es mennyire, azt nem tudjuk). Egy ketkaru merleg segitsegevel valasszuk ki a ket kulonc golyot ot meressel. A megoldasrol sejtelmem sincs, de a hetvegen fogok vele foglalkozni. Aki barmilyen reszeredmenyt/otletet tud, az mailezzen legyen szives!

[51] lorantfy2003-11-11 23:00:51

A tevés feladat megoldása:

Az osztószámok: k , l, m, a tevék száma: n és k < l < m < n.

A végakarat teljesítésének szükséges feltétele a kölcsönkért 1 tevével:

\frac{n+1}{k}+\frac{n+1}{l}+\frac{n+1}{m}=n

Mindkét oldalt elosztva (n+1) –el és \frac{1}{n+1} –et mindkét oldalhoz hozzáadva:

\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1} = 1

Ezt az egyenletet kell megoldanunk a 0 < k < l < m < n+1 : egész számok feltétellel.

Látszik, hogy k = 2, ugyanis k = 3 esetén a lehető legkisebb l, m, n+1 értékekre is az összeg 1-nél kisebb:

\frac13+\frac14+\frac15+\frac16=\frac{59}{60}

Már csak három ismeretlenünk van:

\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac12

\frac15+\frac16+\frac18=\frac{59}{120}<\frac12

emiatt l lehetséges értékei: l = 3, l = 4

Kezdjük l = 3–mal:

\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac16

és 6 < m < 12 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

n+1=\frac{6m}{m-6}=6+\frac{36}{m-6}

Tehát (m-6) osztója 36-nak.

m = 7, n+1 = 42, n = 41 jó megoldás,

m = 8, n+1 = 24, n = 23 jó megoldás,

m = 9, n+1 = 18, n = 17 jó megoldás,

m = 10, n+1 = 15, n = 14 NEM jó megoldás, mert \frac {n+1}{m} nem egész szám.

l = 4 a következő eset

\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}=\frac14

és 4 < m < 8 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)

n+1=\frac{4m}{m-4}=4+\frac{16}{m-4}

Tehát (m-4) osztója 16-nak.

m = 5, n+1 = 20, n = 19 jó megoldás,

m = 6, n+1 = 12, n = 11 jó megoldás.

Összesen 5 megoldást találtunk!

[50] lorybetti2003-11-10 22:23:48

Kedves Fálesz Mihály!

Egyetértek Veled, így szeretném csökkenteni a megoldatlan példák számát.A medvés példa- Fizban 22.es hozzászólása A szöveg így szólt: "Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba."

A feladat megoldása: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra. Tartok töle, hogy Fizban rosszul írta az irányokat, mert így a medve fekete-fehér színű és Pingvin névre hallgat. Ha jegesmedvéről lenne szó-ami persze fehér: az irányok sorrendje: D, K és É vagy K, É, D vagy É, D, K (utóbbi két esetben csak érinti az északi sarkpontot)

Értékes megjegyzés: A medve olyan gömbi háromszögben mozog, melynek minden szöge derékszög. Lehet hogy Bolyait is ez ihlette meg?

[49] Fálesz Mihály2003-11-10 18:10:51

Sziasztok,

Kicsit kezdenek elburjánzani a meg nem oldott feladatok. Pillanatynilag a következőkre nincs még teljes megoldás:

-- 2. feladat (9 pont), 2. hozzászólás

-- 3. feladat (emberevők) [3]

-- 5. feladat (100 láda pénz) [6]

-- milyen színű a medve [22]

-- tevék [26]

-- Rubik-hasáb [43]

-- mekkora az EDB szög [46-47]

Összesen 7, ami túl sok. Azt javaslom, hogy most egy darabig ne írjunk új feladatokat, inkább ezekere lássunk megoldást, és a továbbiakban is törekedjünk arra, hogy ne legyen egyszerre - mondjuk - háromnál több megoldatlan feladat.

F.M.

[48] Sirpi2003-11-10 14:18:59

Ez a szummafelcserélés tökéletes megoldás, gratula, én is így csináltam (mellesleg azért nem így adtam fel, mert így sokkal könnyebb, csupán a 2, 3, 5, 8 kitevőket kivéve szerintem nehezebb feladatot kapunk.

Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59
[47] lorantfy2003-11-10 11:21:06

Egy ábra a lenti feladathoz. (Imádom az Euklides programot!)

[46] jenei.attila2003-11-10 10:44:46

Egy geometria feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egyenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egyenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög?

[45] Hajba Károly2003-11-10 01:19:09

> köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt

Tanulom a TeX-et. :o)

> Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára

Mi az, hogy emlékszem! Engem a gimi 3. osztályában ért (ma 11. o.), s a kockám nemegyszer a tanári asztalon vészelte át az óra második felét több más kockával egyetemben. Így az ábrád öt percnyi tanulmányozása után rájöttem a "trükk"-re, de hagyok mást is gondolkodni.

Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59
[44] Lóczi Lajos2003-11-09 16:21:43

Valóban, ez így szép és jó. Utólag természetesen a "mi" formulánkat is megtaláltam, pl. a http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html oldalon ez a (23)-as formula :-) Érdemes megnézni, van néhány szép ábra (és csaknem 100 egyéb dzeta-képlet)...

Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]