Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[714] nadorp2005-01-14 13:05:26

A "kihalási probléma" felvetése nagyon szimpatikusnak tűnik nekem is,hétvégén én is utánanézek. Addig is egy újabb kísérlet elemi megoldásra,ezt is vitára bocsátom.

Ki fogjuk használni azt, hogy a k-dik lépésben kivett tabletta milyenségének - egész vagy fél - valószínűsége csak attól függ, hogy előtte hány egész tablettát vettünk ki. Írjunk 1-et ha egész tablettát, és írjunk 0-át, ha fél tablettát vettünk ki az üvegből. Folytassuk ezt mindaddig, amíg ki nem ürül az üveg. Ezzel kaptunk egy 2n hosszú, 1-t és 0-t tartalmazó sorozatot, mely 1-gyel kezdődik, 0-ra végződik,ugyanannyi 1 és 0 van benne, és igaz rá, hogy minden 1\leqk\leq2n indexre az első k elem között legalább annyi 1-es van, mint 0. Fordítva, az előbbi tulajdonságú tetszőleges sorozat egyértelműen meghatároz egy tabletta kivételt. Jelölje xn az ilyen tulajdonságú sorozatok számát. Számunkra az a kedvező eset, ha a sorozat 10-ra végződik. Ezen esetek száma viszont nyilván xn-1. A keresett valószínűség tehát \frac{x_{n-1}}{x_n}. Most már "csak" xn értékét kell meghatározni. Innen kezdve "lestem" Vilenkin: Kombinatorika c. könyvéből, a "Pénzváltási probléma" nevű rész pont ezzel a foglalkozik. Itt azt kapjuk, hogy x_n=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}. Azaz a keresett valószínűség \frac{n+1}{2(2n-1)}

[713] jenei.attila2005-01-14 11:40:40

Még régen a tiszta kihalási problémából vizsgáztam sztochasztikus folyamatok című tantárgyból, de sajnos már csak ennyire emlékszek, meg arra, hogy meglehetősen nehéz probléma. Egyébként szerintem is két dimenziós bolyongásról van szó, na majd utánanézek.

Előzmény: [712] Atosz, 2005-01-14 11:27:08
[712] Atosz2005-01-14 11:27:08

Kedves jenei.attila!

Segítenék, ha tudnék, de ennek a feladatnak én sem tudom a megoldását. Előkeresem majd a papírjaimat, amit egy unalmas előadáson firkálgattam és megpróbálok majd abból valami értelmeset közreadni, hátha valakinek segít. Egyszer egy ismerősöm elmesélte ezt a feladatot egy valség tanárnak, aki felületesen megnézve azt mondta rá, hogy a kihalási problémára (???) hasonlít. Nem tudom, hogy mi az, és azóta sem néztem utána, de hátha ez támpont lehet valakinek. Persze lehet, hogy semmi köze ahhoz.

Előzmény: [711] jenei.attila, 2005-01-14 11:17:01
[711] jenei.attila2005-01-14 11:17:01

Szia Atosz!

A gyógyszeres feladat szerintem is nehéz (legalábbis nekem), én is csak egy rekurzív képletet tudok felírni, és egy kis programot is írtam, amely megadja minden lehetséges állapot valószínűségét. Szerintem elképzelhető, hogy nem is adható zárt képlet a keresett valószínűségre. Még azért nem adtam fel, de segíthetnétek.

[710] lorantfy2005-01-13 13:12:11

141. feladat megoldása: Vegyünk 100100 embert aki ott nyaralt. Közülük 100 kapott fertőzést 100000 egészséges.Hazaérve mind megvizsgáltatja magát.

Az 100000 egészséges közül 2% 2000 kap pozitív eredményt. A 100 beteg közül 99%=99 fő pozítiv. Összesen tehát 2099 ember kap pozitív eredményt. Te ezek között vagy, hiszen pozitív eredményt kaptál.

Tehát annak a valószínüsége, hogy beteg vagy 99/2099=4,72%.

Előzmény: [708] rizs, 2005-01-13 00:46:31
[709] Csimby2005-01-13 02:14:25

Aki ismeri a kettes számrendszert és aki nem... ;-)

Előzmény: [708] rizs, 2005-01-13 00:46:31
[708] rizs2005-01-13 00:46:31

141. feladat, és eléggé közismert is, de nem igazán tudom :) Egy afrikai országban nyaralsz. Hazaérve megtudod, hogy az itt nyaralók közül minden 1001-edik ember egy vírusfertőzést szed össze. Hazaérve megvizsgáltatod magadat, és pozitív eredményt kapsz. A tesztől azt mondják, hogy a megbízhatósága: - ha valóban beteg vagy 99 - ha egészséges vagy 98 Mennyi az esélye, hogy tényleg beteg vagy?

142. feladat :) közismert, hogy 10-féle embertípus van, melyek ezek? :)

[707] Fálesz Mihály2005-01-11 13:35:04

Kedves Gúla,

Végre szakítottam rá egy kis időt, hogy végigondoljam. Tényleg nem lehet.

Köszönöm.

Előzmény: [702] Káli gúla, 2005-01-07 11:58:09
[706] rizs2005-01-09 22:34:25

na még egyszer: hogy látható legyen (aki nem tud Texelni, ugye...) 140. 2 egyéb, valószínűleg közismertebb feladat: 3 kimenetelű totón a 2 találathoz hány szelvény kell? és 4 kimenetelűn a 3 találathoz?

[705] Atosz2005-01-09 21:34:47

Valóban! Köszi, hogy szóltál, de nem tudtam. Megnéztem és ott a feladat egy 3 és 4 tonnás teherautóról szól valamint legalább 7 tonna áruról, de amit következtettél belőle az hibás. A helyes képlet (2a+1)*(a+1)/(a+2) Ez kiadja az ottani megoldást a 28/5-t, illetve a 2 és 3 tonnás esetben nem a 10/3-t, hanem a 15/4-t. Azonban ez egy felső határ. Azt még be kell látni, hogy ennyi teljesíthető is.

Előzmény: [704] rizs, 2005-01-09 20:19:38
[704] rizs2005-01-09 20:19:38

a feladat megoldása megtalálható a kömal honlapján :) mármint egy részéé :) http://www.komal.hu/verseny/2000-10/B.h.shtml ezt logikusan végiggondolva az is kiderül, hogy ha a két teherautó töltőtérfogata a és a+1, akkor a tömeg, amire szerződést vállalhatunk, az (2a+1)*a/(a+1), jelen esetben 10/3.

Előzmény: [700] Atosz, 2005-01-06 15:38:02
[703] rizs2005-01-09 20:06:17

140. 2 egyéb, valószínüleg közismertebb feladat: 3 kimenetelű totón a 2 találathoz hány szelvény kell? és 4 kimenetelűn a 3 találathoz?

[702] Káli gúla2005-01-07 11:58:09

Kedves Mihály!

Öt tányérral nem lehet a trükköt megcsinálni. Ez azt jelentené, hogy az ötdimenziós kocka csúcsait ki tudnánk színezni 5 színnel úgy, hogy minden csúcs körül (a csúcs és a szomszédjai között) minden szín előforduljon. Egyszerű összehasonlítással (5*6<32 miatt) minden színből kellene legalább 6 csúcs, de 5*7>32 miatt nem lehetne minden színből legalább 7, vagyis lenne olyan szín, amiből pontosan 6 van.

Tehát elég belátni, hogy 6 "piros" csúccsal nem lehet a többi csúcsot "lefogni", azaz a maradék 26 csúcs között mindig van olyan, amelyik egyik pirossal sem szomszédos.

Az 5d-s kocka élvázát úgy képzelhetjük el, hogy négy 3d-s kockát teszünk egy négyzet csúcsaiba, és a szomszédos kockák megfelelő csúcsait összekötjük. Ha ai-vel jelöljük a piros csúcsok számát az egyes kockákban ciklikus sorrendben, akkor az i-edik kocka csúcsaira a feltétel azt jelenti, hogy

4ai+ai-1+ai+1\ge8.

Ebből könnyen adódik, hogy egyedül a (2,1,2,1) eloszlás lehetne megfelelő, de az itt szóba jövő néhány esetet megvizsgálva ezt is könnyű kizárni.

Előzmény: [698] Fálesz Mihály, 2005-01-06 10:55:22
[701] lorantfy2005-01-06 23:44:40

Hello Zoli!

Kösz a magyarázatot! Úgy néz ki működik a dolog.

Előzmény: [695] SchZol, 2005-01-06 09:01:39
[700] Atosz2005-01-06 15:38:02

Sziasztok!

Gratulálok Mihály a megoldásodhoz (és Zolinak a magyarázathoz). A gyógyszeres átfogalmazása biztos, hogy nem jó, tulajdonképpen azért amiért te is írtad. Addig is, amíg ezen töprengünk, bedobnék mégegyet, ami szerintem könnyebb: (139.) Van egy 2 tonnás és egy 3 tonnás teherautónk. Egy raktárból kell elszállítani az árut, melyben 5 tonnánál biztosan több cucc van. A csomagokról csak annyit tudunk, hogy mindegyiknek a tömege kisebb mint 1 tonna. (csak a tömegük számít, a méretük, alakjuk nem) A csomagok eloszlásáról nincs információnk. Mennyi az a maximális árumennyiség amit a két autóval egyszerre tutibiztos, hogy el tudunk vinni a raktárból? (Ezt a számot előre kell megmondanunk anélkül, hogy a csomageloszlást látnánk pl. 3.9 tonna stb...) ui: Milyen teherautók esetén mondhatunk legnagyobb számot? (1 és 4 vagy 2.5 és 2.5 stb...) Mi a helyzet több teherautó esetén?

Üdv mindenkinek! Atosz

Előzmény: [699] Fálesz Mihály, 2005-01-06 11:07:42
[699] Fálesz Mihály2005-01-06 11:07:42

Az átfogalmazás szerintem sem ekvivalens. Az egyes színek (tabletták) kihúzásának valószínűsége nem függhet attól, hogy az adott színű golyóból mennyi van a zsákban (azaz félbetörtük-e már a tablettát). A baj az, hogy nem a golyók, hanem a színek közül kell ugyanakkora valószínűséggel választanunk

Például 2 tabletta esetén az első húzás után 1 fél és 1 egész tabletta marad, a fél tabletta kihúzásának valószínűsége 1/2. Ugyanakkor 2×2 golyó esetén 1/3 a valószínűsége annak, hogy másodszorra éppen az első golyó párját húzzuk ki.

Előzmény: [697] nadorp, 2005-01-06 10:01:48
[698] Fálesz Mihály2005-01-06 10:55:22

Köszi Zoli,

Örülök, ha helyettem dolgoznak, feltéve, hogy jól. :-)

------

Ami engem a feladat kapcsán izgat, a következő. A megoldás 8 helyett bármilyen 2-hatványra működik. Sőt, 2k-1 tányér esetén is alkalmazható, ha a 0 sorszámú tányért kihagyjuk. De mi a helyzet más számokra? Például 5 tányér esetén? (Bíztató, hogy ha a tányérok száma n, akkor a barát (n+1)-féle lépés közül választhat, tehát a szükségesnél egy kicsit több lehetősége van.)

Előzmény: [695] SchZol, 2005-01-06 09:01:39
[697] nadorp2005-01-06 10:01:48

A megoldást inkább vitára bocsátanám, mert lehet, hogy az átfogalmazás nem ekvivalens az eredeti feladattal.

Előzmény: [696] nadorp, 2005-01-06 09:43:04
[696] nadorp2005-01-06 09:43:04

Megoldás 137-re

A feladat átfogalmazható a következőképppen: Adott egy urna és benne 2n darab golyó. A golyók n-féle színűek és mindegyik szín pontosan 2-szer szerepel. Visszatevés nélkül húzunk az urnábol (2n-2)-szer. Mi a valószínűsége, hogy az urnában maradt 2 golyó azonos színű ?

Ez egy egyszerű kombinatorikai valószínűség.

Az összes eset száma: \frac{(2n)!}{2^n}

A kedvező esetek száma: n\cdot\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}}

Így a keresett valószínűség: \frac1{2n-1}

Előzmény: [684] Atosz, 2005-01-04 09:11:00
[695] SchZol2005-01-06 09:01:39

Sziasztok!

Szerintem jó, amit Mihály ír. XOR művelet annyit tesz, hogy ha azonos helyiértéken páros db 1-es van, akkor 0, ha páratlan, akkor 1 lesz az érték, természetesen bináris számokat nézve. Nézzünk egy példát. A tányérok 0-7ig vannak számozva. Tegyük fel, hogy az 1,4,5,6 balkezes és Hófehérke tányérja a 3-as. Most írjuk fel egymás alá binárisan a balkezes tányérok sorszámát.

1 001
4 100
5 101
6 110

Ezeket bitenkét XORolva azt kapjuk, hogy 110. A 3 viszont binárisan 011, tehát egy olyan tányérnál kell megváltoztatni a kanalat, ami az első és a harmadik biten 1-es, vagyis jelen esetben az 5öst átrakjuk a jobb oldalra, így az 1,4,6 össze XORolása pont a 3-at adja.

És ez tényleg jó bármilyen esetre, mert a balkezesek XORolása mindig egy 3bites számot fog megadni, amit egy kanál áthelyezésével tetszőlegesre tudunk állítani, vagyis, úgy hogy pont Hófehérke tányérjának számát mutassák kettes számrendszerben.

Remélem érthető voltam.

Grat Mihály a megoldáshoz és bocsi, hogy beírtam helyetted a magyarázatot.

Üdv, Zoli

Előzmény: [694] lorantfy, 2005-01-06 08:36:31
[694] lorantfy2005-01-06 08:36:31

Kösz a kiegészítést! Én is valahogy így fordítottam le magamban a feladatot binárisra. Gondolkodom rajta. Mihály ötletét nem egészen értem.

Előzmény: [693] Atosz, 2005-01-05 18:19:37
[693] Atosz2005-01-05 18:19:37

Elsősorban lorantfy-nak (mert ő kérdezte) szól a válaszom. A Hófehérkés feladat mindenféle külső "maszlag" nélkül: Van egy 8 bites 0-kból és 1-esekből álló szám (ami 00000000-tól 11111111-ig bármi lehet) legyen pl.: 01101101 Valaki ezt megmutatja nekem és mond egy általa kigondolt számot 1-8-ig. Én valamelyik bitet ellenkezőre állíthatom, ha akarom (tehát kilenc dolgot tudok csinálni). Ezután bejön a barátom aki szintén először látja ezt a bitsorozatot, majd abból kitalálja a gondolt számot. Olyan terv kell, ami bizonyíthatóan minden bitsorozatra működik. Fálesz Mihály, szerintem itt egy picit te is félreérthetted, úgyhogy próbáld az ötletedet egy kicsit részletesebben kifejteni. Köszi! (attól még jó lehet!) ui: ha sikerül ezt valahogy kifundálnunk, bedobom a további jó feladataimat is! Sziasztok!

Előzmény: [691] lorantfy, 2005-01-05 09:43:24
[692] Fálesz Mihály2005-01-05 11:58:00

Hát igen. Módosítom a megoldást.

Ötlet: a balkezes tányérok sorszámát XOR-ozzuk össze bitenként. (Nevezzük ezt ,,összegnek''.) Az eredmény adja meg Hófehérke tányérjának számát.

Amikor a barát bemegy, ellenőrzi az összeget. Ha nem stimmel, kiszámíthatja, hogy melyik sorszámot kell hozzávenni/elhagyni, és azt a kanalat helyezi át a tányér másik oldalára.

Előzmény: [691] lorantfy, 2005-01-05 09:43:24
[691] lorantfy2005-01-05 09:43:24

Üdv Mihály, Atosz és Mindenki!

Jó a Hófehérkés feladat! Én úgy értelmeztem a szöveget, hogy a kanál visszahelyezésénél csak az változhat, hogy a tányér melyik oldalára teszi (jobb, bal). Szóval felvesz egy kanalat az egyik tányér jobb oldaláról és átteszi a bal oldalra vagy fordítva. Ezt jó lenne tisztázni!

Előzmény: [690] Fálesz Mihály, 2005-01-05 08:35:35
[690] Fálesz Mihály2005-01-05 08:35:35

Egy lehetséges megoldás a 138. feladatra:

A tányérokat megszámozzák 0-tól 7-ig. (Ehhez valamilyen értelmes összebeszélés szükséges, mert a számozáskor még nem látják a tányérok elrendezését. Például az ajtóhoz legközelebbi a 0-dik, és az óramutató járásával ellentétes irányban növekednek a számok.)

A kanalat legalább 8-féleképpen lehet visszatenni: jobb/baloldal, nyelével lefelé/felfelé, a kanál belseje lefelé/felfelé. Ezeket is megszámozzák 0-tól 7-ig.

Hófehérke tányérját a kanalakhoz rendelt számok összege adja meg. A barát úgy helyezi át az egyik kanalat, hogy a kanalak összege ugyanannyi maradékot adjon 8-cal osztva, mint Hófehérke tányérjának a száma. Akár azt is megteheti, hogy már azelőtt felveszi az egyik kanalat, hogy megtudná, melyik Hófehérje tányérja.

Előzmény: [684] Atosz, 2005-01-04 09:11:00

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]