Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[739] Kemény Legény2005-01-23 20:20:23

Egy nem túl pontos,de elvi becslés a p(k,n) valószinűségre: p(k,n) legfeljebb k/(n+k).Ez (2k+n) szerinti teljes indukcióval triviális. k=0 esetén 0 pontos,k=1 esetén 1/(n+1) pontos,k=2 esetén 2/(n+2),ami nincs messze a pontostól.Sajnos ez csak 'soronként' becsül,azaz csak a nyilvánvaló állitás jön ki,hogy hogy ha felek száma végtelenbe tart,akkor a valószinűség 0-hoz.Sajnos az 'érdekes' p(n,0) határértékről semmit sem mond( csak azt, hogy p(n,0)<1).

[738] Atosz2005-01-23 15:21:35

Kedves jenei.attila!

Gratulálok a megoldásaidhoz, bár szerintem jó lenne, ha megpróbálnád leírni. (TeX-el vagy nélküle...)

Gyógyszer...

Sikerült a pk,k-hoz hasonló zárt, de sajnos rekurzív képletet felírnom pe,f-re, hátha valamelyikőtöknek sikerül vele valamit kezdeni:

p_{e,f}=\sum_{i=0}^{f}\frac{e*\binom{f}{i}*p_{e-1,f+1-i}}{(f+e-i)*\binom{f+e}{i}}

Sok szerencsét az alakítgatásához!

Kedves Kós Géza!

Küldtem neked emilt a honlapodon lévő e-mail címekre. Légyszi nézd meg őket, és írj vissza valamit. Előre is köszönöm!

Előzmény: [737] jenei.attila, 2005-01-22 18:34:34
[737] jenei.attila2005-01-22 18:34:34

Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy k őrült esetén a keresett valószínűség 1/(k+1), ha az emberek száma legalább k+1. Érdekes megfigyelni, hogu a valószínűség nem függ n-től, és attól sem, hogy mely utasok őrültek. Ezt teljes indukcióval lehet igazolni, de leírni kicsit bolnyolult.

Előzmény: [736] Atosz, 2005-01-21 11:14:45
[736] Atosz2005-01-21 11:14:45

Kedves rizs!

jenei.attila megoldása teljesen jó (és így "hivatalos" is), legfeljebb a vége egy picit elnagyolt.

Amiből kiindulunk az a:

p_{n}=\frac{1}{n}*(1+p_{n-1}+p_{n-2}+...+p_{2})

Ez ugye azt jelenti, hogy minden helyre \frac{1}{n} valséggel ül, a zárójelben pedig sorra 1, ha a saját helyére, pn-1 ha a második helyére stb...

Ha felírjuk ugyanezt n-1 emberre, akkor kapjuk, hogy:

p_{n-1}=\frac{1}{n-1}*(1+p_{n-2}+p_{n-3}+...+p_{2})

Így az első sorban a zárójelben lévő 1+pn-2+...p2 helyére beírhatjuk, hogy (n-1)*pn-1 és kapjuk, hogy

n*pn=n*pn-1

Ez azt jelenti, hogy minden pi egyforma, azaz \frac{1}{2}

Persze még hiányzik az n utas és k őrült esete.

Előzmény: [734] rizs, 2005-01-20 23:21:37
[735] Kemény Legény2005-01-21 10:54:00

Ami a határértéket illeti,fogalmam hogy sincs hogy mennyi,vagy hogy létezik-e,de az biztos hogy ha létezik a p(n,0) határérték(n tart végtelenhez),akkor minden rögzitett a esetén létezik a p(n,a) határérték és egyenlő a p(n,0) határértékével(legyen ez P).Ugyanis p(n,0)=p(n-1,1) igy a=1 esetén igaz. Indukcióval p(n,a)=p(n-1,a+1)(n/(n+a))+p(n,a-1)(a/(n+a)) A baloldal P-hez tart, a jobb oldal 2.tagja 0-hoz tart,mert a/(n+a) 0-hoz tart,mig n/(n+a) 1-hez tart,igy p(n,a) határértéke egyenlő p(n-1,a+1) határértékével,igy a p(n,a+1) határértéke egyenlő p(n,a+1) határértékével.

Előzmény: [733] Atosz, 2005-01-20 21:35:33
[734] rizs2005-01-20 23:21:37

Kedves Attila!

Az őrült emberes feladat "hivatalos" megoldását meg lehet tudni?

[733] Atosz2005-01-20 21:35:33

Sziasztok!

Megnéztem az Excell által készített pe,f valószínűségi adatokat e és f eseteiben 0-60-ig. A kapott eredmények alátámasztják az előző feltevésemet.

A p1,f, p2,f,.. valószínűségek ahogy 1-1 egész szemet hozzáveszünk növekednek egészen e=f-ig, majd e>f esetén már csökkennek.

p60,0=0,1556486 ám a csökkenése p59,0-hoz képest mindössze 5 tízezred. Ha elindulunk egy kicsit feljebb úgy, hogy a szemek száma 60 maradjon pl. p30,30=0,14771909 és p18,42=0,13021446

Ha messziről nézem a pe,0 grafikont, akkor az úgy néz ki mint egy hiperbola.

p2,k közelítése \frac{2}{k+3}-al nagyon pontosnak tűnik a megfelelő érték eltérése a közelítéstől k=58 esetében mindössze 15 tízezred. Ez is a hiperbola jelleget támasztja alá.

Minden jót: Atosz

[732] Atosz2005-01-20 15:01:26

Sziasztok!

Még mindig (valószínűleg még sokszor) visszakanyarodnék a gyógyszeres példához. Légyszi véleményezzétek a következő gondolatot:

Ha a gyógyszerek száma viszonylag nagy és pl. csupa egészekből indulunk ki, akkor mindaddig, amíg az egészek vannak túlsúlyban, addig nagy valséggel azokat húzzuk, ám ennek hatására növekszik a felek száma. Amennyiben viszont a felek túlsúlyba kerülnének, akkor többször húzunk azokból és így viszont az egészek aránya növekszik meg. Ha elegendően nagy értékekből indulunk ki, akkor nagy valószínűséggel beáll a szem-típusok közt egy egyensúlyi állapot, amit a rendszer nem enged túlzottan kilengeni semelyik irányba. Ebből az következik, hogy pe,f értéke nagy e és f esetén felveszi pe*,f* értéket és azzal közel egyenlő is lesz. Így a feladat bizonyos értékek esetén statisztikai és határértékszámítási eszközökkel is elemezhető lesz.

Lehet, hogy pe,0 értéke 'e tart végtelen' esetén, tart valamilyen meghatározott értékhez, illetve ez más pe,f esetén is hasonló lehet?

Az általános rekurziós képletet pe,f esetén beírtam egy excell táblába, mely kiszámította ezeket. Az adatokat most vizsgálom, majd jelentkezem...

Atosz

[731] Kós Géza2005-01-20 13:06:24

Kedves Laci,

Tökéletesen igazad van. Az abszolút érték kívül kell, hogy legyen. (Úgy tűnik, a cikkben következetesen rosszul írtam.)

Előzmény: [729] Laci, 2005-01-19 20:14:46
[730] jonas2005-01-20 10:17:49

Szerintem is.

A Reiman Geometria[1] a 19. fejezetben (337. oldal a régi kiadásban) szintén az utóbbi képletet adja: a C-K modellen két pont távolsága \rho(P,Q)=(k/2)|ln ((UP/UQ)/(VP/VQ))| ahol U,V a PQ húr végpontjai. Leírja azt is, hogy az (UP/UQ)/(VP/VQ) kettősviszony mindig pozitív, mert a PQ szakasz az UV szakasz belsejében van, ezért a logaritmálás értelmes.

[1] Reiman István, A geometria és határterületei. 1986, Gondolat, Budapest

Előzmény: [729] Laci, 2005-01-19 20:14:46
[729] Laci2005-01-19 20:14:46

Nekem lenne egy kérdésem a Cayley-Klein modellt illetően. Az ehavi Kömalt olvasgatván rábukkantam a

d(X,Y) = \frac{k}{2} \cdot \ln \bigg|\frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB}\bigg|

képletre, ami a fent említett modellben található két pont távolságát adja meg. Az lenne a kérdésem, hogy ez nincsen-e elírva, mert szerintem a helyes képlet így szólna:

d(X,Y) = \frac{k}{2} \cdot | \ln \bigg(\frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB}\bigg)|

Márcsak azért is, mert a \frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB} tag sohasem lehet negatív, de ennek az e alapú logaritmusa igen. Az én képletem szerint X és Y tetszőlegesen felcserélhető, az újságban szereplő szerint nem. A kérdésem: igazam van?

[728] rizs2005-01-19 15:13:38

nekem inkább egy olyan ötletem volt, hogy az esetek párbaállíthatóak, de közben rájöttem, hogy elvi hibás a dolog. mivel azonban az 1/2 jó, valószínűleg mégis erről lehet szó :)

[727] jenei.attila2005-01-19 14:47:07

Jelöljük pn-nel annak a valószínűségét, hogy n utas esetén az utolsó a saját helyére ül. Nyilván p2=1/2. Annak a valószínűsége, hogy az őrült a helyére ül, az 1/n. Az hogy a 2. utas helyére ül, szintén 1/n. Ha az őrült a második utas helyére ült, akkor a 2. utas lesz az új őrölt (a helye az 1. hely lenne), az utasok száma pedig n-1. Ha az őrült 1/n valószínűséggel a 3. utas helyére ült, akkor a 3. utas lesz az új őrült, és az utasok száma n-2,...s.í.t. Vagyis p_n=\frac{1}{n}(1+p_{n-1}+p_{n-2}+...+p_2). Ebből teljes indukcióval könnyen kiszámítható, hogy pn=1/2.

Előzmény: [726] Atosz, 2005-01-19 12:26:08
[726] Atosz2005-01-19 12:26:08

Jó válasz, de tudod te is, hogy mindez indoklás nélkül semmit sem ér. Próbáld valahogy megmagyarázni!

Előzmény: [725] rizs, 2005-01-19 00:07:33
[725] rizs2005-01-19 00:07:33

1/2?

Előzmény: [724] Atosz, 2005-01-18 23:11:16
[724] Atosz2005-01-18 23:11:16

Kedves Viktor!

Sajnos nem jó a válasz! Ennél azért egy kicsit bonyolultabb ez a feladat. Először 1 "őrültre" próbáld megoldani. Gondold végig, hogy sorba állnak az ajtónál, elől az 1-es, majd a 2-es... végül pedig a 100-as. Most az 1-es az "őrült" (gondolom érzed, hogy a sorszámozásnak nincs jelentősége), aki berohan és leül pl. a 38-as székre. Ekkor 2-37-ig nincs gond, ám jön a 38-as akinek foglalt a helye...Ha az "őrült" a 100-as helyére ült volna, akkor 0 valséggel ül a helyére a 100-as. Ezt a gondolatmenetet kövesd '38' nélkül általánosan.

Egy darabig még hagyok időt mindenkinek - aztán közzéteszem a megoldást!

Minden jót: Atosz

Előzmény: [723] xviktor, 2005-01-18 18:13:48
[723] xviktor2005-01-18 18:13:48

Hello Atosz!

Szerintem a feladat kissé egyszerűbb. Véleményem szerint az mindegy, hogy hány őrült van köztük, és szerintem annak az esélye, hogy a 100. utas a helyére tud ülni mindig 1/n, így 100 utasnál 0,01.

Üdv: Viktor

Előzmény: [721] Atosz, 2005-01-17 23:26:18
[722] Lóczi Lajos2005-01-18 16:09:55

Sőt, p2,k aszimptotikus, azaz "nagy" k-kra vonatkozó viselkedését is tudjuk már, hiszen ismert, hogy a k-adik harmonikus szám kb. ln k, pontosabban \lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}-\ln k=\gamma, ahol az Euler-féle gamma-konstans értéke kb. 0.577216 és a sorozat monoton fogyó módón tart \gamma-hoz.

Előzmény: [721] Atosz, 2005-01-17 23:26:18
[721] Atosz2005-01-17 23:26:18

Kedves Lóczi Lajos és többiek!

Egész ügyes ez a Mathematica, a képlet tényleg zártabb, és módot ad p2,k egy elég jó felső becslésére.

Előszedtem a harmonikus sor és a számtani közép közti egyenlőtlenséget, miszerint:

\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\le\frac{1}{n}*(a_{1}+...+a_{n})

Itt most n=k+2 és ai=i, amit ha elkezdünk alakítgatni, kapjuk, hogy

p_{2,k}<\frac{2}{k+3}

Szeretnék azoknak akiknek nem fekszik teljesen ez a gyógyszeres feladat egy új példát adni a valség köréből, ami nem túl nehéz, ám a megoldása miatt az egyik kedvencem:

100 utas várakozik a reptéren, hogy végre beszállhassanak. A gépen 100 ülőhely van, mindenkinek máshová szól a jegye. Az első utas "őrült" nem törődik a jegyével, s beszálláskor véletlenszerűen elfoglal egy széket. Az összes többi utas "normális" és a helyére fog ülni, feltéve, ha ott még nem ül senki. Ha a helyük foglalt, akkor ők is véletlenszerűen választanak egy széket. (az utasok egymás után egyesével szállnak a gépre)

Mekkora a valsége annak, hogy a 100. utas a helyére tud ülni? Mi a helyzet n utas és abból k őrült esetén?

Előzmény: [720] Lóczi Lajos, 2005-01-17 17:51:35
[720] Lóczi Lajos2005-01-17 17:51:35

A Mathematicába beírtam a p2,k-ra vonatkozó rekurzív képletet, és az alábbi alakot kaptam vissza, ami talán kicsit egyszerűbb, mint az említett:


p_{2,k}=
\frac{2(2 + k - \sum_{i=1}^{k+2} \frac{1}{i})}{2 + 3k + k^2}

Látható, hogy a (k+2)-edik harmonikus szám szerepel a képletben, tehát ennél "zártabb" alak p2,k-ra szerintem nem várható.

Előzmény: [719] Atosz, 2005-01-17 16:52:17
[719] Atosz2005-01-17 16:52:17

Sziasztok!

Újabb "Rés a pajzson..." a gyógyszeres feladatban. Kis lépés, de ez is valami.

Sokáig próbálkoztam a pk,k vizsgálatával de nem bírtam zárt, "szumma" nélküli alakra hozni. Arra gondoltam, hátha alulról építkezve, speciális eseteket vizsgálva érnénk el eredményt.

Megnéztem a p1,k (1 egész, k fél) valségét. Ilyenkor abban az esetben marad egész, ha végig feleket húzunk egymás után, azaz

p_{1,k}=\frac{k}{k+1}*\frac{k-1}{k}*...*\frac{1}{2}=\frac{1}{k+1}

Ekkor felírtam p2,k-ra az eredeti rekurziós képletet, azaz:

p_{2,k}=\frac{2}{k+2}*p_{1,k+1}+\frac{k}{k+2}*p_{2,k-1}

Beírva p1,k+1 helyére az \frac{1}{k+2} értéket, kapjuk hogy:

p_{2,k}=\frac{2}{(k+2)^{2}}+\frac{k}{k+2}*p_{2,k-1}

Rengeteg egyváltozós függvényt vizsgáltam meg, hogy eleget tesz-e az előző függvényegyenletnek, de nem jártam sikerrel. Ekkor p2,k-1-et tovább alakítottam p2,k-2- és így tovább, amíg el nem érünk p2,0-ig, melynek értéke \frac{1}{2}. A kapott hosszú szörnyet addig néztem, amíg ki nem jött, hogy:

p_{2,k}=\sum_{i=0}^{k}\frac{2*\binom{k}{i}}{(k+2-i)^{2}*\binom{k+2}{i}}

Jó lenne ennek egy zárt alakot felírni, de nekem már ez is tetszik. Viszonylag jól lehet vele számolni is:

pl. p_{2,1}=\frac{7}{18}, p_{2,2}=\frac{23}{72}, p_{2,3}=\frac{163}{600},

További jó munkát!

[718] Bubu2005-01-17 15:13:44

Hello Mindenki!

A kihalási probléma a következő: Egy szigetre egy férfi érkezik. A szigeten tetszőleges mennyiségben rendelkezésre állnak nők (19. századi a feladat). Egy férfi p(0) valséggel 0, p(1) valséggel 1, stb., p(n) valséggel n nemzőképes fiú utódot hoz létre (Ezen valségek összege 1.). Mi a valószínűsége, hogy a populáció véges idő alatt kihal?

Szerintem nem sok köze van egymáshoz a kettőnek. Az biztos, hogy a kihalási problémára is felírható egy rekurzió, ami nem oldható meg, és ott az trükk, hogy a generátorfüggvény kompozicóit kell vizsgálni. Sajnos töbet nem tudok én se róla, mert csak egy rövid folyosói beszélgetésben hallottam a problémáról, de ha kell majd utánakérdezek később. Nem tudom, hogy ezzel segítettem-e, mindenesetre most nem érek rá ezzel foglalkozni, mert analízis szigorlatra készülök gőzerővel.

Üdv: Bubu

[717] Atosz2005-01-15 00:22:21

Sziasztok!

Visszatérve a gyógyszeres feladathoz, sikerült előtúrnom a régi jegyzeteimet, a benne lévőket közreadom, hátha közös erővel közelebb jutunk a megoldáshoz.

Kézi erővel viszonylag egyszerű a gyógyszerfogyási fát felírni. Pl. n=4-re - írjuk ezt úgy, hogy (4,0) -, ebből előbb (3,1) lesz, majd növesztjük az ágakat: 3/4 valséggel megyünk (2,2)-re és 1/4 valséggel (3,0)-ra. Ezt egészen addig folytatjuk, amíg a fa ágainak végén 1 egész, vagy 1 fél szem lesz. Összeszorozzuk az egész végű ágon lévő valségeket, majd az ilyen ágak értékeit összeadjuk, megkapjuk a keresett valószínűséget.

Ha sehol sem számoltam el, akkor n=2-re p=1/2, n=3-ra p=7/18, és n=4-re p=97/288. Persze ember legyen a talpán, aki mindezt sz.gép nélkül n=100-ra megcsinálja.

Ekkor elkezdtem az ált. problémát vizsgálni. Legyen 'e' az egész, míg 'f' a fél szemek száma. Annak a valószínűsége, hogy ebből egész marad, az legyen pe,f. Az általános rekurzív formula így:

p_{e,f} = \frac{e*p_{e-1,f+1}}{e+f} + \frac{f*p_{e,f-1}}{e+f}

Ezt több oldalon keresztül alakítgattam, de nem bírtam vele. Ekkor elkezdtem egy picit specializálni, és megvizsgáltam azt az esetet, amikor induláskor megegyezik az egész és a felek száma, azaz megnéztem pk,k-t. Annak reményében tettem mindezt, hátha ezek segítségével jutunk az ált. eset nyomára.

Sikerült egy szép zárt alakot felírnom (ami még mindig rekurzív, de már lemegy 1-ig)

p_{k,k}=\frac{\sum_{i=1}^{k+1}\binom{k+i-2}{i-1}p_{k-1,i}}{2\binom{2k-1}{k}}

Ez pl. p4,4-re: (és a nevezővel átszorozva)

70*p4,4=35*p3,5+20*p3,4+10*p3,3+4*p3,2+p3,1

Egyelőre ennyi. Szerintem ez egy igen érdekes probléma, ne adjuk fel, előbb utóbb meglesz!

Előzmény: [716] jenei.attila, 2005-01-14 13:40:18
[716] jenei.attila2005-01-14 13:40:18

Hülyeséget írtam, n=2-re 1/2-et ad, de n=3-ra 2/7-et, a helyes érték pedig (legalábbis szerintem) 7/18.

Előzmény: [715] jenei.attila, 2005-01-14 13:35:26
[715] jenei.attila2005-01-14 13:35:26

Ezzel szerintem az a baj, hogy feltételezed, bármely sorozat előfordulása ugyanolyan valószínű, holott ez nem igaz. A kedvező eset/összes eset képlet pedig csak ekkor alkalmazgató. A képleted sajnos n=2 re sem jó, mert 1/3-ot ad, a helyes érték pedig 1/2.

Előzmény: [714] nadorp, 2005-01-14 13:05:26

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]