Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[744] rizs2005-01-26 18:12:41

1-1/e.

[743] Kós Géza2005-01-26 18:09:47

Sziasztok,

Szerintem az őrült utasos feladatot még ne zárjuk le. Keressünk közvetlen, számolás nélküli megoldást.

Előzmény: [741] jenei.attila, 2005-01-24 16:30:06
[742] Atosz2005-01-26 17:43:41

Sziasztok!

Itt az újabb példa, szintén a valség köréből (A feladat Mikulás-probléma néven is ismert).

Egy 'n' fős osztályban Mikulás ünnepségre készülnek a gyerekek. A tanár mindenkinek felírja a nevét egy cetlire, majd beteszi egy kalapba és ezután kezdődik a húzás. Miután mindenki kihúzott egyet, mi a valószínűsége annak, hogy senki sem húzta a saját nevét, azaz nem kell kezdeni mindent előről?

[741] jenei.attila2005-01-24 16:30:06

Kiegészítés: előzőleg külön kezeltük azt az esetet, amikor az utolsó utas őrült, mondván, hogy a keresett valószínűség ekkor ugyanaz, mint amikor k-1 őrült van. Ugyanis nem befolyásolja az eseményeket, hogy az utolsó utas őrült vagy sem, mivel csak az egyetlen megmaradt helyre tud ülni. Összefoglalva tehát: n utas és ezek közül bármely k őrült utas esetén (n>=k) annak valószínűsége hogy az utolsó utas a helyére ül 1/(k+1), ha az utolsó utas nem őrült, és 1/k, ha az utolsó utas őrült.

Előzmény: [740] jenei.attila, 2005-01-24 15:53:03
[740] jenei.attila2005-01-24 15:53:03

Tegyük fel, hogy n utas van, és ezek közül az i1,i2,...,ik (ahol 1<=i1<i2<...<ik<=n) sorszámú utasok őrültek. Jelöljük pn(i1,i2,...,ik)-val annak valószínűségét, hogy az utolsó utas a helyére tud ülni. Tegyük fel, hogy a szóban forgó valószínűségeket már ismerjük n-nél kevesebb utas és ezek közül bármely k,k-1,k-2,...,1 őrült esetén. Világos, hogy ekkor már csak a pn(1,i2,...,ik) alakú valószínűségeket kell kiszámolni, mivel i1>1 esetén a keresett valószínűség pn-i1+1(1,i2-i1+1,...,ik-i1+1) (hiszen az első i1-1 utasig rendben mennek a dolgok), amit a feltevés szerint már ismerünk. Természetesen ahhoz, hogy egyáltalán ilyen módon k őrült esetén el tudjunk indulni, ismerni kell a pk+1(1,i2,...,ik) valószínűségeket (ha i1<>1, akkor pk+1(2,3,...,k+1)=pk(1,2,...,k)=pk(1,2,...,k-1) valószínűségről van szó, mivel mindegy hogy az utolsó utas őrült -e vagy sem, úgyis csak az egyetlen üres helyre tud ülni). A továbbiakban egyszerűsítjük a jelölést, mivel indukcióval feltesszük, hogy k-nál kevesebb őrült esetén a valószínűség független attól, hogy pontosan mely utasok őrültek, vagyis pn,m:=pn(i1,...,im) bármely i1,...,im kombináció esetén. Mint azt egy őrült esetén láttuk, a feltevés jogos. Tehát van k+1 utasunk, az első k utas őrült. Feltehetjük, hogy az utolsó utas nem őrült, mert ez nem befolyásolja a keresett valószínűséget (így is úgy is csak az egyetlen megmaradt helyre tud ülni), ha pedig őrült lenne, akkor nyilván eggyel kevesebb őrülttel kellene megoldani a feladatot, amit már a feltevés szerint megoldottunk. Ekkor

p_{k+1}(1,2,...,k)=\frac{1}{k+1}(k*p_{k,k-1})

. A fenti képletben az 1. utas (aki őrült) 1/(k+1) valószínűséggel ül bármely helyre. Ha saját vagy másik őrült helyére ül, akkor a leültetendő utasok és az őrültek száma 1-gyel csökken, ezt nyilván k féleképpen teheti meg. Az egyetlen normális utas (utolsó utas) helyére nem ülhet, mert akkor biztos hogy az utolsó utas nem ül a saját helyére. Most teljes indukcióval feltesszük, hogy minden n-re, és minden m<k őrültre a keresett valószínűség 1/(m+1). Ez m=1-re már bizonyított. Ekkor a fenti képlet szerint

p_{k+1}(1,2,...,k)=\frac{1}{k+1}(k*p_{k,k-1})=\frac{1}{k+1}

. Most rögzített k őrültszám mellett n szerinti teljes indukcióval haladunk (n>k), és feltesszük, hogy adott k mellett n-1,n-2,...,k+1 utassal a keresett valószínűség utasszámtól és őrültek kombinációjától függetlenül 1/(k+1).

p_n(1,i_2,...,i_k)=\frac{1}{n}(k*p_{n-1,k-1}+(n-k-1)*p_{n-1,k})=\frac{1}{k+1}

. Az első utas (aki őrült) 1/n valószínűséggel ül bármely helyre, ebből k esetben őrült helyére (a sajátját is beleértve). Ha őrült helyére ült, akkor az utasok és az őrültek száma is 1-gyel csökken, mely esetre ismerjük a valószínűséget (1/k). Ha nem őrült helyére és nem is az utolsó helyre ül (n-k-1 eset), akkor az utasok száma 1-gyel csökken, de akinek a helyére ült, az megőrül, vagyis az őrültek száma marad. Az indukciós feltevés szerint ez esetekben is ismerjük a valószínűséget (1/(k+1)). Innen n utasra és k őrültre (ahol az 1. utas biztos őrült) a keresett valószínűség 1/(k+1) és független az őrültek kombinációjától, ha n-nél kevesebb utasra is fügetlen volt (ez az indukciós feltevés).

[739] Kemény Legény2005-01-23 20:20:23

Egy nem túl pontos,de elvi becslés a p(k,n) valószinűségre: p(k,n) legfeljebb k/(n+k).Ez (2k+n) szerinti teljes indukcióval triviális. k=0 esetén 0 pontos,k=1 esetén 1/(n+1) pontos,k=2 esetén 2/(n+2),ami nincs messze a pontostól.Sajnos ez csak 'soronként' becsül,azaz csak a nyilvánvaló állitás jön ki,hogy hogy ha felek száma végtelenbe tart,akkor a valószinűség 0-hoz.Sajnos az 'érdekes' p(n,0) határértékről semmit sem mond( csak azt, hogy p(n,0)<1).

[738] Atosz2005-01-23 15:21:35

Kedves jenei.attila!

Gratulálok a megoldásaidhoz, bár szerintem jó lenne, ha megpróbálnád leírni. (TeX-el vagy nélküle...)

Gyógyszer...

Sikerült a pk,k-hoz hasonló zárt, de sajnos rekurzív képletet felírnom pe,f-re, hátha valamelyikőtöknek sikerül vele valamit kezdeni:

p_{e,f}=\sum_{i=0}^{f}\frac{e*\binom{f}{i}*p_{e-1,f+1-i}}{(f+e-i)*\binom{f+e}{i}}

Sok szerencsét az alakítgatásához!

Kedves Kós Géza!

Küldtem neked emilt a honlapodon lévő e-mail címekre. Légyszi nézd meg őket, és írj vissza valamit. Előre is köszönöm!

Előzmény: [737] jenei.attila, 2005-01-22 18:34:34
[737] jenei.attila2005-01-22 18:34:34

Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy k őrült esetén a keresett valószínűség 1/(k+1), ha az emberek száma legalább k+1. Érdekes megfigyelni, hogu a valószínűség nem függ n-től, és attól sem, hogy mely utasok őrültek. Ezt teljes indukcióval lehet igazolni, de leírni kicsit bolnyolult.

Előzmény: [736] Atosz, 2005-01-21 11:14:45
[736] Atosz2005-01-21 11:14:45

Kedves rizs!

jenei.attila megoldása teljesen jó (és így "hivatalos" is), legfeljebb a vége egy picit elnagyolt.

Amiből kiindulunk az a:

p_{n}=\frac{1}{n}*(1+p_{n-1}+p_{n-2}+...+p_{2})

Ez ugye azt jelenti, hogy minden helyre \frac{1}{n} valséggel ül, a zárójelben pedig sorra 1, ha a saját helyére, pn-1 ha a második helyére stb...

Ha felírjuk ugyanezt n-1 emberre, akkor kapjuk, hogy:

p_{n-1}=\frac{1}{n-1}*(1+p_{n-2}+p_{n-3}+...+p_{2})

Így az első sorban a zárójelben lévő 1+pn-2+...p2 helyére beírhatjuk, hogy (n-1)*pn-1 és kapjuk, hogy

n*pn=n*pn-1

Ez azt jelenti, hogy minden pi egyforma, azaz \frac{1}{2}

Persze még hiányzik az n utas és k őrült esete.

Előzmény: [734] rizs, 2005-01-20 23:21:37
[735] Kemény Legény2005-01-21 10:54:00

Ami a határértéket illeti,fogalmam hogy sincs hogy mennyi,vagy hogy létezik-e,de az biztos hogy ha létezik a p(n,0) határérték(n tart végtelenhez),akkor minden rögzitett a esetén létezik a p(n,a) határérték és egyenlő a p(n,0) határértékével(legyen ez P).Ugyanis p(n,0)=p(n-1,1) igy a=1 esetén igaz. Indukcióval p(n,a)=p(n-1,a+1)(n/(n+a))+p(n,a-1)(a/(n+a)) A baloldal P-hez tart, a jobb oldal 2.tagja 0-hoz tart,mert a/(n+a) 0-hoz tart,mig n/(n+a) 1-hez tart,igy p(n,a) határértéke egyenlő p(n-1,a+1) határértékével,igy a p(n,a+1) határértéke egyenlő p(n,a+1) határértékével.

Előzmény: [733] Atosz, 2005-01-20 21:35:33
[734] rizs2005-01-20 23:21:37

Kedves Attila!

Az őrült emberes feladat "hivatalos" megoldását meg lehet tudni?

[733] Atosz2005-01-20 21:35:33

Sziasztok!

Megnéztem az Excell által készített pe,f valószínűségi adatokat e és f eseteiben 0-60-ig. A kapott eredmények alátámasztják az előző feltevésemet.

A p1,f, p2,f,.. valószínűségek ahogy 1-1 egész szemet hozzáveszünk növekednek egészen e=f-ig, majd e>f esetén már csökkennek.

p60,0=0,1556486 ám a csökkenése p59,0-hoz képest mindössze 5 tízezred. Ha elindulunk egy kicsit feljebb úgy, hogy a szemek száma 60 maradjon pl. p30,30=0,14771909 és p18,42=0,13021446

Ha messziről nézem a pe,0 grafikont, akkor az úgy néz ki mint egy hiperbola.

p2,k közelítése \frac{2}{k+3}-al nagyon pontosnak tűnik a megfelelő érték eltérése a közelítéstől k=58 esetében mindössze 15 tízezred. Ez is a hiperbola jelleget támasztja alá.

Minden jót: Atosz

[732] Atosz2005-01-20 15:01:26

Sziasztok!

Még mindig (valószínűleg még sokszor) visszakanyarodnék a gyógyszeres példához. Légyszi véleményezzétek a következő gondolatot:

Ha a gyógyszerek száma viszonylag nagy és pl. csupa egészekből indulunk ki, akkor mindaddig, amíg az egészek vannak túlsúlyban, addig nagy valséggel azokat húzzuk, ám ennek hatására növekszik a felek száma. Amennyiben viszont a felek túlsúlyba kerülnének, akkor többször húzunk azokból és így viszont az egészek aránya növekszik meg. Ha elegendően nagy értékekből indulunk ki, akkor nagy valószínűséggel beáll a szem-típusok közt egy egyensúlyi állapot, amit a rendszer nem enged túlzottan kilengeni semelyik irányba. Ebből az következik, hogy pe,f értéke nagy e és f esetén felveszi pe*,f* értéket és azzal közel egyenlő is lesz. Így a feladat bizonyos értékek esetén statisztikai és határértékszámítási eszközökkel is elemezhető lesz.

Lehet, hogy pe,0 értéke 'e tart végtelen' esetén, tart valamilyen meghatározott értékhez, illetve ez más pe,f esetén is hasonló lehet?

Az általános rekurziós képletet pe,f esetén beírtam egy excell táblába, mely kiszámította ezeket. Az adatokat most vizsgálom, majd jelentkezem...

Atosz

[731] Kós Géza2005-01-20 13:06:24

Kedves Laci,

Tökéletesen igazad van. Az abszolút érték kívül kell, hogy legyen. (Úgy tűnik, a cikkben következetesen rosszul írtam.)

Előzmény: [729] Laci, 2005-01-19 20:14:46
[730] jonas2005-01-20 10:17:49

Szerintem is.

A Reiman Geometria[1] a 19. fejezetben (337. oldal a régi kiadásban) szintén az utóbbi képletet adja: a C-K modellen két pont távolsága \rho(P,Q)=(k/2)|ln ((UP/UQ)/(VP/VQ))| ahol U,V a PQ húr végpontjai. Leírja azt is, hogy az (UP/UQ)/(VP/VQ) kettősviszony mindig pozitív, mert a PQ szakasz az UV szakasz belsejében van, ezért a logaritmálás értelmes.

[1] Reiman István, A geometria és határterületei. 1986, Gondolat, Budapest

Előzmény: [729] Laci, 2005-01-19 20:14:46
[729] Laci2005-01-19 20:14:46

Nekem lenne egy kérdésem a Cayley-Klein modellt illetően. Az ehavi Kömalt olvasgatván rábukkantam a

d(X,Y) = \frac{k}{2} \cdot \ln \bigg|\frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB}\bigg|

képletre, ami a fent említett modellben található két pont távolságát adja meg. Az lenne a kérdésem, hogy ez nincsen-e elírva, mert szerintem a helyes képlet így szólna:

d(X,Y) = \frac{k}{2} \cdot | \ln \bigg(\frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB}\bigg)|

Márcsak azért is, mert a \frac{AX}{XB} : \frac{AY}{YB} tag sohasem lehet negatív, de ennek az e alapú logaritmusa igen. Az én képletem szerint X és Y tetszőlegesen felcserélhető, az újságban szereplő szerint nem. A kérdésem: igazam van?

[728] rizs2005-01-19 15:13:38

nekem inkább egy olyan ötletem volt, hogy az esetek párbaállíthatóak, de közben rájöttem, hogy elvi hibás a dolog. mivel azonban az 1/2 jó, valószínűleg mégis erről lehet szó :)

[727] jenei.attila2005-01-19 14:47:07

Jelöljük pn-nel annak a valószínűségét, hogy n utas esetén az utolsó a saját helyére ül. Nyilván p2=1/2. Annak a valószínűsége, hogy az őrült a helyére ül, az 1/n. Az hogy a 2. utas helyére ül, szintén 1/n. Ha az őrült a második utas helyére ült, akkor a 2. utas lesz az új őrölt (a helye az 1. hely lenne), az utasok száma pedig n-1. Ha az őrült 1/n valószínűséggel a 3. utas helyére ült, akkor a 3. utas lesz az új őrült, és az utasok száma n-2,...s.í.t. Vagyis p_n=\frac{1}{n}(1+p_{n-1}+p_{n-2}+...+p_2). Ebből teljes indukcióval könnyen kiszámítható, hogy pn=1/2.

Előzmény: [726] Atosz, 2005-01-19 12:26:08
[726] Atosz2005-01-19 12:26:08

Jó válasz, de tudod te is, hogy mindez indoklás nélkül semmit sem ér. Próbáld valahogy megmagyarázni!

Előzmény: [725] rizs, 2005-01-19 00:07:33
[725] rizs2005-01-19 00:07:33

1/2?

Előzmény: [724] Atosz, 2005-01-18 23:11:16
[724] Atosz2005-01-18 23:11:16

Kedves Viktor!

Sajnos nem jó a válasz! Ennél azért egy kicsit bonyolultabb ez a feladat. Először 1 "őrültre" próbáld megoldani. Gondold végig, hogy sorba állnak az ajtónál, elől az 1-es, majd a 2-es... végül pedig a 100-as. Most az 1-es az "őrült" (gondolom érzed, hogy a sorszámozásnak nincs jelentősége), aki berohan és leül pl. a 38-as székre. Ekkor 2-37-ig nincs gond, ám jön a 38-as akinek foglalt a helye...Ha az "őrült" a 100-as helyére ült volna, akkor 0 valséggel ül a helyére a 100-as. Ezt a gondolatmenetet kövesd '38' nélkül általánosan.

Egy darabig még hagyok időt mindenkinek - aztán közzéteszem a megoldást!

Minden jót: Atosz

Előzmény: [723] xviktor, 2005-01-18 18:13:48
[723] xviktor2005-01-18 18:13:48

Hello Atosz!

Szerintem a feladat kissé egyszerűbb. Véleményem szerint az mindegy, hogy hány őrült van köztük, és szerintem annak az esélye, hogy a 100. utas a helyére tud ülni mindig 1/n, így 100 utasnál 0,01.

Üdv: Viktor

Előzmény: [721] Atosz, 2005-01-17 23:26:18
[722] Lóczi Lajos2005-01-18 16:09:55

Sőt, p2,k aszimptotikus, azaz "nagy" k-kra vonatkozó viselkedését is tudjuk már, hiszen ismert, hogy a k-adik harmonikus szám kb. ln k, pontosabban \lim_{k\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}-\ln k=\gamma, ahol az Euler-féle gamma-konstans értéke kb. 0.577216 és a sorozat monoton fogyó módón tart \gamma-hoz.

Előzmény: [721] Atosz, 2005-01-17 23:26:18
[721] Atosz2005-01-17 23:26:18

Kedves Lóczi Lajos és többiek!

Egész ügyes ez a Mathematica, a képlet tényleg zártabb, és módot ad p2,k egy elég jó felső becslésére.

Előszedtem a harmonikus sor és a számtani közép közti egyenlőtlenséget, miszerint:

\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}\le\frac{1}{n}*(a_{1}+...+a_{n})

Itt most n=k+2 és ai=i, amit ha elkezdünk alakítgatni, kapjuk, hogy

p_{2,k}<\frac{2}{k+3}

Szeretnék azoknak akiknek nem fekszik teljesen ez a gyógyszeres feladat egy új példát adni a valség köréből, ami nem túl nehéz, ám a megoldása miatt az egyik kedvencem:

100 utas várakozik a reptéren, hogy végre beszállhassanak. A gépen 100 ülőhely van, mindenkinek máshová szól a jegye. Az első utas "őrült" nem törődik a jegyével, s beszálláskor véletlenszerűen elfoglal egy széket. Az összes többi utas "normális" és a helyére fog ülni, feltéve, ha ott még nem ül senki. Ha a helyük foglalt, akkor ők is véletlenszerűen választanak egy széket. (az utasok egymás után egyesével szállnak a gépre)

Mekkora a valsége annak, hogy a 100. utas a helyére tud ülni? Mi a helyzet n utas és abból k őrült esetén?

Előzmény: [720] Lóczi Lajos, 2005-01-17 17:51:35
[720] Lóczi Lajos2005-01-17 17:51:35

A Mathematicába beírtam a p2,k-ra vonatkozó rekurzív képletet, és az alábbi alakot kaptam vissza, ami talán kicsit egyszerűbb, mint az említett:


p_{2,k}=
\frac{2(2 + k - \sum_{i=1}^{k+2} \frac{1}{i})}{2 + 3k + k^2}

Látható, hogy a (k+2)-edik harmonikus szám szerepel a képletben, tehát ennél "zártabb" alak p2,k-ra szerintem nem várható.

Előzmény: [719] Atosz, 2005-01-17 16:52:17

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]