Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[902] Atosz2005-05-04 17:53:49

Sziasztok!

Kissé eltűntem az utóbbi időben, de újra itt vagyok, s gondolom ilyenkor illik egy új feladattal visszatérni. Nem túl nehéz.

[161]. feladat

A távoli hegyi faluban akkor tartanak ünnepet, amikor a kolostor és a templom harangjai pontosan egyszerre konganak. Mindkét harangot szabályos időközönként, egész számú percenként kongatják; de természetesen más ritmusban. Ma a harangok déli 12-kor fognak együtt kongani. Az ünnepnapok között a harangok felváltva konganak, és előfordul, hogy a nem ünnepnapok egyikén csak egy percnyi eltérés választja el a két hangot. Legutóbb a harangszók egybeesése déli 12 órakor történt, az azóta eltelt napok száma prímszám.

Hány napja történt ez?

Jó fejtörést hozzá!

[901] Lóczi Lajos2005-05-03 13:53:25

Kedves Géza,

már rögtön az idézett hozzászólás után letisztáztuk a kérdést, és a továbbiakban szinte az egész problémát.

Előzmény: [900] BohnerGéza, 2005-05-03 12:49:15
[900] BohnerGéza2005-05-03 12:49:15

Kedves Csimby!

Sajnos az asztroidra vonatkozó feltevésed nem jó. Kiszámoltam, egységnyi sugarú körben az asztroid hossza 6, a kör kerülete 2*PI.

(A számolás egy egyszerű integráláshoz vezet.)

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[899] Lóczi Lajos2005-05-01 19:55:05

Én közvetlenül az ívhossz kiszámítására vonatkozó képletet használtam, ismert, hogy egy (megfelelően sima) függvény grafikonjának ívhossza 0 és 1 között \int_0^1 \sqrt{1+(f^{'}(x))^2}. Az a kérdés, hogy ez mikor lesz épp egy negyedkörívnyi hosszú, azaz \frac{\pi}{2}, ha a függvényünk f(x)=(1-x^\alpha)^{1/\alpha}. Más szavakkal, meg kell keresni azt az 0<\alpha<1 kitevőt (pl. ügyes programokkal), melyre a {\sqrt{1 + x^{-2 + 2\alpha }
      {\left( 1 - x^{\alpha } \right) }^
       {-2 + \frac{2}{\alpha }}}} függvény görbe alatti területe 0-tól 1-ig épp \frac{\pi}{2}.

Előzmény: [898] levi, 2005-04-29 21:47:06
[898] levi2005-04-29 21:47:06

Nagyon érdekelne hogy hogyan lehet eljutni ahhoz a kitevőhöz (szóval tulajdonképpen a megoldás érdekelne)... persze csak ha el lehet árulni...

[897] Csimby2005-04-29 19:15:31

Más kérdés:

Tudja valaki, hogyan határozzák meg a felvételi ponthatárokat, milyen algoritmussal? (Ez ugyanis csöppet sem tűnik egyértelműnek)

[896] Lóczi Lajos2005-04-29 17:05:01

Igen, csak véletlen.

A keresett kitevő ugyanis megközelítőleg \alpha=0.561493300750... (melyhez tartozó x^\alpha+y^\alpha=1-alakzat kerülete az egységkör kerületétől csak kb. 10-12-nel tér el.)

Előzmény: [895] Csimby, 2005-04-29 16:42:04
[895] Csimby2005-04-29 16:42:04

Lehet, hogy csak véletlen egybeesés,de: \frac{1}{\sqrt{\pi}}=0,564189...

Előzmény: [891] Lóczi Lajos, 2005-04-28 17:22:56
[894] Lóczi Lajos2005-04-29 01:38:38

Ott, hogy a körívre nem lehet felírni egy x^\alpha+y^\alpha=1 egyenletet, más szavakkal, x^\alpha+y^\alpha=1 pontosan akkor lesz egy kör egyenlete, ha \alpha=2.

Előzmény: [893] levi, 2005-04-28 23:19:30
[893] levi2005-04-28 23:19:30

Átszámoltam még pár számra az eredményt és tényleg rossz. Viszont én ezt nem értem. Abból indultam ki hogy van egy (1,1) középpontú 1 sugarú kör. Ennek ugye 2\pi a kerülete, és a o,1 zárt intervallumban lévő ívét vizsgáltam. Ennek az egyenlete (x-1)2+(y-1)2=1 (0\lex,y\le1). Ugyanakkor nekünk erre az ívre kellene felírni egy x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletet. A könnyű számolás miatt olyan pontot választottam hol a két koordináta megegyezik: ez az (1-\frac1{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}) pont. Ez a két koordináta az x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletbe behelyettesítve adja nekem \alpha-ra a 0.564476383 eredményt (pontosan: \frac {lg \frac 12}{lg (1-\frac1{\sqrt2})}). Ebből gondoltam azt hogy akkor ez az \alpha lesz az eredmény. Hol tévedtem?

[892] Lóczi Lajos2005-04-28 20:01:27

Az előző hozzászólásomból a "szeritem" törölhető, aprócska feladat: lássuk be, hogy a "tükrözött körív" (melynek egyenlete könnyen láthatóan y=1-\sqrt{2x-x^2}) nincs a vizsgált görbék között, azaz nem létezik olyan \alpha>0, hogy minden 0\lex\le1 esetén x^\alpha+(1-\sqrt{2x-x^2})^\alpha=1 fennállna.

[891] Lóczi Lajos2005-04-28 17:22:56

A [890]-es hozzászólással viszont nem értek egyet, nincs megindokolva, hogy a tükrözött körívre miért lenne igaz az x^\alpha+y^\alpha=1 egyenlet. (Szerintem nem is igaz.)

Az viszont érdekes, hogy az én számításaim szerinti \alpha "viszonylag közel" van az Általad megadotthoz, de azért határozottan más, az eltérés csak a 3. tizedesjegytől kezdődik (ez nem róható fel kerekítési hibáknak, nagyobb pontossággal megismételve a számítást a kétfajta \alpha továbbra is eltér.)

Előzmény: [889] levi, 2005-04-28 16:54:59
[890] Lóczi Lajos2005-04-28 16:57:00

Egyetértek.

(Viszont furcsa, hogy a [888]-as hozzászólás eltűnt. Vajon ki akart benne mit mondani?)

Előzmény: [888] levi, 2005-04-28 16:00:55
[889] levi2005-04-28 16:54:59

Vizsgáljuk csak az első síknegyedet (azon belül is a 0,1 zárt intervallumot)! Húzzuk be az x+y=1 egyenest és rajzoljuk be a kör részét. Arra gondoltam, hogy tükrüzzük a körívet. Ehhez szintén húzzuk be az x-y=0 egyenest. Az első egyenessel és a körrel vett metszéspontjának koordinátáit kiszámíthatjuk: ezek M(1/2,1/2) ill. N(1/\sqrt2,1/\sqrt2). Az MN távolság pedig \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}. Keressük meg az x-y=0 egyenesen a másik ilyen távolságban lévő pontot M-től, ez az P(\frac{2-\sqrt2}2,\frac{2-\sqrt2}2). Ez a pont rajta lesz a keresett köríven. Erre az ívre érvényes az x^\alpha +y^\alpha =1 egyenlet. Mivel x=y és behelyettesítve ezt az egyenletet kapjuk: 2(\frac{2-\sqrt2}2)^\alpha =1. Ebből azt kapjuk hogy \alpha=0.564476383. Ez talán egy keresett \alpha érték.

[888] levi2005-04-28 16:00:55

http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0001/05.html

a cikk részben érinti a kérdést (4. ábra és a mellette lévő kis bekezdés), ebből úgy gondolom ha \alpha>2 akkor a kerület (ha az \alpha megfelelően nagy) közelít a 8-hoz (egy 2*2 négyzet). Ha 1\le\alpha<2, akkor a kerület a 4\sqrt2-höz közelít.

[886] Csimby2005-04-26 23:06:10

Tudom, rájöttem hamar miután beírtam :-(

A keresett ponthalmaz parametrikus egyenlete: x=cos^{2/\alpha}t, y=sin^{2/\alpha}t

Az ívhossz: \int{\sqrt{x'^2+y'^2}} Most nem írom tovább, de \alpha=2/3-ra tényleg kijön a 6.

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[885] Lóczi Lajos2005-04-26 22:23:28

Sajnos nem. Az asztroid kerülete csak 6, ami nem 2\pi (ez benne is van a cikkben, amiből az ábrák valók).

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[884] Csimby2005-04-26 22:06:56

A kis kör sugara a nagy kör sugarának a negyede, az animációból látszik, hogy az asztroid és a nagy kör kerülete megegyezik. (egy negyed körív = egy negyed asztroid ív = a kis kör teljes kerülete)

Előzmény: [883] Csimby, 2005-04-26 22:02:49
[883] Csimby2005-04-26 22:02:49

Szemléletesen az asztroid jónak tűnik.

( a kép innen van: http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html)

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[882] nadorp2005-04-25 12:29:33

Szia Csimby !

A \sum_{i=2}^{n+1}\frac1i\leq\int_1^{n+1}\frac1xdx=ln(n+1) egyenlőtlenség módszerére gondoltam. Ugyanis:

\frac{ln1 +ln2 + ... lnn}n\geq\frac1n\int_1^nlnxdx=\frac1n(nlnn-n+1)\geq{lnn-1},azaz \root{n}\of{n!}\geq\frac{n}e.

A fent kapott egyenlőtlenség már jó alap a feladatban a nemkorlátosság bizonyításához.

Előzmény: [881] Csimby, 2005-04-22 21:54:35
[881] Csimby2005-04-22 21:54:35

Kedves Nadorp! Ha még emlékszel rá, elmondod mire gondoltál?

Előzmény: [812] nadorp, 2005-03-01 12:15:48
[880] Lóczi Lajos2005-04-22 11:23:44

Valamely \alpha>0-ra tekintsük a sík azon (x,y) pontjait, amelyekre teljesül, hogy


|x|^\alpha+|y|^\alpha=1.

(Az \alpha=2 esetben nyilván egységkört kapunk, \alpha=\frac{2}{3}-ra asztroidot, stb.) Az \alpha=2 esetben a kapott alakzat kerülete 2\pi. Vajon lesz-e ezen kívül olyan \alpha, amelyhez tartozó alakzat kerülete szintén 2\pi? Ha igen, melyik/melyek ezek az \alpha\ne2 értékek?

[879] lorantfy2005-04-21 13:48:18

Kedves NádorP!

Kösz a megoldást! Régi Arany Dani feladat volt.

Előzmény: [878] nadorp, 2005-04-21 11:14:46
[878] nadorp2005-04-21 11:14:46

Jelentkező hiányában lelövöm a 160. feladatot.

Legyen x az a nyerőszám, amely bármely kettő nyerőszám összegének az osztója. Ekkor, ha y egy másik nyerőszám, akkor x | x+y miatt x| y is teljesül. Tehát x olyan nyerőszám, amely az összes nyerőszám osztója. Ebből következik, hogy 5x\leq90, azaz x\leq18. Másrészt, mivel x ismeretében az összes többi nyerőszám egyértelműen meghatározható, ezért 6x>90 is teljesül, azaz x>15. Így x=16,17,18 jöhet csak szóba. Mivel a paritás x-et meghatározza, ezért x=17. A nyerőszámok 17,34,51,68,85.

Előzmény: [877] lorantfy, 2005-04-18 22:42:47
[877] lorantfy2005-04-18 22:42:47

160. feladat: Mivel nagy nyeremény várható a lottón Mézga Aladár úgy döntött megkérdezi Köbükit, mik lesznek a nyerőszámok.

- A számokat nem mondom meg, de azt elárulhatom, hogy van köztük olyan szám amellyel bármely két nyerőszám összege osztható.

- Mi ez a szám?

- Ha megmondanám, akkor kitalálnád a nyerőszámokat.

- Legalább azt áruld el, páros vagy páratlan ez a szám.

A válasz után Aladár kitalálta a számokat, megjátszotta őket és nyert.

Mik voltak a nyerőszámok?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]