Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[93] jenei.attila2003-11-19 13:00:17

Úgy gondolom, ez a feladat nem különbözik a négyzet szerkesztésétől, ugyanis mindkét esetben adott egység mellett a négyzetgyök(2) hosszúságú szakaszt kell megszerkeszteni csak körző segítségével. Bármelyik feladat megoldása megoldja a másikat is.

Előzmény: [92] Hajba Károly, 2003-11-19 00:54:04
[92] Hajba Károly2003-11-19 00:54:04

Nekem is van egy ehhez hasonló feladatom:

21. feladat: Adott egy kör, egyetlen körző segítségével negyedeljük el.

HK

Előzmény: [84] SchZol, 2003-11-17 17:14:16
[91] Kós Géza2003-11-18 22:50:54

A 18-szöges megoldást is nézzük meg, szerintem nagyon tanulságos.

A szabályos 18-szögnek két nagy előnye van. Az egyik, hogy az átlók és oldalak közötti szögek mindig a 10o többszörösei, ezért esélyünk van megtalálni a feladat ábráját az átlók között. A másik, hogy sok olyan pont van a belsejében, ahol nagyon sok átló megy át. Az ábrán az E egy ilyen pont.

Legyen E először csak az AM átmérő és DJ metszéspontja. A DJ tükörképe az AM egyenesre KG, tehát KG is átmegy E-n. A KG egy nagyon speciális átló, a hozzá tartozó középponti szög éppen 120o. Ebből következik, hogy az O és F pontok egymás tükörképei a KG átlóra. Az OM egyenes tükörképe a KG átlóra éppen FB, mert O tükörképe F, és az irányok is stimmelnek. Tehát FB is átmegy E-n. Végül HL az FB tükörképe az AM átmérőre, tehát ez is átmegy E-n.

Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51
[90] lorantfy2003-11-18 20:45:43

Kedves Péter Pál!

Gratulálok! Jó a megoldás. Annyi vari lehet, hogy az első menetben egy kannibál és egy fehérember megy át és a fehérember hozza vissza a csónakot. Én már előre megcsináltam táblázatban, hogy gyakoroljam a TeX táblát:

3K 3F
2K 2F F,K >
2K 2F < F K
3F K,K > K
3F < K 2K
K F F,F > 2K
K F < K,F K F
2K F,F> K F
2K < K 3F
K K,K > 3F
K < K K 3F
K,K > K 3F
3K 3F
Előzmény: [89] Pach Péter Pál, 2003-11-17 21:37:15
[89] Pach Péter Pál2003-11-17 21:37:15

Megoldást írok a 18. feladatra:

1. lépés: Átmegy két kannibál, egyikük a túlparton marad, másikuk visszahozza a csónakot.

2. lépés: Ugyanez még egyszer.

3. lépés: Átmegy két fehérember, egyikük ott marad, másikuk viszont egy kannibál társaságában visszatér.

4. lépés: Átkel a még hátralévő két fehérember, a túlparti kannibál visszaviszi a csónakot.

5-6. lépés: Most már csak az van hátra, hogy a kannibálok is átkeljenek. Először átkelnek ketten, majd egyikük visszmegy a harmadikért.

Könnyen végiggondolhatjuk, hogy a kannibálok az átkelés során sosem kerültek többségbe. Ez azt jelenti, hogy mindannyiukat sikerült – épségben – átjuttatnunk a túlpartra.

Előzmény: [79] lorantfy, 2003-11-16 17:50:10
[88] Pach Péter Pál2003-11-17 21:34:00

Trükkös a megoldásod, BrickTop. Egyébként nem szükséges, hogy a két ponton átmenő egyenes is adott legyen. Leírok egy megoldást, ami csak a két pont (és természetesen a körző megfelelő használatának) ismeretét feltételezi

A 20. feladat II. megoldása következik: Könnyen bizonyítható, hogy körző segítségével (vonalzó nélkül) tudunk invertálni egy pontot egy olyan körre, aminek a középpontját is ismerjük. (Ezt először külső pontra érdemes belátni.) Aki nem ismeri, gondolkozzon el rajta.

A két pont, amihez négyzetet akarunk rajzolni, legyen A és B!(A keresett négyzet ABCD.) AB-hez háromszögrácsot rajzolva megkapjuk A tükörképét B-re: E-t. Most E-t invertáljuk az A középpontú, AB sugarú körre, a képe az AB szakasz felezőpontja, O lesz. Az O középpontú, \frac{AB}{2} sugarú kör legyen k. C-t megkaphatjuk a B középpontú, AB sugarú kör, és a B-ben AB egyenesére állított merőleges egyenes (egyik) metszéspontjként. Ha ezt a két alakzatot invertáljuk k-ra, akkor az egyenesből is kör lesz, és így már meg tudjuk szerkeszteni metszéspontjukat. A körünk képe az AE’ átmérőjű kör, ahol E’ az E pont képe, ugyanis O illeszkedik AE-re. (Ezt a kört meg tudjuk rajzolni, hiszen felezőpontját megszerkeszthetjük ugyanúgy, ahogy AB felezőpontját megszerkesztettük. Az egyenesünk képe a BO átmérőjű kör.

A két kapott kör metszéspontjai közül az egyik C’, vagyis C képe. Ha C’-t invertáljuk k-ra, akkor megkapjuk a keresett C pontot. Természetesen D ugyanígy kapható meg.

A 20. feladat speciális esete a Mohr-Mascheroni-tételnek, ami a következő állítást bizonyítja: „Minden körzővel és vonalzóval elvégezhető szerkesztés elvégezhető csak körző segítségével is.” Erről, és még számos híres matematikai problémáról olvashatunk Heinrich Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvében. (Szóval ez most egyben könyvajánlás is!) A könyvet egyébként az egyik matektanárunk, Hraskó András ajánlotta.

Előzmény: [87] BrickTop, 2003-11-17 20:48:41
[87] BrickTop2003-11-17 20:48:41

20. feladat, megoldás: Adott A és B pont.

1) A-ból és B-ből körívezünk AB-vel --> C metszéspont.

2) A-ból és C-ből körívezünk AB-vel --> D metszéspont.

3) A-ból és D-ből körívezünk AB-vel --> E metszéspont.

4) E-ből körívezünk BD-vel --> F metszéspont az AB szakaszon.

5) B-ből körívezünk BE-vel, D-ből körívezünk FB-vel --> G a két körív metszéspontja (a két körív valójában érinti egymást).

6) F-ből körívezünk EG-vel --> a keletkezett körív és a B középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet harmadik pontja, H.

7) H-ből körívezünk AB-vel :) --> a keletkezett körív és az A középpontú, AB sugarú körív (ld. 1)) metszéspontja a négyzet negyedik pontja.

Kicsit több, mint egy éve jöttem rá erre a megoldásra. Most megprobáltam szerkesztéssel ellenőrizni, nem nagyon jött ki, de biztos azért, mert bénán szerkesztek. Elméletileg szerintem jó. Bizonyítást nem írtam, mert ha megvan az ábra, már nagyon egyszerű belátni, hogy a négyzet pontjait kapjuk. Ábrát nem készítettem, mert lusta voltam (órákig tartana egy ilyen ábrát megcsinálni az én programarzenálommal), és mert az ábra lelövi a poént. Így aki meg akarja oldani a feladatot, egyszerűen nem olvassa el a szerkesztés menetét.

Remélem nem néztem el semmit és nem vesztegettem el negyed órát egy hibás szerkesztés leírásával :)

Előzmény: [86] SchZol, 2003-11-17 20:07:20
[86] SchZol2003-11-17 20:07:20

Kedves Bricktop!

Igazad van adott még a két ponton átmenő egyenes is. Bocsi.

Előzmény: [85] BrickTop, 2003-11-17 18:32:42
[85] BrickTop2003-11-17 18:32:42

A 20. feladatban a 2 pont nincs véletlenül összekötve? Mert nekem van megoldásom, de csak ha egy szakasz van megadva (tehát 2 pont ami össze van kötve).

Előzmény: [84] SchZol, 2003-11-17 17:14:16
[84] SchZol2003-11-17 17:14:16

PQ azért merőleges AB-re, mert PAQ háromszögben QC és PD magasságvonal, tehát B a PAQ háromszög magasságpontja, ebből következik, hogy AB egyenes is magassága a PAQ háromszögnek, tehát merőleges AB PQ-ra.

20.feladat: Adott két pont. Egyetlen körző segítségével rajzoljunk négyzetet, melynek e két pont két szomszédos csúcsa.

Előzmény: [83] lorantfy, 2003-11-17 16:41:14
[83] lorantfy2003-11-17 16:41:14

Mivel csak vonalzót használhatunk mást nem is tehetünk csak összekötünk két pontot. PA majd PB. Ezek metszik a kört C és D pontokban. Ezután CB, AD ezek metszik egymást Q-ban.

Bizonyítandó: PQ egyenes merőleges AB-re!

Előzmény: [82] jenei.attila, 2003-11-17 15:32:04
[82] jenei.attila2003-11-17 15:32:04

Kedves László!

Köszönöm a szép ábrát, kicsit reméltem is, hogy lesz türelmed megrajzolni. Maradva a geometriánál, egy nem túl nehéz de érdekes feladat: adva van egy kör, a középpontján átmenő egyenes, és egy pont a körön és egyenesen kívül. Egy egyenes vonalzó használatával szerkesszünk a ponton átmenő, egyenesre merőleges egyenest.

Előzmény: [81] lorantfy, 2003-11-17 15:15:00
[81] lorantfy2003-11-17 15:15:00

Kedves Attila!

Szép a megoldás! Remélem nem haragszol ha teszek fölé egy ábrát!

Előzmény: [79] lorantfy, 2003-11-16 17:50:10
[80] jenei.attila2003-11-17 13:18:39

Utoljára az általam feladott háromszöges feladatról. Csillag megoldása ABD szög=50 fok esetére ismét nagyon ötletes és egyszerű. Én jóval körülményesebben oldottam meg, mégis leírom, mert megoldja az ABD=70 fok esetet is. Tehát: Szerkesszünk a BC oldalra kifelé szabályos háromszöget, amelynek harmadik csúcsa legyen K. A D´ pontot AC-n vegyük fel úgy, hogy CKD´ szög=20 fok legyen. Megmutatjuk, hogy ekkor D és D´ egybeesik. Valóban, mivel D´CK szög=80 fok és CKD´=20 fok, ezért CD´K=80 fok és KC=KD´=KB. A D´KB szög=40 fok, ezért (és KD´=KB miatt) KBD´ szög=70 fok. De KBD szög is =70 fok, ezért D´=D. Megállapítottuk tehát, hogy a CDK háromszög egybevágó az ABC háromszöggel, ezért CD=AB. De GD=GC-CD=GB-CD=GB-AB=GB-FB=GF, és GF=GE miatt GD=GE, amiből GDE=50 fok, és EDB=20 fok.

Az ABD=50 fok esete: D helyett L-lel jelöljük a szóbanforgó pontot, és D maradjon meg az előzőek szerint, tehét ABL szög =50 fok és EDA szög=50 fok. Szintén DC=AB=AL miatt AEL és CED háromszögek egybevágók, ezért EL=ED, de LDE szög =50 fok (D-t most így vettük vel, nem az előző feladatból jött, bár egybeesik vele), DLE szög is = 50 fok, amiből ELB szög =80 fok.

Bocs a hosszú hozzászólásért, legközelebb rövidebb leszek.

[79] lorantfy2003-11-16 17:50:10

Kedves Fórumosok!

Biztos ismeritek azt a feladatot, hogy vigyük át a farkast a nyulat és a káposztát a folyón, ha a csónakunkban csak egy hely van és a farkas megeszi a nyulat, a nyúl meg a káposztát ha egyedül hagyjuk őket. Ha nem, olvassátok el a Szegény ember káposztája c. Gárdonyi mesét:

http://www.brody.iif.hu/hmek/gardonyi/tihanyi/kaposzta.htm

Ennek egy variációja a következő: 18. feladat:

A folyó egyik partján áll 3 kannibál és 3 fehérember. Egy kétszemélyes csónakjuk van és úgy kell átkelniük a folyón, hogy egyik parton sem lehetnek többségben a kannibálok, mert akkor megeszik a fehérembereket. A csónakban ülő partotérő emberek már partonlévőnek számítanak.

[78] Csillag2003-11-14 22:27:12

Üdv Mindenkinek!

Azt hiszem jobb lenne, ha ettől a témakörtől elválasztanánk a "divatosabb" témákat: pl. Rubik-kocka, billiárdgolyók,...

Más: a (66)-os hozzászólásomban: nem paralelogramma, hanem deltoid a DFEG négyszög:)

GB

[77] toto2003-11-14 18:38:51

http://www.superliminal.com/cube/cube.htm

Itt lehet találni egy virtuális, négydimenziós 3x3x3x3-as kockát. Nem volt időm megnézni, de lehet olyan érdekes, mint egy 4x4x4 es

Előzmény: [71] SchZol, 2003-11-14 05:48:40
[76] Bubu2003-11-14 17:32:18

Üdvözletem! Csatlakoznék a kockás cikk kérőihez. Másrészt elmélkedtem a saját problémámon (a 2 hibás golyó esete), az mindenesetre biztosnak tűnik, hogy teljes általánosságban nem megoldható. Úgyhogy a feladat része lett az is, hogy találjuk ki a feladatot:) Egyébként nagyon tetszik a fórum, kár hogy egyelőre kevesen vagyunk. Remélem hamar híre megy, és akkor akár komolyabb problémák is szóba jöhetnek - mint anno a levélváltások...:))

Bubu

[75] Hajba Károly2003-11-14 13:12:31

Kedves László!

A geodéták, mikor a tervezési alaptérképhez a térképet digitalizálják a meglévő kézzel, tustollal rajzolt állapotról, egyszerűen csak azt mondják: 'bedigizem neked a térképet'. Nem azt mondom, hogy szép, de mindenképpen rövid és már egyes helyeken használják.

Károly

Előzmény: [73] lorantfy, 2003-11-14 12:56:58
[74] Hajba Károly2003-11-14 13:01:02

Visszatérek a biliárdgolyós feladathoz, mivel úgy tűnik számomra, még sok érdekes dolgot lehet kihozni belőle.

- [39] hozzászólásbeli Gáti Baetrix Zoltán által közzétett táblázata a nehezebb változatnak éppen nem felel meg, de ha a 3. mérésben a 8-as golyót a 12-esre cseréljük, már tökéletes.

- [52]-beli Bubu hozzászólásában a több eltérő golyó felé általánosít. Bennem pedig már korábban felmerült egy másik általánosítási lehetőség, miszerint valamely golyó(k)ról állítjuk, hogy nem tér el és ez alapján, hogy változik a mérhető golyók száma. Továbbá mi a helyzet a kevesebb ill. több mérési számok esetén.

16. feladat: Ha n a mérések száma, mennyi a legnagyobb g(n) golyók száma, mely esetén még meghatározható a hibás golyó és annak eltérése is?

17. feladat: Ha 2-szer mérhetünk, hány biztosan nem hibás golyót kell ismernünk, hogy a lehető legtöbb ismeretlen golyó közül tudjuk kiválasztani az egyetlen hibás golyót és eltérését?

Hajba Károly

[73] lorantfy2003-11-14 12:56:58

Kedves Károly, Zoli és Kockarajongók!

Feltúrtam a fizika szertárt és megtaláltam a Fizikai Szemle 82/2-es számában a cikket. Jövő héten beszkennelem és recognitázom - szóval nyomtatott formából elektronikus formába alakítom. (Jó lenne erre egy egyszerű szó - a digitalizálni talán nem a legszerencsésebb - ha tudtok jobbat írjátok meg!) Az érdeklődőknek tudom küldeni.

Előzmény: [72] Hajba Károly, 2003-11-14 08:40:05
[72] Hajba Károly2003-11-14 08:40:05

Kedves Zoli!

Isten hozott a kockabűvöltek táborába!

Beszkennelem a cikket, de feltételezem, hogy a Fizikai Szemlebeli cikk részletesebb lehet. Ti. késöbb jelent meg és többen jegyezték.

> Ti láttatok már 4*4*4 Rubik-kockát?

Anno volt a kezemben egy, talán kölcsön is kaptam egy hétre, de lehet, hogy az a dodekaéder volt. Ki tudja, ezirányú emlékeimet belepte már a rozsda. Tény, hogy nem bírtam vele :o(

Üdv: Károly

Előzmény: [71] SchZol, 2003-11-14 05:48:40
[71] SchZol2003-11-14 05:48:40

Kedves Károly!

Engem érdekelne a Rubik-kockás cikk, ha beszkenneled. Nagyon szeretem a Rubik-kockát, hetente egy párszor mindig kirakom. Ti láttatok már 4*4*4 Rubik-kockát? Sajnos Én még nem láttam, csak hallottam róla.

Üdv, Zoli

[70] Hajba Károly2003-11-13 23:50:18

Kedves László!

Nem azt a cikket ismerem, hanem a könyvbelit (A bűvös kocka - Gondolat - 1981), amit még csak Marx jegyzett (no nem a Tőkés :o).

A 'spin' pedig, hát... anno szerettem a fizika ezen részét is.

Ha érdekel a könyvbeli cikk, megpróbálhatom beszkennelni és drótpostán elküldeni.

Üdv: Hajba Károly

Előzmény: [68] lorantfy, 2003-11-13 23:16:47
[69] lorantfy2003-11-13 23:22:51

Az 5. feladatra: még nem írtunk megoldást. Az eredeti szöveg: Adott 100 láda mindegyikben 1000 db 2 grammos 1 forintos, kivéve egyet amiben 1 grammosak az 1 forintosok. Legkevesebb hány mérésből tudjuk eldönteni melyik ládában vannak a selejtes egy forintosok, ha minden láda ugyanúgy néz ki, és csak egy egykarú mérlegünk van.

Aki nem ismeri annak érdemes átgondolni a trükköt: Sorszámozzuk meg a ládákat 1-100-ig és minden ládából tegyünk fel a mérlegre annyi forintost amennyi a láda sorszáma. Ezt mérjük le. Ha minden ládában 2 grammos érmék lennének akkor (1+100)x100 = 10100 grammot kellene mérnünk. Amennyivel kevesebbet mérünk annyi a keresett láda sorszáma.Tehát egy mérés elegendő.

Az eredeti kitűző – Sch Zoli – nehezítése:

15. feladat: Hány mérés szükséges, ha a 100 közül két ládában vannak 1 grammos forintok.

Előzmény: [6] SchZol, 2003-11-01 22:12:06

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]