Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[945] Lóczi Lajos2005-06-03 16:45:44

(A kérdőjeles egyenlőség nem igaz.)

Másrészt nem is működnek jól a képletek, pl. a bal oldali esetén (ha [.] jelöli az alsó egészrészt (=floor)), akkor pl. x-[x]-[\frac{x}{2}] a felet 3-szor veszi fel, de az egész értékeket csak kétszer.

Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06
[944] 25012005-06-02 21:51:06

 f_n(x) \quad = \quad floor \left(\frac x n\right) + x - floor(x) \quad =^? \quad x - floor \left(x-\frac x n\right)

Aggodalomra semmi ok, mára befejeztem.

[943] 25012005-06-02 20:57:45

Megint nem jó, csak f2(x) jó. :o(

[942] 25012005-06-02 20:43:40

f_n(x) \qquad = \qquad x \quad - \quad floor \left(\frac {floor(x)} n \right)

Ahol floor(x) az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Így biztosan jó.

[941] 25012005-06-02 19:38:23

Mégsem jó, pl. f2(x) három helyen 0. :o)

[940] 25012005-06-02 19:07:11

174.

fn(x)    =    x  -  [x]  mod n

Ez leírja az egész függvénycsaládot. Legalábbis most jónak tűnik. :o)

[939] Lóczi Lajos2005-06-01 13:40:51

174. feladat. Adjunk meg olyan valós függvényt (ha van), amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is az egész R, és minden értéket pontosan

a.) kétszer

b.) háromszor

c.) négyszer

vesz fel.

[938] Lóczi Lajos2005-05-18 21:12:23

173. feladat. Adjuk meg az összes olyan pozitív x,y,z számot, melyekre teljesül, hogy

xy=yz=zx.

(A feladat más, mint a régebbi hasonló kinézetű társa.)

[937] Lóczi Lajos2005-05-18 15:56:07

A "nem létezik" helyett persze jobb "nem létezik véges"-et mondani. (Én talán annyival gondoltam egyszerűbbre, hogy f(x)=1 és g(x)=1+\frac{1}{x} is megfelelnek ellenpéldaként a 171. feladatban.)

Ennyi előkészítés után végre következhet a tényleges feladat.

172. feladat. Legyenek f és g olyan, az egész számegyenesen értelmezett, deriválható függvények, hogy \lim_{+\infty}f=\lim_{+\infty}g=+\infty és \lim_{+\infty}\frac{f'}{g'}=0.

Igaz-e, hogy ekkor \lim_{+\infty}\frac{f}{g}=0?

Előzmény: [936] nadorp, 2005-05-18 07:50:32
[936] nadorp2005-05-18 07:50:32

Úgy látszik, az analízis nem túl népszerű. Az alábbi megoldás biztos nem a legegyszerűbb, de általános.

A válasz nem, ugyanis legyen p(x)az egész számegyenesen deriválható függvény, és tegyük fel, hogy \lim_{x\to\infty}p(x)=0 ( ilyen pld. e-x).

Legyen f(x)=ep(x)-p(x) és g(x)=p(x). Ekkor:

\lim_{x\to\infty}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{p(x)}-p(x)}{p(x)} nyilván nem létezik, viszont

\lim_{x\to\infty}\frac{f'}{g'}=\lim_{x\to\infty}\frac{p'(x)e^{p(x)}-p'(x)}{p'(x)}=\lim_{x\to\infty}(e^{p(x)}-1)=0

Előzmény: [934] Lóczi Lajos, 2005-05-10 16:57:48
[935] Lóczi Lajos2005-05-10 19:53:09

Csak idemásolok párat, amit elsőre találtam:

Sommerville, D. M. Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York: Dover, p. 136, 1958.

Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. Néhány felfoghatatlan érdekesség:

http://mathworld.wolfram.com/Ball.html Az 5 dimenziós egységgömb térfogatának mérőszáma a legnagyobb az n dimenziós egységgömbök közül (!)

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html A 7 dimenziós egységgömb felszínének mérőszáma a legnagyobb az n dimenziós egységgömbök közül (!)

vagy: http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePacking.html a 9 dimenzió egy sajátosságáról

Végül a 24 dimenziós tér egy sajátosságát találod itt: http://mathworld.wolfram.com/KissingNumber.html

Előzmény: [933] levi, 2005-05-10 13:52:19
[934] Lóczi Lajos2005-05-10 16:57:48

Rendben, gondoltam, hogy ezzel semmi gond nem lesz. Akárcsak ezzel:

171. feladat. Tegyük fel, hogy \lim_{+\infty}\frac{f'}{g'}=0. Igaz-e, hogy ekkor \lim_{+\infty}\frac{f}{g}=0?

(Ezután már csak egy variánsom lesz, ami az igazi feladat.)

Előzmény: [931] nadorp, 2005-05-10 11:05:27
[933] levi2005-05-10 13:52:19

nem tud vki vmi olyan könyvet/bármit ami a 4,5,...dimenziós geometriával foglalkozik? elkezdett érdekelni a dolog, gondoltam itt biztos tud vki vmi ilyet ajánlani...

[932] Fálesz Mihály2005-05-10 12:42:40

... nem is beszélve a \lim_{x\to\infty}\frac{-\sin x}{0} határértékről. :-)

Előzmény: [931] nadorp, 2005-05-10 11:05:27
[931] nadorp2005-05-10 11:05:27

\lim_{\infty}\frac{\sin{x}}x=0

\lim_{\infty}\frac{\cos{x}}1 viszont nem létezik.

Előzmény: [926] levi, 2005-05-09 22:54:00
[930] neo2005-05-10 01:07:15

Http://matek2005.fw.hu

[929] Lóczi Lajos2005-05-10 00:23:57

Gratulálok, nekem is ezek az értékek jöttek ki (bár én sehol sem használtam geometriai meggondolásokat -- vannak példák arra, hogy az analógiáink magas dimenzióban nem működnek), úgyhogy azért a többieknek is maradhat még annyi a feladatból, hogy vagy igazoljuk a geometriai érvelésedet, vagy geometriától függetlenül oldjuk meg a problémát.

Előzmény: [928] levi, 2005-05-09 23:50:42
[928] levi2005-05-09 23:50:42

167-170. feladatra: a két dimenziós eset vizsgálata: vegyük a két külső kör középpontját, ezek A(r+1,0) és B(0,r+1). Vegyük azt a szakaszt amit ez a két pont határoz meg, a keresett legkisebb sugarú kör érinti egymást, mégpedig a szakasz felezőpontjában, így már adott ennek is a koordinátája, a sugár egyenlő a felezőpont és az egyik külső kör középpontjának távolságával, r-re rendezés után szerintem ez: \frac 1 {\sqrt 2 -1}.

Három dimenziós esetben kössük ismét össze ezeket a pontokat, ezek egy háromszöget fognak meghatározni. a keresett pont a háromszög magasságpontja. a háromszög szerencsére szabályos, így a magasságpont egybeesik a súlyponttal, a súlypont koordinátái pedig kiszámíthatóak a csúcsok koordinátáiból... ismét felírva egy középpont és a magasságpont távolságát az egyenlő lesz r-rel , és utána rendezve megkapjuk r-t, ami nálam \frac {\sqrt 2} {\sqrt 3 - \sqrt 2}

ezután az általános n dimenziós eset: sajnos nem tudok 4 vagy magasabb dimenzóban látni, és annak a (koordináta)geometriáját sem tudom, de talán az előző két esetből levont következtetésem jó lesz... szóval a körök középpontjai adottak, a keresett pont mely egyenlő távolságra van mindegyiktől szerintem K(\frac {r+1} n, \frac {r+1} n,...,\frac {r+1} n) (összesen n-szer). Ekkor egy középpont és a K távolsága lesz egyenlő a sugárral. Mivel a középpontok mind egy-egy tengelyen vannak, ezért koordinátái közül pontosan egy lesz r+1 az összes többi 0. Ha felírjuk a távolságképletet, majd kiemelünk a gyök alól (\frac {r+1} n)^2-t, akkor azt kapjuk hogy r=\sqrt{{(n-1)^2}+n-1} (\frac {r+1} n). Rendezzük r-re, majd egyszerűsítünk, akkor azt kapjuk hogy r=\frac {\sqrt {n-1}} {\sqrt n -\sqrt {n-1}} . Ezalapján az n=4 eset már könnyen kiszámolható...

[927] Lóczi Lajos2005-05-09 23:40:43

Sajnos nem, a L'Hospital-szabály egyébként (pontos kimondásában) nem így szól.

Előzmény: [926] levi, 2005-05-09 22:54:00
[926] levi2005-05-09 22:54:00

LHospital szabály szerint \lim_{\infty} \frac{f}{g}=\lim_{\infty} \frac{f'}{g'}, tehát \lim_{\infty} \frac{f'}{g'}=0 igaz (vagy túl egyszerű így, és van benne vmi csavar, tehát a nem rafináltak ezt mondanák rá (pl én) de mégsem ez a megoldás??).

Előzmény: [922] Lóczi Lajos, 2005-05-09 20:09:29
[925] Lóczi Lajos2005-05-09 21:58:25

169. feladat. Tekintsük a 4 dimenziós térben az origó középpontú egységsugarú hipergömböt (azaz 4 dimenziós gömböt). A 4 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 4 darab egyforma, r sugarú hipergömböt. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy legyen olyan pont, amely mind a 4 hipergömbön rajta van?

170. feladat. Általánosítsuk az előző kérdést n-dimenzióra, és adjuk is meg a minimális r>0 értéket a dimenzió függvényében.

[924] Lóczi Lajos2005-05-09 21:55:48

168. feladat. Tekintsük a közönséges 3 dimenziós térben az origó középpontú egységgömböt. A 3 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 3 darab egyforma, r sugarú gömböt. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy legyen olyan pont, amely mind a 3 gömbön rajta van?

[923] Lóczi Lajos2005-05-09 21:52:11

167. feladat. Tekintsük a közönséges 2 dimenziós síkon az origó középpontú egységkört. A 2 koordinátatengely pozitív félegyenesén az origótól 1+r távolságra helyezzünk el 2 darab egyforma, r sugarú kört. Legalább mekkora legyen az r>0 szám értéke, hogy e két külső körnek is legyen közös pontja?

[922] Lóczi Lajos2005-05-09 20:09:29

166. feladat. Legyenek f és g az egész számegyenesen deriválható valós függvények, és tegyük fel, hogy \lim_{\infty} \frac{f}{g}=0. Igaz-e, hogy ekkor \lim_{\infty} \frac{f'}{g'}=0?

[921] Lóczi Lajos2005-05-06 23:26:45

Kissé szűkszavú indoklás :), de az eredmények persze jók.

Előzmény: [920] levi, 2005-05-06 21:29:49

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]