Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[952] jonas2005-06-05 20:39:58

Megpróbálom.

Tegyük fel, hogy az f folytonos függvény az egész R-en értelmezett, és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.

Vegye fel az y0 számot az x0 és x1 pontokban, ahol x0<x1. Tekintsük az (x0,x1) intervallumot! Mivel itt f nem veszi fel x0-t, vagy csak y0-nál nagyobb, vagy csak y0-nál kisebb értéket vesz fel. Szimmetriaokokból tegyük fel, hogy csupa nagyobbat vesz fel. Ezen a középső intervallumon a függvénynek van maximuma, mégpedig az x2 pontban, ahol f(x2)=y2.

Legyen y3 a másik pont, ahol f(y3)=x2. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy y2<y3

Két eset lehetséges.

Vagy x2<x3<x1, de ekkor az (y2,y3) intervallumban f értéke kisebb y2-nél, de nagyobb y0-nál. De az ilyen értékeket f a közbülsőérték-tétel miatt az (y0,y2) és az (y3,y1) intervallumon is mind felveszi, tehát legalább három helyen is, ami ellentmondás.

Ha viszont x1<x3, akkor f az (y0,y2), (y2,y1) és az (y1,y3) intervallumon is felveszi az összes (x2,x3)-beli értéket, ami lehetetlen.

Előzmény: [951] Lóczi Lajos, 2005-06-05 19:29:33
[951] Lóczi Lajos2005-06-05 19:29:33

Győzz meg minket :-)

Előzmény: [950] jonas, 2005-06-04 22:42:06
[950] jonas2005-06-04 22:42:06

Szerintem nincs ilyen függvény.

Előzmény: [946] Lóczi Lajos, 2005-06-03 16:48:28
[949] Lóczi Lajos2005-06-04 15:56:10

Igen, igazad van, a [946]-ban kétszer is tévedtem: persze "-" helyett ott "+"-t akartam írni, másrészt rosszul láttam, hogy "nem igaz" -- szerintem is jó a képlet, amit írtál.

Előzmény: [948] 2501, 2005-06-03 19:49:31
[948] 25012005-06-03 19:49:31

Megpróbálom indokolni, hogy

 f_n(x) \quad = \quad \left[\frac x n\right]+x-[x]

(ahol \left[x\right] az alsó egészrész) szerintem miért működik. Bontsuk fel két függvény összegére:

 f_n\left(x\right) \quad = \quad i(x)+r(x)

 i\left(x\right) \quad = \quad \left[\frac x n\right]

 r\left(x\right) \quad = \quad x-\left[x\right]

i\left(x\right) grafikonja egy n hosszúságú "fokokból" álló, növekedő "lépcső", melyben a "fokok" az egészeknél kezdődnek. r\left(x\right) tulajdonképpen x törtrésze (írhattam volna \left\{x\right\}-et is), tehát a grafikonja negyvenöt fokos, és 1 magas "sörtékből" áll. A kettő összegének grafikonján a "sörték" rákerülnek a "lépcsőfokokra", és minden fokon éppen n darab lesz.

Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06
[947] 25012005-06-03 19:12:19

x-[x]-\left[\frac x 2 \right] nem tagja az általam definiált fn(x) függvénycsaládnak.

Előzmény: [945] Lóczi Lajos, 2005-06-03 16:45:44
[946] Lóczi Lajos2005-06-03 16:48:28

175. feladat. Adjunk meg olyan folytonos valós függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.

[945] Lóczi Lajos2005-06-03 16:45:44

(A kérdőjeles egyenlőség nem igaz.)

Másrészt nem is működnek jól a képletek, pl. a bal oldali esetén (ha [.] jelöli az alsó egészrészt (=floor)), akkor pl. x-[x]-[\frac{x}{2}] a felet 3-szor veszi fel, de az egész értékeket csak kétszer.

Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06
[944] 25012005-06-02 21:51:06

 f_n(x) \quad = \quad floor \left(\frac x n\right) + x - floor(x) \quad =^? \quad x - floor \left(x-\frac x n\right)

Aggodalomra semmi ok, mára befejeztem.

[943] 25012005-06-02 20:57:45

Megint nem jó, csak f2(x) jó. :o(

[942] 25012005-06-02 20:43:40

f_n(x) \qquad = \qquad x \quad - \quad floor \left(\frac {floor(x)} n \right)

Ahol floor(x) az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Így biztosan jó.

[941] 25012005-06-02 19:38:23

Mégsem jó, pl. f2(x) három helyen 0. :o)

[940] 25012005-06-02 19:07:11

174.

fn(x)    =    x  -  [x]  mod n

Ez leírja az egész függvénycsaládot. Legalábbis most jónak tűnik. :o)

[939] Lóczi Lajos2005-06-01 13:40:51

174. feladat. Adjunk meg olyan valós függvényt (ha van), amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is az egész R, és minden értéket pontosan

a.) kétszer

b.) háromszor

c.) négyszer

vesz fel.

[938] Lóczi Lajos2005-05-18 21:12:23

173. feladat. Adjuk meg az összes olyan pozitív x,y,z számot, melyekre teljesül, hogy

xy=yz=zx.

(A feladat más, mint a régebbi hasonló kinézetű társa.)

[937] Lóczi Lajos2005-05-18 15:56:07

A "nem létezik" helyett persze jobb "nem létezik véges"-et mondani. (Én talán annyival gondoltam egyszerűbbre, hogy f(x)=1 és g(x)=1+\frac{1}{x} is megfelelnek ellenpéldaként a 171. feladatban.)

Ennyi előkészítés után végre következhet a tényleges feladat.

172. feladat. Legyenek f és g olyan, az egész számegyenesen értelmezett, deriválható függvények, hogy \lim_{+\infty}f=\lim_{+\infty}g=+\infty és \lim_{+\infty}\frac{f'}{g'}=0.

Igaz-e, hogy ekkor \lim_{+\infty}\frac{f}{g}=0?

Előzmény: [936] nadorp, 2005-05-18 07:50:32
[936] nadorp2005-05-18 07:50:32

Úgy látszik, az analízis nem túl népszerű. Az alábbi megoldás biztos nem a legegyszerűbb, de általános.

A válasz nem, ugyanis legyen p(x)az egész számegyenesen deriválható függvény, és tegyük fel, hogy \lim_{x\to\infty}p(x)=0 ( ilyen pld. e-x).

Legyen f(x)=ep(x)-p(x) és g(x)=p(x). Ekkor:

\lim_{x\to\infty}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{p(x)}-p(x)}{p(x)} nyilván nem létezik, viszont

\lim_{x\to\infty}\frac{f'}{g'}=\lim_{x\to\infty}\frac{p'(x)e^{p(x)}-p'(x)}{p'(x)}=\lim_{x\to\infty}(e^{p(x)}-1)=0

Előzmény: [934] Lóczi Lajos, 2005-05-10 16:57:48
[935] Lóczi Lajos2005-05-10 19:53:09

Csak idemásolok párat, amit elsőre találtam:

Sommerville, D. M. Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York: Dover, p. 136, 1958.

Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. Néhány felfoghatatlan érdekesség:

http://mathworld.wolfram.com/Ball.html Az 5 dimenziós egységgömb térfogatának mérőszáma a legnagyobb az n dimenziós egységgömbök közül (!)

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html A 7 dimenziós egységgömb felszínének mérőszáma a legnagyobb az n dimenziós egységgömbök közül (!)

vagy: http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePacking.html a 9 dimenzió egy sajátosságáról

Végül a 24 dimenziós tér egy sajátosságát találod itt: http://mathworld.wolfram.com/KissingNumber.html

Előzmény: [933] levi, 2005-05-10 13:52:19
[934] Lóczi Lajos2005-05-10 16:57:48

Rendben, gondoltam, hogy ezzel semmi gond nem lesz. Akárcsak ezzel:

171. feladat. Tegyük fel, hogy \lim_{+\infty}\frac{f'}{g'}=0. Igaz-e, hogy ekkor \lim_{+\infty}\frac{f}{g}=0?

(Ezután már csak egy variánsom lesz, ami az igazi feladat.)

Előzmény: [931] nadorp, 2005-05-10 11:05:27
[933] levi2005-05-10 13:52:19

nem tud vki vmi olyan könyvet/bármit ami a 4,5,...dimenziós geometriával foglalkozik? elkezdett érdekelni a dolog, gondoltam itt biztos tud vki vmi ilyet ajánlani...

[932] Fálesz Mihály2005-05-10 12:42:40

... nem is beszélve a \lim_{x\to\infty}\frac{-\sin x}{0} határértékről. :-)

Előzmény: [931] nadorp, 2005-05-10 11:05:27
[931] nadorp2005-05-10 11:05:27

\lim_{\infty}\frac{\sin{x}}x=0

\lim_{\infty}\frac{\cos{x}}1 viszont nem létezik.

Előzmény: [926] levi, 2005-05-09 22:54:00
[930] neo2005-05-10 01:07:15

Http://matek2005.fw.hu

[929] Lóczi Lajos2005-05-10 00:23:57

Gratulálok, nekem is ezek az értékek jöttek ki (bár én sehol sem használtam geometriai meggondolásokat -- vannak példák arra, hogy az analógiáink magas dimenzióban nem működnek), úgyhogy azért a többieknek is maradhat még annyi a feladatból, hogy vagy igazoljuk a geometriai érvelésedet, vagy geometriától függetlenül oldjuk meg a problémát.

Előzmény: [928] levi, 2005-05-09 23:50:42
[928] levi2005-05-09 23:50:42

167-170. feladatra: a két dimenziós eset vizsgálata: vegyük a két külső kör középpontját, ezek A(r+1,0) és B(0,r+1). Vegyük azt a szakaszt amit ez a két pont határoz meg, a keresett legkisebb sugarú kör érinti egymást, mégpedig a szakasz felezőpontjában, így már adott ennek is a koordinátája, a sugár egyenlő a felezőpont és az egyik külső kör középpontjának távolságával, r-re rendezés után szerintem ez: \frac 1 {\sqrt 2 -1}.

Három dimenziós esetben kössük ismét össze ezeket a pontokat, ezek egy háromszöget fognak meghatározni. a keresett pont a háromszög magasságpontja. a háromszög szerencsére szabályos, így a magasságpont egybeesik a súlyponttal, a súlypont koordinátái pedig kiszámíthatóak a csúcsok koordinátáiból... ismét felírva egy középpont és a magasságpont távolságát az egyenlő lesz r-rel , és utána rendezve megkapjuk r-t, ami nálam \frac {\sqrt 2} {\sqrt 3 - \sqrt 2}

ezután az általános n dimenziós eset: sajnos nem tudok 4 vagy magasabb dimenzóban látni, és annak a (koordináta)geometriáját sem tudom, de talán az előző két esetből levont következtetésem jó lesz... szóval a körök középpontjai adottak, a keresett pont mely egyenlő távolságra van mindegyiktől szerintem K(\frac {r+1} n, \frac {r+1} n,...,\frac {r+1} n) (összesen n-szer). Ekkor egy középpont és a K távolsága lesz egyenlő a sugárral. Mivel a középpontok mind egy-egy tengelyen vannak, ezért koordinátái közül pontosan egy lesz r+1 az összes többi 0. Ha felírjuk a távolságképletet, majd kiemelünk a gyök alól (\frac {r+1} n)^2-t, akkor azt kapjuk hogy r=\sqrt{{(n-1)^2}+n-1} (\frac {r+1} n). Rendezzük r-re, majd egyszerűsítünk, akkor azt kapjuk hogy r=\frac {\sqrt {n-1}} {\sqrt n -\sqrt {n-1}} . Ezalapján az n=4 eset már könnyen kiszámolható...

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]