Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[972] xviktor2005-07-20 08:38:45

Kiprobaltam es szerintem jo.

Előzmény: [971] Hajba Károly, 2005-07-20 08:29:41
[971] Hajba Károly2005-07-20 08:29:41

A trükk matematikai alapja a következő lehet:

32-5=27=33

Minden kirakásnál megfigyeli hogy az a hármas hova kerül és ebből lehet kiszámolni. Egy hármas számrendszerbeli szám jön ki, amit fejben átkonvertál 10-esre és megvan a kártya helye. A részleteket még ki kell dolgozni, de ez az alapelv.

O.

Előzmény: [965] Atosz, 2005-07-19 19:44:48
[970] Atosz2005-07-20 07:54:08

Sziasztok!

Mindenkivel megosztom Viktornak írt gondolataimat, nehogy mások is tévútra menjenek. Természetesen matekfeladatról van szó, amit Gergonne gondolt ki, de nem túl nehéz, ám érdekes. A bűvész tulajdonképpen csukott szemmel is dolgozhat, nem kell látnia, hogy melyik lap hova kerül és a néző (a lap gondolója) szedi össze mindhárom esetben a kiskupacokat, tehát a jelzett kiskupac bárhová kerülhet, azaz felülre, középre, alulra. Minden jót!

[969] xviktor2005-07-19 22:50:14

Ujabb otletem tamadt. Azt is elkuldtem e-mailben.

[968] xviktor2005-07-19 22:07:28

Elkuldtem e-mailben, hogy ne lojjem le a poent.

Előzmény: [966] xviktor, 2005-07-19 21:44:55
[967] xviktor2005-07-19 21:56:35

Ha jo a megoldasom, akkor nagyon birom J.D.Gergonne-t. Tetszenek az ilyen trukkok.

Előzmény: [966] xviktor, 2005-07-19 21:44:55
[966] xviktor2005-07-19 21:44:55

Van tippem. Elarulhatom itt, vagy inkabb e-mailben kuldjem el a megoldast, hogy a tobbiek meg gondolkodhassanak?

Előzmény: [965] Atosz, 2005-07-19 19:44:48
[965] Atosz2005-07-19 19:44:48

Sziasztok!

J.D.Gergonne francia matematikus kártyatrükkje volt a következő feladvány:

A 32-lapos kártyacsomagból (pl. magyarkártya) kiveszünk 4 hetest és egy nyolcast, majd a néző a maradékokból rágondol egy lapra. Ezután a jól megkevert csomagot szinével felfelé balról jobbra, egyesével három kupacba kirakjuk (bal, közép, jobb, bal, közép, jobb, stb...). A néző megmutatja nekünk, hogy melyik kupacban van a gondolt lap, majd tetszőleges sorrendben egymásra helyezi a kupacokat. A paklit megfordítjuk (így a szine lesz lefelé), majd egyesével újra kezdjük a kirakást (természetesen megint minden lerakott lapot szinével felfelé teszünk az asztalra, hogy lássa őket). Ezt az egész kirakás, megmutattatás, összeszedés dolgot összesen háromszor megcsináljuk, majd az egész paklit sorba kiterítjük és megmutatjuk a gondolt kártyát.

Kérdés, hogy mi a trükk? (Természetesen matematikai feladványról van szó!)

Minden jót, Atosz!

[962] 25012005-06-14 11:12:21

Nem csak az N, Z, Q, R, stb. számhalmazok, hanem ezek részhalmazai is (pl. a páros számok halmaza).

Ezt felhasználva egy lehetséges megoldás:

a 3-mal osztva

A: 0 vagy 1

B: 1 vagy 2

C: 2 vagy 0

maradékot adó számok halmazai.

Előzmény: [961] Kérdező, 2005-06-14 10:19:25
[961] Kérdező2005-06-14 10:19:25

A példám egyszerű, de mégsem ugrik be a megoldás. Kérlek segítsetek!

----Halmazelmélet----

Adott 3 számhalmaz, melyekben külön-külön végtelen sok elem van. Egy-egy halmaz metszetében szintén végtelen sok elem található. Viszont a közös metszetben nulla, az ugyanis üres!

Hogy lehetséges ez? Tudomásom szerint ugyanis a számhalmazok egymás elemei...

R > Q > Z > N

Tehát két ilyen számhalmaz metszetét mindig a kisebbik halmaz elemei jelentik. Nem értem, hogy a közös metszet hogy lehet üres!?

Előre is köszi a segítséget!

[960] jonas2005-06-13 21:51:02

A g(x)=x+1 is jó ellenpélda mindhárom esetre. A g(x)=1-et én is kipróbáltam, de úgy látszik, nem vettem észre, hogy az is mindig jó. Szerintem ez bizonyítja, hogy én nem számoltam túl sokat, hiszen csak beírtam az első olyan ellenpéldát, ami kijött.

Előzmény: [959] Lóczi Lajos, 2005-06-13 14:45:33
[959] Lóczi Lajos2005-06-13 14:45:33

Hogy hogy tudtok ilyen bonyolult ellenpéldákat kifundálni :-), g(x)=x+1, egy csomót kell számolni, hogy leellenőrizze az ember.

(Ami nekem -- igaz, sajnos nem öt perc után -- beugrott, mint ellenpélda, az a szimpla g(x):=c választás: ez alkalmas c-vel mindegyiket cáfolja. Szinte érzem, hogy sugallják a feladat kitűzői, hogy próbáljuk meg a cx alakú függvényeket, mint "jobb szélső" esetet, 0 és 1 közötti c-vel, ezekre azonban mindhárom eset teljesül...)

Előzmény: [958] jonas, 2005-06-12 18:54:39
[958] jonas2005-06-12 18:54:39

Nem baj, ha lelövöm a megoldást?

Ha g(x)=1, akkor 0=\leg'(x) így a feltétel teljesül, de  \int_0^x g^3(t)dt = x > x^2 = \left( \int_0^x g(t)dt \right)^2 ha 0<x<1, tehát (a) vagy (c) biztosan nem mindig igaz.

Másrészt a (b) sem feltétlenül igaz, szerintem g(x)=x+1 ellenpélda rá.

Előzmény: [957] Lóczi Lajos, 2005-06-12 14:09:43
[957] Lóczi Lajos2005-06-12 14:09:43

177. feladat. Nemrég valahol tesztkérdésként (!) tűztek ki egy, az alábbihoz hasonló feladatot (tehát úgy gondolom, nem volt túl sok idő a megoldására).

Válasszuk meg a g:(0,\infty)\rightarrowR deriválható függvényt tetszőlegesen úgy, hogy 0\leg'(x)\le1 teljesüljön minden x>0 esetén. Döntsük el, melyik állítás igaz mindig.

a.) Minden x\in(0,1)

b.) Minden x\ge1

c.) Minden x>0

esetén fennáll, hogy

\int _{0}^{x}{g^{3}(t)}dt\leq 
  \bigg({\int _{0}^{x}g(t)dt}\bigg)^{2}.

[956] Lóczi Lajos2005-06-12 13:45:31

Szép megoldás. Beírom, hogy a feladatra milyen "megoldást" láttam, tanulságos a kettőt összehasonlítani. (Idézőjelbe tettem azokat a részeket, ami miatt a két megoldás látszólagosan elétér.)

Alkalmazzuk a jobb oldalon a tangensfüggvény ismert "azonosságát",

és a rövidség kedvéért pl. legyen y:=tg(x), valamint a:=tg(1) ekkor azt kapjuk, hogy

-\frac{2}{a}=\frac{a-y}{1+a y}+\frac{a+y}{1-a y}.

Ez utóbbi egyenletnek azonban y-ban nincs megoldása, "tehát" a kiindulási egyenletnek sincs.

Előzmény: [955] levi, 2005-06-10 20:15:33
[955] levi2005-06-10 20:15:33

-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)

-2\frac{cos1}{sin1}=\frac{sin(1-x+1+x)}{cos(1-x)cos(1+x)}=\frac{sin2}{cos(1-x)cos(1+x)}

-2\frac{cos1}{sin1}=\frac{2sin1cos1}{cos(1-x)cos(1+x)}

-cos(1-x)cos(1+x)=sin21

-(cos1cosx+sin1sinx)(cos1cosx-sin1sinx)=sin21

sin21sin2x-cos21cos2x=sin21

sin21sin2x-(1-sin21)(1-sin2x)=sin21

sin21sin2x-(1-sin2x-sin21+sin21sin2x)=sin21

-1+sin2x=0

sin2x=1

x= \frac {\pi} 2 +k\pi

+ellenörzés (remélem nem baj hogy azt nem írom ide)...

Előzmény: [954] Lóczi Lajos, 2005-06-09 14:30:46
[954] Lóczi Lajos2005-06-09 14:30:46

176. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

-2ctg1=tg(1-x)+tg(1+x)

[953] Lóczi Lajos2005-06-05 22:50:22

Meggyőztél (bár az x-ek és y-ok kissé összekeveredtek, pl. x3 nincs is definiálva, továbbá némely xi az y-tengelyen, más yj-k pedig az x-tengelyen vannak...)

Előzmény: [952] jonas, 2005-06-05 20:39:58
[952] jonas2005-06-05 20:39:58

Megpróbálom.

Tegyük fel, hogy az f folytonos függvény az egész R-en értelmezett, és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.

Vegye fel az y0 számot az x0 és x1 pontokban, ahol x0<x1. Tekintsük az (x0,x1) intervallumot! Mivel itt f nem veszi fel x0-t, vagy csak y0-nál nagyobb, vagy csak y0-nál kisebb értéket vesz fel. Szimmetriaokokból tegyük fel, hogy csupa nagyobbat vesz fel. Ezen a középső intervallumon a függvénynek van maximuma, mégpedig az x2 pontban, ahol f(x2)=y2.

Legyen y3 a másik pont, ahol f(y3)=x2. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy y2<y3

Két eset lehetséges.

Vagy x2<x3<x1, de ekkor az (y2,y3) intervallumban f értéke kisebb y2-nél, de nagyobb y0-nál. De az ilyen értékeket f a közbülsőérték-tétel miatt az (y0,y2) és az (y3,y1) intervallumon is mind felveszi, tehát legalább három helyen is, ami ellentmondás.

Ha viszont x1<x3, akkor f az (y0,y2), (y2,y1) és az (y1,y3) intervallumon is felveszi az összes (x2,x3)-beli értéket, ami lehetetlen.

Előzmény: [951] Lóczi Lajos, 2005-06-05 19:29:33
[951] Lóczi Lajos2005-06-05 19:29:33

Győzz meg minket :-)

Előzmény: [950] jonas, 2005-06-04 22:42:06
[950] jonas2005-06-04 22:42:06

Szerintem nincs ilyen függvény.

Előzmény: [946] Lóczi Lajos, 2005-06-03 16:48:28
[949] Lóczi Lajos2005-06-04 15:56:10

Igen, igazad van, a [946]-ban kétszer is tévedtem: persze "-" helyett ott "+"-t akartam írni, másrészt rosszul láttam, hogy "nem igaz" -- szerintem is jó a képlet, amit írtál.

Előzmény: [948] 2501, 2005-06-03 19:49:31
[948] 25012005-06-03 19:49:31

Megpróbálom indokolni, hogy

 f_n(x) \quad = \quad \left[\frac x n\right]+x-[x]

(ahol \left[x\right] az alsó egészrész) szerintem miért működik. Bontsuk fel két függvény összegére:

 f_n\left(x\right) \quad = \quad i(x)+r(x)

 i\left(x\right) \quad = \quad \left[\frac x n\right]

 r\left(x\right) \quad = \quad x-\left[x\right]

i\left(x\right) grafikonja egy n hosszúságú "fokokból" álló, növekedő "lépcső", melyben a "fokok" az egészeknél kezdődnek. r\left(x\right) tulajdonképpen x törtrésze (írhattam volna \left\{x\right\}-et is), tehát a grafikonja negyvenöt fokos, és 1 magas "sörtékből" áll. A kettő összegének grafikonján a "sörték" rákerülnek a "lépcsőfokokra", és minden fokon éppen n darab lesz.

Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06
[947] 25012005-06-03 19:12:19

x-[x]-\left[\frac x 2 \right] nem tagja az általam definiált fn(x) függvénycsaládnak.

Előzmény: [945] Lóczi Lajos, 2005-06-03 16:45:44
[946] Lóczi Lajos2005-06-03 16:48:28

175. feladat. Adjunk meg olyan folytonos valós függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]