Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2363] cauchy2007-10-06 21:28:47

Talán mégis úgy helyes, ahogy nadorp írta.

Előzmény: [2362] SmallPotato, 2007-10-06 19:49:13
[2362] SmallPotato2007-10-06 19:49:13

Bocsi, de szerintem x2+y2=8n+10-ből nem az általad írt \left(\frac{x+y}2\right)^2+\left(\frac{x-y}2\right)^2=4n+5, hanem \frac{(x+y)^2}2+\frac{(x-y)^2}2=4n+5 következik. A baloldal tehát nem két négyzetszám összege, hanem két négyzetszám összegének fele - ami az eredeti egyenletet kettővel osztva is kiderül.

Előzmény: [2361] nadorp, 2007-10-06 18:19:25
[2361] nadorp2007-10-06 18:19:25

Ha x2+y2=8n+10, akkor x és y azonos paritású, tehát, \left(\frac{x+y}2\right)^2+\left(\frac{x-y}2\right)^2=4n+5 miatt 4n+5 is két egész szám négyzetösszege. Ismert, hogy egy egész szám akkor lehet két egész négyzetösszege, ha a prímtényezős felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevőn szerepel. Ebből következik, hogy például a

3.7(2x-1)2=21(2x-1)2

alakú számok nem állnak elő két egész négyzetösszegeként, tehát a 42(2x-1)2 alakúak sem, pedg 8n+10 alakúak

Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35
[2360] Róbert Gida2007-10-06 16:47:17

x=0,y=0 esetén p(x,y)=0

x>0 vagy y>0-ra p(x,y)>1 Azaz már az 1 sem áll elő. A helyzet még ennél is rosszabb, ugyanis végtelen sok pozitív egész szám nem áll elő, ezt a megoldások számának triviális felső becslésável lehet belátni, n=K2-ig tekintve a megoldásokat.

Előzmény: [2359] epsilon, 2007-10-06 13:40:30
[2359] epsilon2007-10-06 13:40:30

Köszi, egy átalakításnál elnéztem a feladatot ami erre vezetett. Valójában az érdekelne, hogy milyen a, b, c, pozitív egész számok esetén van nemnegatív egészekből álló megoldása az alábbi egyenletnek, minden n pozitív egész számra. Szakirodalom a neten, az is érdekelne! Előre is kösz!

Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35
[2358] SmallPotato2007-10-06 12:32:07

Tippem szerint az állítás nem igaz.

Pl. n=4 esetén 8n+10=42, ami nem írható fel két páratlan egész szám négyzetösszegeként.

Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35
[2357] epsilon2007-10-06 08:57:35

Helló! A következő kérdésre nem találok azonnali választ :-( "Ihazoljuk, hogy minden nemnegatív n egész szám esetén 8n+10 felírható két páratlan egész szám négyzetösszegeként!" Bármilyen tippet előre is köszönök! Üdv: epsilon

[2355] SmallPotato2007-10-02 15:26:09

Megvallom őszintén, nekem a másodfokok váltig bennmaradtak, akárhogyan csűrtem-csavartam.

"Páronként" hogyan jönnek ki az általad felírtak?

Előzmény: [2354] rizsesz, 2007-10-02 15:18:11
[2354] rizsesz2007-10-02 15:18:11

Ezekből az egyenletekből páronként 2x=y+z, 2y=x+z, 2z=x+y, és ezekből x=y=z könnyen jön, ami valóban az említett egyenes. nem :D?

[2353] SmallPotato2007-10-02 14:29:53

"Egy kocka 3 kitérő élétől egyenlő távolságra levő pontok halmaza micsoda?"

Erős meggyőződésem szerint a kérdéses mértani hely egy egyenes. Konkrétan az az egyenes, amely tartalmazza a kockának azon (egyetlen) testátlóját, amely mindhárom jelzett kitérő élhez képest kitérő.

Bizonyítani sajnos nem tudom. :-(

Eljutottam egy ilyen, a kérdéses mértani hely (x,y,z) pontjait leíró egyenletrendszerhez (a kocka élhossza 2a, élei a koordinátatengelyekkel párhuzamosak, középpontja az origóban):

(a-y)2+(a+z)2  =  (a-z)2+(a+x)2  =  (a-x)2+(a+y)2

Ennek a jelzett egyenes pontjai valóban eleget tesznek - de elvben talán más pontok is? Nem tudom.

Előzmény: [2255] rizsesz, 2007-09-02 20:52:05
[2352] epsilon2007-10-01 21:20:48

Idáig ennyi kristályosodott ki (legépeltem, abban az egyenlőtlenséglánc az (e) amit előzetesen leírtam), ha valakinek van még ötlete, szívesen várom ;-)

Előzmény: [2343] cauchy, 2007-09-30 19:46:16
[2351] nadorp2007-10-01 09:45:33

Köszönöm a hozzászólásokat. Én Lóczi Lajoshoz hasonlóan csináltam. A sin(x+15o)=sin18o egyenletnek a 3o és 147o a megoldása. Ez a sin xcos15o+cos xsin15o=sin18o egyenletre vezet. Ebből sin x-re egy másodfokú egyenletet kapunk, aminek a kisebbik gyöke sin3o

[2350] cauchy2007-10-01 02:02:35

Egy másik kifejezés:

\sin\left(\frac{\pi}{60}\right)=\frac14\sqrt{8-\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt5}}

http://mathforum.org/library/drmath/view/54149.html

Még van egy kifejezés, de azt nem tudom hogy jön ki:

\sin\left(\frac{\pi}{60}\right)=\left(-\frac{1}{16}\sqrt2-\frac18\sqrt{5+\sqrt5}+\frac{1}{16}\sqrt2\sqrt5\right)\sqrt3-\frac{1}{16}\sqrt2+\frac18\sqrt{5+\sqrt5}+\frac{1}{16}\sqrt2\sqrt5

Előzmény: [2344] nadorp, 2007-09-30 20:05:12
[2349] SmallPotato2007-09-30 23:48:36

A 18 fokos szög szögfüggvényeinek megállapításához (a készen kapható ötleteken kívül, persze) a 72-72-36 fokos szögekkel bíró egyenlőszárú háromszöget javaslom; ennek oldalarányai (ha ugyan fejből nem ismertek :-) ) annak felismerésével határozhatók meg, hogy az egyik 72 fokos szög felezője a szemközti oldalból saját magával azonos hosszúságú szakaszt metsz ki, a másik metszék pedig egy újonnan keletkezett kisebb, szintén 72-72-36 fokos háromszög legkisebb oldala.

Előzmény: [2348] SmallPotato, 2007-09-30 23:40:47
[2348] SmallPotato2007-09-30 23:40:47

Ha már a metódus közzététetett, akkor itt az eredmény; gyanítom, nem a legletisztultabb formában, de nekem nem sikerült egyszerűbben:

\sin3^0=\frac{\sqrt5-1}{4\sqrt2}\left(\sqrt{1+\frac{\sqrt3}{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)(5+2\sqrt5) }\right)

Előzmény: [2344] nadorp, 2007-09-30 20:05:12
[2347] Lóczi Lajos2007-09-30 23:13:51

[Nyilván 3=18-15, és a félszögképlet miatt csak a 18 fok szinuszán kell kicsit gondolkodni, de a példatárakban (pl. Geom. feladatgyűjtemény) az aranymetszésnél ez utóbbi szög szinusza is ki van számolva (Mathematica alatt: Sin[3 Degree] // FunctionExpand, weben (még egy felezésre szükség van): http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/).]

Előzmény: [2344] nadorp, 2007-09-30 20:05:12
[2346] epsilon2007-09-30 21:29:00

igazad van...hát akkor A(n) egészrészére sincs képlet :-(

Előzmény: [2343] cauchy, 2007-09-30 19:46:16
[2345] Cckek2007-09-30 21:27:49

Mármint hány fixpont nélküli n-edrendű permutáció van:)

Előzmény: [2315] rizsesz, 2007-09-20 12:54:28
[2344] nadorp2007-09-30 20:05:12

határozzik meg sin 3o pontos értékét középiskolai módszerekkel

[2343] cauchy2007-09-30 19:46:16

A8 = 1

Előzmény: [2342] epsilon, 2007-09-30 18:27:09
[2342] epsilon2007-09-30 18:27:09

Már így álla helyzet:

[2341] epsilon2007-09-30 16:27:08

Bocs, hogy így szotyogtatom, ez még kijött, és az a sejtésem, hogy a 2 eset eredményeit kapjuk más n számok esetén is de, hogy mikor melyiket, még nem látom :-(

[2340] epsilon2007-09-30 16:03:04

Ha nem tévedtem, akkor az egészrészes eredmény páros teljes négyzet esetén mégis igaz, vagyis:

[2339] epsilon2007-09-30 15:26:31

Igen, valóban erre sem jó, Én kicsi teljes négyzetekre, majd n=100 értékére próbáltam, ezekből próbáltam arra következtetni amit írtam, de hibásan :-( Végül is az érdekelne, hogy egyenlőek-e az An és Bn egészrészei, és mivel is egyenlőek ezek, ha n>=2 pozitív egész, és:

[2338] cauchy2007-09-30 14:48:29

Még mindig nem jó. Pl. n = 49.

Előzmény: [2337] epsilon, 2007-09-30 14:31:32

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]