Fórum: Érdekes matekfeladatok

101/b feladat megoldása: Valahogyan rendszereznünk kell a megfelelő 10 jegyű számokat. Először is nézzük meg melyik számjegy hogyan állítható elő egy másik számjegy kétszereseként. Páros szájegyeknél A és B, páratlanoknál C és D előállítás lehet. Írjuk fel a számot és kétszeresét egymás alá és föléjük pedig a maradékokat. Egy 10x3-as táblát kapunk, melyet az előbbi A,B,C,D mintákból kell kiraknunk.

A legegyszerűbb kirakás, hogy a páros számjegyeket B, a páratlanokat C formában állítjuk elő. Ezek szépen összeillenek és kitöltik a táblát. A B-ket bármilyen sorrenben rakhatjuk: 5!. A C-k közül az 1C-t nem rakhatjuk előre a 0 miatt: 4x4!. Így ebből a típusból: 5!x4x4!=11520 van.

Második lehetőség: a C,D és B mintákból 3x3-as egységeket képezhetünk. A D-khez csak C minták párosíthatók, viszont mindketten páratlan számjegyeknél vannak, így az 5 féléből legfeljebb 2 CD párt rakhatunk össze. A maradó egy páratlan számnál a C mintát B-vel párosítjuk. Így 3 B-t használtunk a páros számok közül. A megmaradó 2 páros számnál csak az A mintát választhatjuk.

Harmadik lehetőség: egy CDB hármashoz 3 CB pár és egy A minta, ami nem lehet más mint a felhasznált D minta előtt álló páros szám A mintája.

A második és harmadik lehetőség elemszámának meghatározása legyen a 101/c feladat!

Ezt a feladatot egy számtechtanár mesélte a sulinkban. Aki ismeri, ne lője le!

102.Feladat

A történet három emberről, A-ról, B-ről és C-ről szól. "A" gondolt két, nem feltétlen különböző, 1-és 10 közé eső pozitív egész számra!(zárt intervallum) B-nek megmondta a szorzatukat, C-nek az öszegüket. Az alábbi párbeszéd zajlott le:

B: Nem tudom, melyik két számra gondolt A!

C: Azt én sem, de azt tudtam,hogy Te sem tudod!

B:Akkor tudom, melyik két számra gondolt!

C: Akkor én is!

Valóban csak 3 felel meg a feladat kiírásának, de a másik kettő is érdekes eredményt adott. :o)

Ezen túlmenően találtam még több megoldást is, de rendszert még nem sikerült rá felfedeznem.

HK

Kedves Károly!

Szépek a számok! (De csak 3 db jó!) Kösz a megoldást! Én a 9876543210 számot osztottam 2-vel és 4938271605 jött ki. Így keletkezett a feladat, de érdemes továbbfejleszteni.

101/b feladat:

Keressük meg az összes a 100. feladat feltételeinek megfelelő számot.

HK

Kedves László!

A 101. feladat megoldása:

Legyen A=1.234.567.890, ekkor 2*A=2.469.135.780; 4*A=4.938.271.560; 5*A=6.172.839.450; 7*A=8.641.975.230 és 8*A=9.876.543.120. Így legalább 5 ilyen szám létezik, de nincs kizárva, hogy több is lehetséges. (Az a fránya 3-as nem szereti a rendet :o)

HK

Kedves Fórumosok!

Szép volt a 100. feladat, gratula Sirpinek és a megoldóknak!

101. feladat: Van-e olyan tizes számrendszerbeli szám, amely 10 különböző számjegyből áll és kétszerese is 10 különböző számjegyből áll?

Pontosan, valóban ez a megoldás.

Vagyis úgy is fogalmazhatunk, hogy az a^k-1 alakú számok közül a legnagyobb közös osztó művelete nem vezet ki, azaz az eredmény is épp ilyen alakú, és a kitevő a két szám kitevőjének lnko-ja.

Az eredmény nem teljesen igaz, ennél több is teljesül.

Legyen (m,n)=d. Ekkor (aⁿ-1,a^m-1)=a^d-1

Kedves Sirpi!

Tipp a 100. feladathoz:

Erős gyanúm, hogy általában LNKO=a-1. Legyen m>n. N=a^n-1+a^n-2+...+1 és M=a^m-1+a^m-2+...+aⁿ. Így

aⁿ-1=(a-1)N és a^m-1=(a-1)(M+N).

Az törtnek akkor van egész értéke, ha m n-nek egész számú többszöröse. Ekkor LNKO=aⁿ-1, hiszen:

HK

100. feladat: Mennyi a legnagyobb közös osztója az aⁿ-1 és az a^m-1 számoknak, ha n és m természetes számok, a pedig pozitív egész? (A feladat saját ötlet, nem nehéz, de bevallom, először meglepődtem a végeredményen.)

http://www.infinity.tag.hu/ :-))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Kedves Dávid és Topik!

Kicsit visszatérnék a 98. feladat témájához. Erich Friedman a honlapján bemutatja, hogyan lehet az L-idomba n db egybevágó idomot beilleszteni úgy, hogy az a lehető legjobban kitöltse az L-idomot. Ezek az ezidáig talált legjobb megoldások?

HK

Közben megtaláltam a feladatot, és pontosan erről van szó. Kezdetben valóban páratlan sok kavicsot tartalmaz a kupac. Továbbra is érdekelne, hogy honnan származik ez a feladat, és aki nem ismerte, annak sok sikert a megoldáshoz (bár egy kicsit segítettem azzal, hogy elárultam kinek mikor van nyerő stratégiája).

Sziasztok!

Egy kis segítségre lenne szükségem. Úgy két két és fél éve megoldottam egy feladatot, amelyből csak egy kis darab papírt találtam meg. Sajnos ennyiből nem jöttem rá mi is volt a feladat, de valami olyasmi hogy egy kupac kavicsból két játékos felváltva vesz el 1 2 vagy 3 kavicsot, és végén az nyer, akinél páros sok kavics lesz. Lehet hogy kiindulásnál páratlan sok kavics volt, erre már nem emlékszek. Sajnos a feladatot sehol nem találom, de a megoldás talán az volt, hogy a kezdőnek van nyerő stratégiája, ha kezdetben nem 8k+1 számú kavics volt a kupacban. Ellenkező esetben a második játékos tud nyerni. Szóval a feladat kellene pontosan.

Az EUKLIDES szerkesztőprogram 2.02-es változata ingyenesen letölthető a www.euklides.hu lapról. Szuper jó kis program, én nagyon kedvelem!

A munkaeszközömmel, egy CAD programmal. De László gyakorlott Euklidész alkalmazó, az olcsón beszerezhető és van ingyenes változata is.

Mivel csinálsz ilyen jó ábrát?

Egy kis rajzos segítség a 99. feladathoz :o)

99. Feladat: Az félkörlemez súlypontja . Hol van az és az x=1 egyenesek által határolt darabjának a súlypontja? Oldd meg a feladatot az analízis alkalmazása nélkül.

A húgom azt mondta, hogy a NASA állást ajánlott annak, aki ezt a feladatot 10 percen belül megoldja. Szóval azért, mert eddig még senki sem oldotta meg.

Kedves Dávid!

Szerintem nincs egyértelmű megoldása ezidáig a 98. feladatnak. Nézd meg ezt.

Üdv: HK

Kedves Dávid!

Még nem volt ilyen példa. S mivel a diszkrét matematika "csempézős" (alias pakománia) feladatkörében igen nehéz a bizonyítás vagy cáfolat, így feltehetően létezik megoldás. (Agyam felizzott :o)

HK

98. Feladat (Remélem, ez még nem volt) Három, egységnyi oldalú négyzetet L-alakban egymáshoz illesztünk (vagy egy 2 oldalú négyzetből levágunk egy 1 oldalút) Fel lehet-e darabolni ezt öt egybevágó részre?

Kedves Dávid,

ha jól értem, a 97. feladatot lényegében már tárgyaltuk a "Felmerülő kérdések és problémák topikja" rovatban, kb. a 20-40-es hozzászólások környékén.