Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[896] Lóczi Lajos2005-04-29 17:05:01

Igen, csak véletlen.

A keresett kitevő ugyanis megközelítőleg \alpha=0.561493300750... (melyhez tartozó x^\alpha+y^\alpha=1-alakzat kerülete az egységkör kerületétől csak kb. 10-12-nel tér el.)

Előzmény: [895] Csimby, 2005-04-29 16:42:04
[895] Csimby2005-04-29 16:42:04

Lehet, hogy csak véletlen egybeesés,de: \frac{1}{\sqrt{\pi}}=0,564189...

Előzmény: [891] Lóczi Lajos, 2005-04-28 17:22:56
[894] Lóczi Lajos2005-04-29 01:38:38

Ott, hogy a körívre nem lehet felírni egy x^\alpha+y^\alpha=1 egyenletet, más szavakkal, x^\alpha+y^\alpha=1 pontosan akkor lesz egy kör egyenlete, ha \alpha=2.

Előzmény: [893] levi, 2005-04-28 23:19:30
[893] levi2005-04-28 23:19:30

Átszámoltam még pár számra az eredményt és tényleg rossz. Viszont én ezt nem értem. Abból indultam ki hogy van egy (1,1) középpontú 1 sugarú kör. Ennek ugye 2\pi a kerülete, és a o,1 zárt intervallumban lévő ívét vizsgáltam. Ennek az egyenlete (x-1)2+(y-1)2=1 (0\lex,y\le1). Ugyanakkor nekünk erre az ívre kellene felírni egy x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletet. A könnyű számolás miatt olyan pontot választottam hol a két koordináta megegyezik: ez az (1-\frac1{\sqrt2},1-\frac1{\sqrt2}) pont. Ez a két koordináta az x^\alpha + y^\alpha =1 egyenletbe behelyettesítve adja nekem \alpha-ra a 0.564476383 eredményt (pontosan: \frac {lg \frac 12}{lg (1-\frac1{\sqrt2})}). Ebből gondoltam azt hogy akkor ez az \alpha lesz az eredmény. Hol tévedtem?

[892] Lóczi Lajos2005-04-28 20:01:27

Az előző hozzászólásomból a "szeritem" törölhető, aprócska feladat: lássuk be, hogy a "tükrözött körív" (melynek egyenlete könnyen láthatóan y=1-\sqrt{2x-x^2}) nincs a vizsgált görbék között, azaz nem létezik olyan \alpha>0, hogy minden 0\lex\le1 esetén x^\alpha+(1-\sqrt{2x-x^2})^\alpha=1 fennállna.

[891] Lóczi Lajos2005-04-28 17:22:56

A [890]-es hozzászólással viszont nem értek egyet, nincs megindokolva, hogy a tükrözött körívre miért lenne igaz az x^\alpha+y^\alpha=1 egyenlet. (Szerintem nem is igaz.)

Az viszont érdekes, hogy az én számításaim szerinti \alpha "viszonylag közel" van az Általad megadotthoz, de azért határozottan más, az eltérés csak a 3. tizedesjegytől kezdődik (ez nem róható fel kerekítési hibáknak, nagyobb pontossággal megismételve a számítást a kétfajta \alpha továbbra is eltér.)

Előzmény: [889] levi, 2005-04-28 16:54:59
[890] Lóczi Lajos2005-04-28 16:57:00

Egyetértek.

(Viszont furcsa, hogy a [888]-as hozzászólás eltűnt. Vajon ki akart benne mit mondani?)

Előzmény: [888] levi, 2005-04-28 16:00:55
[889] levi2005-04-28 16:54:59

Vizsgáljuk csak az első síknegyedet (azon belül is a 0,1 zárt intervallumot)! Húzzuk be az x+y=1 egyenest és rajzoljuk be a kör részét. Arra gondoltam, hogy tükrüzzük a körívet. Ehhez szintén húzzuk be az x-y=0 egyenest. Az első egyenessel és a körrel vett metszéspontjának koordinátáit kiszámíthatjuk: ezek M(1/2,1/2) ill. N(1/\sqrt2,1/\sqrt2). Az MN távolság pedig \frac{\sqrt2 -1}{\sqrt2}. Keressük meg az x-y=0 egyenesen a másik ilyen távolságban lévő pontot M-től, ez az P(\frac{2-\sqrt2}2,\frac{2-\sqrt2}2). Ez a pont rajta lesz a keresett köríven. Erre az ívre érvényes az x^\alpha +y^\alpha =1 egyenlet. Mivel x=y és behelyettesítve ezt az egyenletet kapjuk: 2(\frac{2-\sqrt2}2)^\alpha =1. Ebből azt kapjuk hogy \alpha=0.564476383. Ez talán egy keresett \alpha érték.

[888] levi2005-04-28 16:00:55

http://www.sulinet.hu/termeszetvilaga/archiv/2000/0001/05.html

a cikk részben érinti a kérdést (4. ábra és a mellette lévő kis bekezdés), ebből úgy gondolom ha \alpha>2 akkor a kerület (ha az \alpha megfelelően nagy) közelít a 8-hoz (egy 2*2 négyzet). Ha 1\le\alpha<2, akkor a kerület a 4\sqrt2-höz közelít.

[886] Csimby2005-04-26 23:06:10

Tudom, rájöttem hamar miután beírtam :-(

A keresett ponthalmaz parametrikus egyenlete: x=cos^{2/\alpha}t, y=sin^{2/\alpha}t

Az ívhossz: \int{\sqrt{x'^2+y'^2}} Most nem írom tovább, de \alpha=2/3-ra tényleg kijön a 6.

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[885] Lóczi Lajos2005-04-26 22:23:28

Sajnos nem. Az asztroid kerülete csak 6, ami nem 2\pi (ez benne is van a cikkben, amiből az ábrák valók).

Előzmény: [884] Csimby, 2005-04-26 22:06:56
[884] Csimby2005-04-26 22:06:56

A kis kör sugara a nagy kör sugarának a negyede, az animációból látszik, hogy az asztroid és a nagy kör kerülete megegyezik. (egy negyed körív = egy negyed asztroid ív = a kis kör teljes kerülete)

Előzmény: [883] Csimby, 2005-04-26 22:02:49
[883] Csimby2005-04-26 22:02:49

Szemléletesen az asztroid jónak tűnik.

( a kép innen van: http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html)

Előzmény: [880] Lóczi Lajos, 2005-04-22 11:23:44
[882] nadorp2005-04-25 12:29:33

Szia Csimby !

A \sum_{i=2}^{n+1}\frac1i\leq\int_1^{n+1}\frac1xdx=ln(n+1) egyenlőtlenség módszerére gondoltam. Ugyanis:

\frac{ln1 +ln2 + ... lnn}n\geq\frac1n\int_1^nlnxdx=\frac1n(nlnn-n+1)\geq{lnn-1},azaz \root{n}\of{n!}\geq\frac{n}e.

A fent kapott egyenlőtlenség már jó alap a feladatban a nemkorlátosság bizonyításához.

Előzmény: [881] Csimby, 2005-04-22 21:54:35
[881] Csimby2005-04-22 21:54:35

Kedves Nadorp! Ha még emlékszel rá, elmondod mire gondoltál?

Előzmény: [812] nadorp, 2005-03-01 12:15:48
[880] Lóczi Lajos2005-04-22 11:23:44

Valamely \alpha>0-ra tekintsük a sík azon (x,y) pontjait, amelyekre teljesül, hogy


|x|^\alpha+|y|^\alpha=1.

(Az \alpha=2 esetben nyilván egységkört kapunk, \alpha=\frac{2}{3}-ra asztroidot, stb.) Az \alpha=2 esetben a kapott alakzat kerülete 2\pi. Vajon lesz-e ezen kívül olyan \alpha, amelyhez tartozó alakzat kerülete szintén 2\pi? Ha igen, melyik/melyek ezek az \alpha\ne2 értékek?

[879] lorantfy2005-04-21 13:48:18

Kedves NádorP!

Kösz a megoldást! Régi Arany Dani feladat volt.

Előzmény: [878] nadorp, 2005-04-21 11:14:46
[878] nadorp2005-04-21 11:14:46

Jelentkező hiányában lelövöm a 160. feladatot.

Legyen x az a nyerőszám, amely bármely kettő nyerőszám összegének az osztója. Ekkor, ha y egy másik nyerőszám, akkor x | x+y miatt x| y is teljesül. Tehát x olyan nyerőszám, amely az összes nyerőszám osztója. Ebből következik, hogy 5x\leq90, azaz x\leq18. Másrészt, mivel x ismeretében az összes többi nyerőszám egyértelműen meghatározható, ezért 6x>90 is teljesül, azaz x>15. Így x=16,17,18 jöhet csak szóba. Mivel a paritás x-et meghatározza, ezért x=17. A nyerőszámok 17,34,51,68,85.

Előzmény: [877] lorantfy, 2005-04-18 22:42:47
[877] lorantfy2005-04-18 22:42:47

160. feladat: Mivel nagy nyeremény várható a lottón Mézga Aladár úgy döntött megkérdezi Köbükit, mik lesznek a nyerőszámok.

- A számokat nem mondom meg, de azt elárulhatom, hogy van köztük olyan szám amellyel bármely két nyerőszám összege osztható.

- Mi ez a szám?

- Ha megmondanám, akkor kitalálnád a nyerőszámokat.

- Legalább azt áruld el, páros vagy páratlan ez a szám.

A válasz után Aladár kitalálta a számokat, megjátszotta őket és nyert.

Mik voltak a nyerőszámok?

[876] Csimby2005-04-17 21:02:14

Ezt most találtam, Ramanujan egyik formulája. Csak érdekességnek rakom fel, szép nem?

[875] Hajba Károly2005-04-08 15:28:33

Kedves (mindent) tudniakarok!

Egy újszülöttnek minden vicc új, de nem a véneknek. :o) Szóval anno, valamikor a '90-es években valamelyik magyar ált. isk. diákjai lelkes matektanáruk irányításával egy nagyszabású kisérletet tettek a betetted feladat megvalósítására. Két napon keresztül többezer gyufaszálat v. akármit ejtegettek le több csoportba szerveződve. Ha jól emlékszem 2 tizedesjegy pontossággal ki is hozták a \pi értékét. Ez akkor világcsúcs volt.

Érdekes lehet az betett ábra egyéb formái is.

HK

Előzmény: [874] tudniakarok, 2005-04-08 14:11:29
[874] tudniakarok2005-04-08 14:11:29

Na ez érdekes,nagyon...

159.feladat: Tulajdonképpen a feladat nem más, mint egy kísérlet, amit egy Buffon nevű matematikus agyszüleményeként tartanak számon:

Felszereljük magunkat egy rövid, kb. 2 cm hosszú varrótűvel. /A varrótű végei legyenek letörve, és persze az a jó, ha hossza mentén egyenletes vastagságú/. Ez után egy papírlapon vékony párhuzamos vonalakat húzunk, amelyeknek egymástól való távolsága kétszer olyan nagy, mint a tű hossza. Ezután bizonyos (tetszés szerinti, de állandó) magasságból a tűt a papírra ejtjük és megfigyeljük, hogy metszi-e a tű a vonalak valamelyikét, vagy nem. Hogy a tű ne ugrálhasson, a papírlap alá itatóst vagy posztót teszünk.A tűdobálást sokszor megismételjük, (legalább százszor, ezerszer, vagy esetleg 28 milliószor) és minden alkalommal megnézzük, hogy volt-e metszés. (megj.: Metszésnek számít az az eset is, amikor a tű csak a hegyével érinti a vonalat.) Ha ezután a dobások számát elosztjuk a metszések számával milyen eredményt kapunk?

[873] Csimby2005-03-30 19:38:57

(9-6)*4=12, tehát 12 lyuk maradhat (nem 9) és szerintem az én hozzászólásomból is ez derült ki, amire válaszoltál...

Előzmény: [872] jonas, 2005-03-30 18:22:06
[872] jonas2005-03-30 18:22:06

Szerintem a 3×3-as felosztásból az is látszik, hogy legfeljebb 9 lyuk maradhat, tehát 11 dominó mellé mindig le lehet rakni még egyet. Egy 3×3-as sarokban ugyanis hat mezőt mindig le kell fedni ahhoz, hogy ne lehessen még egy dominót lerakni. Ez az eredmény megegyezik Gézáéval, és éles is, mert 12 dominó már meg tudja tölteni a táblát.

A A B
C C D B E
F F D E
G H I I
G J H K K
J L L
Előzmény: [852] Csimby, 2005-03-29 01:19:33
[871] tudniakarok2005-03-29 21:56:19

azaz ezért jó a tiéd nem pedig nem jó!na mind1

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]