Fórum: Érdekes matekfeladatok

A Miquel-tételhez elég a kerületi szögek/húrnégyszögtétel. Megrajzolod az \(\displaystyle AB'C'\) és a \(\displaystyle BC'A'\) körök második metszéspontját (\(\displaystyle M\)), az \(\displaystyle AC'BB'\), \(\displaystyle BA'MC'\) húrnégyszögekből leolvasod, hogy \(\displaystyle AB'M\sphericalangle=BC'M\sphericalangle=CA'M\sphericalangle\), tehát \(\displaystyle CB'MA'\) is húrnégyszög.

Az ábrából ez egészen egyszerűnek tűnhet, de az \(\displaystyle M\) pont nem biztos, hogy a háromszög belsejében van, a négyszögek önmetszők vagy elfajultak is lehetnek. Ezen kívül az \(\displaystyle A',B',C'\) pontok lehetnek az oldalak meghosszabbításán is, vagy határesetben egybeeshetnek csúcsokkal. A teljes bizonyításhoz érdemes irányított szögekkel dolgozni, de akkor is több eset van.

Érdemes megszerkeszteni Geogebrában, és mozgatni az \(\displaystyle A',B',C'\) pontokat.

Bizonyítás található pl.Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából c. könyvének 2.8. fejezetében. A "négy háromszög tétele" elnevezést használja a szerző.

Vagy esetleg tudsz javasolni forrás anyagot, ahol ez érthetően le van írva? Hanyadikos témakör ez? Valamelyik tankönyvben van erről szó?

Köszönöm! De az a problémám, hogy a Miquel tétel bizonyítását nem értem. Esetleg ebben tudnál segíteni még?

Segítség:

a) Érintő szárú kerületi szögek.

b) 3-Miquel, az \(\displaystyle A'=B\), \(\displaystyle B'=C\), \(\displaystyle C'=A\) határesetben.

Rajzoljuk meg az ABC háromszög AB oldalát B-ben érintő és C-n átmenő, a BC oldalt C-ben érintő és A-n átmenő, valamint a CA oldalt A-ban érintő és B-n átmenő kört. Bizonyítsuk be, hogy a három kör egy közös ponton megy át. Tud valaki segíteni? (hatványpont, Miquel pont irányába kezdtem gondolkodni, de nem sikerül a végére jutni...)

A feladat megoldásának lépései lehetnek:

A sorozat rekurzív tulajdonságainak vizsgálata. A stabilitási feltételek elemzése 𝜎 𝑘 σ k ​ -ra nézve. Annak elemzése, hogy az 𝑎 ( 𝑘 − 1 ) 𝑠 (k−1) s

a ​ csökkenő tag miként befolyásolja a sorozat növekedését. Lehetséges numerikusan szimulálni a sorozatot, hogy meggyőződjünk arról, az egyenlőtlenség teljesül-e a növekvő 𝑘 k-k esetén.

A feladat megoldásának lépései lehetnek:

A sorozat rekurzív tulajdonságainak vizsgálata. A stabilitási feltételek elemzése 𝜎 𝑘 σ k ​ -ra nézve. Annak elemzése, hogy az 𝑎 ( 𝑘 − 1 ) 𝑠 (k−1) s

a ​ csökkenő tag miként befolyásolja a sorozat növekedését. Lehetséges numerikusan szimulálni a sorozatot, hogy meggyőződjünk arról, az egyenlőtlenség teljesül-e a növekvő 𝑘 k-k esetén.

nincs ilyen sorozat:(

Átfogalmazom. Van-e olyan \(\displaystyle \sigma_k\) valós számsorozat amely egy bizonyos \(\displaystyle k_0\) index után pozitív és minden \(\displaystyle k\ge k_0\) esetén eleget tesz a

\(\displaystyle \sigma_k+\frac{1}{\sigma_{k-1}}\le 2-\frac{a}{(k-1)^s},\,a>0,0<s\le 1\)

összefüggésnek?

Ok, tévedtem, valóban egyszerű.

Lehet, hogy ismert, egyszerűnek tünik de nem az. Van-e olyan \(\displaystyle (\sigma_k)\) pozitiv tagú számsorozat, melyre minden \(\displaystyle k\ge 1\) esetén

\(\displaystyle \sigma_k+\frac{1}{\sigma_{k-1}}<2?\)

Nyilván, ha van ilyen sorozat, akkor az monoton es a határértéke 1.

Létezik-e olyan részhalmaza a sík pontjainak, amelynek megszámlálhatóan végtelen sok szimmetriaközéppontja és megszámlálhatatlanul végtelen (kontinuum) sok szimmetriatengelye van? Létezik-e olyan, amelynek megszámlálhatatlanul végtelen (kontinuum) sok szimmetriaközéppontja és megszámlálhatóan végtelen sok szimmetriatengelye van?

Sziasztok!

A saját feladatom, remélem nem akkora hülyeség:
Az alábbi képen a discord nevű alkalmazás (egyik) szervercsatornájának lassított mód beállítása látható [a bejegyzésem végén található az ábra]. Az időintervallumok számát túl kevésnek találtuk, szeretnénk kevesebb vagy több időintervallumon korlátozni a tagok üzenetküldéseit, mindezt úgy, hogy az időintervallumok rendezettsége is megmaradjon. A szabály felismerése után írjuk fel az n-edik időintervallumot tetszés szerinti mértékegységben, és bizonyítsuk a helyességét.

Az egyik lehetséges megoldási tervem:
A képen látható időintervallumokat percre átváltva egy egész pontosan 2,16... darab sorozatot kapunk. Ezek a következők:

\(\displaystyle 0,083...+0,16...+0,25+0,5+1+2+=4\)

\(\displaystyle 5+10+15+30+60+120=240\)

És a 360 az meg a 3. sorunk kezdőszáma lenne. Megfigyelendő, hogy az első sor összegének utolsó tagjának felét kell a sorozat jobb oldalához hozzáadni, hogy megkapjuk a következő sorozat első tagját. A következő sorozat utolsó összegéhez már a sorozat utolsó tagját kell hozzáadni, és így tovább... Ez azt jelenti, hogy a sorozatok sorozatára is fel kell írni egy összefüggést. Kezdjünk hát ezzel: Legyen x a sorozatok sorozatának száma, ekkor:

\(\displaystyle elso-formula: 2^{x}*6*n\)

képlet megadja a sorozatok közti kezdőérték különbséget az x.-edik sorozat első n eleme függvényében. Most akkor végre áttérhetünk a rendes sorozatok szabályának felírására. Ez így nézne ki:

\(\displaystyle 2^{k-3}*3*n+...+2^{k-3}*3*n=2*(2^{k-3}*3*n) ,ha: k>=3\)

Az általános érvényű összefüggés, hogy az első két tag kivételével, minden tag kétszerese az előtte álló tagnak és kettő hatványszorosa az első tagnak. A szabály pedig úgy adódott, hogy a megfigyelésünk a fősorozat első három tagjára nem érvényes, mivel a harmadik tag nem 2 hatványaszorosa az első tagnak. Így már ki is derűlt, hogy a 2 a k-3 -on mit jelent, a 3n-es szorzó pedig a 2. és 3. tag szabálytalanságát kompenzálja. Bizonyítása teljes indukcióval:

\(\displaystyle 2^{(k+1)-3}*3*(n+1)=2*(2^{(k+1)-3}*3*(n+1)) ,ha: k>= 3\)

...egyértelmű, hisz a 7. tag tényleg 2-szerese az előzőnek. Összefoglalva tehát, az első tag ismeretében az "elso-formula"-ba behelyettesítve megkapjuk a következő sorozat kezdőértékét. A másik összefüggésbe behelyettesítve pedig a konkrét időintervallumot kapjuk meg percben.

Jó a megoldásom? Ha egyáltalán igen, van rá másik megoldás? Ha nem, hol a hiba?

2.ötlet: Gondolom van rá valami "rendes" diszkrét matematikai megoldás, ahol pontokra függvényt illesztünk... ha igen, hogy nézne ki az a módszer jelen feladatra?

Megjegyzés: Ezt az oeis.org oldalt próbáltam használni, úgy hogy a legkissebb mértékegységre (sec) váltottam minden pontot, és így egész számok sorozataként begépeltem, ám nem talált rá az adatbázis... (link)

Köszönöm szépen a figyelmet, amit a bejegyzésem elolvasására fordítottatok!

A005131

Szeretnék segítséget kérni. Mi lesz a következő szám? 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ?…

Köszönöm szépem!

igen, 36=36

Hogyha A+B=2*D+1, és D-B=2, és A=D+B-1, akkor igaz az az állítás, hogy A*B=D*D? Segítsetek megfejteni!

"Felhasználtam, hogy azonos alapú hatványokat úgy is össze lehet szorozni, hogy a közös alapot a kitevők összegére kell emelni" – ez általában nem igaz.

Köszönöm szépen.

Két megoldást is találtam a ? helyére kerülő számra.

Ezeket: -25672, illetve: -40196.

2, 20, 120, 750, ?, 42392 Milyen szám lesz ? helyén?

Köszönöm szépen.

A 2, 3, 11, 13, 101, 103, ?, ?, sorozathoz ez is megoldás:

1031, 1033, a rákövetkező számpár pedig: (10223, 10243).