Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Matematikai Diákolimpia

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[54] Kós Géza2009-07-17 18:09:41

Az idei feladatok

(Szabad fordításban)

 

I. nap

1. feladat. Legyen n pozitív egész, és legyenek a1,a2,a3,...,ak (k\ge2) különbző egészek az {1,2,...,n} halmazból úgy, hogy ai(ai+1-1) osztható n-nel minden egyes i=1,2,...,k-1 esetén. Bizonyítsuk be, hogy ak(a1-1) nem osztható n-nel.

2. feladat. Az ABC háromszög köré írt kör középpontja O. P és Q belső pontjai a CA, illetve AB oldalaknak. Legyen K, L és M a BP, CQ, illetve PQ szakaszok felezőpontja, és legyen \Gamma a K,L,M pontokon átmenő kör. Bizonyítsuk be, hogy ha \Gamma érinti a PQ egyenest, akkor OP=OQ.

3. feladat. Tegyük fel, hogy s1,s2,s3,... egy pozitív egészekből álló, szigorúan növekvő sorozat, amire az ss1,ss2,ss3,... és ss1+1,ss2+1,ss3+1,... részsorozatok számtani sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy s1,s2,s3,... maga is számtani sorozat.

 

II. nap

4. feladat. Az ABC háromszögben AB=AC. A CAB és az ABC szög felezője a BC és CA olalakat D-ben, illetve E-ben metszi. Legyen K az ADC háromszögbe írt kör középpontja. Tegyük fel, hogy BEK\angle=45o. Határozzuk meg a CAB szög összes lehetséges értékét.

5. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, a pozitív egészek halmazából a pozitív egészek halmazába képező f függvényt, amire tetszőleges a,b pozitív egészek esetén az a, f(b) és f(b+f(a)-1) hosszúságú szakaszokból (nem elfajuló) háromszög szerkeszthető.

6. feladat. Legyenek a1,a2,...,an különböző pozitív egészek, és legyen M egy n-1 pozitív egészből álló halmaz, ami nem tartalmazza az s=a1+a2+...+an számot. Egy szöcskének, a számegyenes 0 pontjából indulva, összesen n-szer kell ugrania jobb felé úgy, hogy az ugrások hossza rendre a1,a2,...,an legyen valamilyen sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy az ugrások sorrendjét meg tudjuk választani úgy, hogy a szöcske egyszer se lépjen M-beli pontra.

[53] lorantfy2008-07-24 19:56:22

GRATULÁLOK A MAGYAR CSAPAT MINDEN TAGJÁNAK!

[52] Diego22008-07-21 18:53:57

Nagyon nagy dolog, amit a fiúk műveltek. Ez nem vicc, gyerekek. Le a kalappal! Gratulálok az egész magyar csapatnak és mindenkinek, akinek ehhez a világraszóló sikerhez valamilyen köze van! Mert tetszik van nem, igenis, többek között az ilyen tudás az IGAZI ÉRTÉK! Nem lehet pénzben kifejezni.

[51] rizsesz2008-07-21 15:24:55

Azért ne feledkezzünk el Tomon Istvánról sem, aki ugyan nem Lovász fia :) mégis, az 5. helyet szerezte meg, ami legalább olyan kimagaslóan szép teljesítmény...

Előzmény: [50] Róbert Gida, 2008-07-20 18:38:52
[50] Róbert Gida2008-07-20 18:38:52

Eredmények:

http://www.imo-2008.es/results.html

Lovász fia negyedik lett az összes induló között, másodikban vesztett pontot.

Ezt a számolós második példának az a részét beadtam a Mathematica-nak, nem tudta bebizonyítani, tehát annyira mégsem könnyű, legalábbis egy gépnek. Csak a teljesen triviális jobboldal=0-át tudta belátni.

[49] m2mm2008-07-18 17:39:00

Köszönöm a segítséget.

Előzmény: [47] sakkmath, 2008-07-18 16:54:09
[48] sakkmath2008-07-18 17:09:08

Egy pontosítás: a könyv 2003-ban jelent meg. Az Eötvös Kiadó jelenleg így hirdeti:

Előzmény: [47] sakkmath, 2008-07-18 16:54:09
[47] sakkmath2008-07-18 16:54:09

Ha jó angolul is, klikk ide. Itt az "S"-ikonokra kattintva a megoldásokhoz jutunk. Magyarul két lehetőség adódik:

1) Egy könyv: Reiman István - Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959 - 2003 (TypoTex, 2000, ISBN : 9639548045);

2) Egy lap: KöMaL 2000. év októberi száma. (Legalábbis ebben kell lennie, ugyanis az elmúlt évek gyakorlata ez: a szeptemberi számban a feladatokat és a beszámolót közlik, s a következőben hozzák a magyar olimpikonok megoldásait.

Előzmény: [46] m2mm, 2008-07-18 12:58:42
[46] m2mm2008-07-18 12:58:42

Üdv! Valaki megtudná mondani, hol találhatom meg a 41. diákolimpia(2000 júliusa) feladatainak megoldását?

[45] Róbert Gida2008-07-17 18:39:03

Magyarul az idei 6 feladat:

http://www.imo-2008.es/examenes/hun.pdf

Előzmény: [44] Róbert Gida, 2008-07-16 16:30:30
[44] Róbert Gida2008-07-16 16:30:30

2008-as spanyolországi matematikai olimpia első napjának feladatai:

1. Legyen H egy ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja. \gammaA kör középpontja a BC oldalfelezőpontja, és átmegy H-n, BC oldalt A1 és A2 pontokban metszi. Hasonlóan definiáljuk a B1,B2,C1,C2 pontokat. Mutassuk meg, hogy A1,A2,B1,B2,C1,C2 egy körön vannak.

2. x,y,z valós számok mindegyike különbözik egytől és xyz=1. Mutassuk meg, hogy \frac {x^2}{(x-1)^2}+\frac {y^2}{(y-1)^2}+\frac {z^2}{(z-1)^2}\geq 1. Továbbá, hogy végtelen sok x,y,z racionális számhármasra az egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül.

3. Mutassuk meg, hogy végtelen sok pozitív egész n számra n2+1-nek van 2n+\sqrt {2n}-nél nagyobb prímosztója.

[43] Sirpi2006-08-07 13:36:41

Az M-et a megfelelő helyre beszúrtam, a hiányzó abszolútérték-jellel együtt.

Előzmény: [42] sakkmath, 2006-08-07 11:49:30
[42] sakkmath2006-08-07 11:49:30

A képlet ugyanis hiányos! A helyes változat: az egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezés abszolútértékjelek között áll, a jobb oldali kifejezést pedig M-mel kell szorozni. Egyébként a mostani IMO honlapján is meg lehet találni a kitűzött feladatok magyar szövegét. A megoldásokat már csak angolul közlik. Üdv Mindenkinek!

Előzmény: [41] nadorp, 2006-08-07 11:17:44
[41] nadorp2006-08-07 11:17:44

Az I/3 példában nincs M-re való hivatkozás a feltételek közt.

Előzmény: [40] Kós Géza, 2006-08-07 11:03:56
[40] Kós Géza2006-08-07 11:03:56

A feladatok.

 

Első nap

 

1. feladat. Az ABC háromszög beírt körének középpontja legyen I. A háromszög P belső pontja kielégíti a PBA\angle+PCA\angle=PBC\angle+PCB\angle egyenlőséget. Bizonyítsuk be, hogy AP\geAI, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha P=I.

2. feladat. Legyen P egy szabályos 2006-szög. P egy átlóját jónak nevezzük, ha a végpontjai P határát két olyan részre bontják, amelyek mindegyike P páratlan sok oldalát tartalmazza. Az oldalakat szintén jónak nevezzük. Tegyük fel, hogy P-t háromszögekre bontottuk 2003 olyan átlóval, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja P belsejében. Határozzuk meg az ilyen felbontásokban előforduló egyenlőszárú, két jó oldallal rendelkező háromszögek számának maximum át.

3. feladat. Határozzuk meg a legkisebb olyan M valós számot, amire az

\left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \right| \le M(a^2+b^2+c^2)^2

egyenlőtlenség teljesül minden a,b,c valós számra.

 

Második nap

 

4. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló (x,y) számpárt, amire teljesül 1+2x+22x+1=y2.

5. feladat. Legyen P(x) egy egész együtthatós, n>1 fokú polinom, és legyen k egy pozitív egész. Tekintsük a Q(x)=P(P(...P(P(x))...)) polinomot, ahol P k-szor fordul elő. Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb n darab olyan t egész szám van, amire Q(t)=t.

6. feladat. Egy P konvex sokszög mindegyik b oldalához hozzárendeljük a legnagyobb területű olyan háromszög területét, aminek egyik oldala b és ami benne van P-ben. Bizonyítsuk be, hogy a P oldalaihoz rendelt területek összege legalább a kétszerese P területének.

Előzmény: [39] Kós Géza, 2006-08-07 10:46:46
[39] Kós Géza2006-08-07 10:46:46

Úgy látom, a matekolimpikonok kicsit szégyenlősebbek, mert idén nem csillog annyira fényesen az eredmény (de azért mindenki nyert érmet).

1. 2. 3. 4. 5. 6. összesen érem
Kis Gergely 7 3 1 6 7 0 24 ezüstérem
Jankó Zsuzsanna 7 7 0 6 3 0 23 ezüstérem
Erdélyi Márton 7 7 0 7 1 0 22 ezüstérem
Nagy Csaba 7 1 0 6 5 0 19 ezüstérem
Paulin Roland 7 4 0 7 1 0 19 ezüstérem
Tomon István 7 1 0 6 1 0 15 bronzérem
               
Estélyi István (Szolvákia) 7 1 0 7 0 0 15 bronzérem

Csapatban tizenhetedikek lettünk.

Az eredmények részletesebben itt olvashatók.

[38] rizsesz2005-08-25 13:17:41

Ja nem :) én úgy gondoltam, hogy kik az idei versenyzők, csak kétféle módon kérdeztem rá, én okos. Agysejtek rulez! És gratula n+1. alkalommal.

Előzmény: [30] Zsuzsy, 2005-07-23 22:20:21
[37] SAMBUCA2005-08-25 11:38:37

CSáttok Arcok!

GRATULA MINDENKINEK!!!!!!!!!!!!!

Üdv. SAMBUCA ( egy ex HUN1 :P)

[36] Zsuzsy2005-08-07 18:58:30

Danke, de mi az hogy Alk.?

[35] Edgar2005-07-30 22:20:17

fizikus csapat == arc. szerintem.

Kár, hogy 1 ponton múlt a 3 magyar arany a matek nyesőn. Nem baj, jövőre Alk. Zsuzsi biztos kivágja a sárgarezet. Roller pedig alap :-D

Edgar 2004/5. példájában nem vitatható pont volt, hanem tetemes lyuk :-D Kétoldalról-csinálós-középen-elsumákolós. Szerintem. Valódi 42 pont azért nem könnyű biznissz, nemcsak mindent meg kell csinálni rendesen, de jó gyorsan is, és aztán tisztán leírni... le a kalappal azelőtt, aki nem koordinátori (javítói) hibából éri el ;-) A 42 ponttal való problémákat talán nem lehet jobban jellemezni, mint hogy az 1997-es aranycsapat két 41-et és egy 40-et is kapott...

[34] Edgar2005-07-30 22:10:21

2005-ös csapat = arc! Gratulálok! Csak amiatt vagyok kicsit bánatos, hogy ezek szerint nem volt túl hatékony az egyenlőtlenséges arzenál by Davids :'( El kellett volna mondanom a Muirhead-et!! Ha jól tudnék TeX-ben szedni, már fellőttem volna valahova. Ha még nem nyestem volna be, ez egy jókis oldal, tudtommal az egyetlen, ahol a részletes eredmények is ottfeszülnek régi olimpiákról: http://www.srcf.ucam.org/ jsm28/imo-scores/ Innen megtudható, kik milyen azonosítót viseltek, és pontosan mikre kapták a pontokat. 2005 Mérida még nincs rajta :-(

[33] rizsesz2005-07-26 13:47:54

Hát a fizikások is a papírforma szerint teljesítettek gondolom :) Illetőleg ott egy magyar diák, Halász Gábor holtversenyben a legtöbb pontot szerezte az abszolút versenyben! http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ab/0/27409/1 Nekik is nagyon nagy gratula!

[32] Hajba Károly2005-07-25 13:39:05

Én is gratulálok a csapatnak, főleg hogy megint vannak a fórumon is szereplők a csapatban.

Ui: Mi a helyzet a fizikásokkal? Volt, nem volt diákolimpia?

[31] Yegreg2005-07-24 21:18:21

Én csatlakoznék Doom-hoz... Gratulálok minden versenyzőnek!

Üdv:

Yegreg

[30] Zsuzsy2005-07-23 22:20:21

Elég tudni, hogy a kódolás névsor szerint történt, úgyhogy ha felírod a tavalyi résztvevőket, megfejtheted...

És köszi a gratulációt mindenkinek :))

Előzmény: [25] rizsesz, 2005-07-19 03:24:21

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]