Fórum: Valaki mondja meg!

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1018] Alma

2009-11-06 02:23:23

Ennek a feldatnak a megoldását pont megírtam tex-ben, úgyhogy feltöltöm. Lehet, hogy valamit nagyon elnéztem, mert nekem gyanúsan egyszerűnek tűnik (nem nagyképűségből mondom, hanem a többi feladathoz képest).

Írjuk fel a test mozgásegyenletét!

$\frac{d}{dt}\left(m(t)v(t)\right)=-m(t)g$

Behelyettesítve a feladat által megadott tömeg(idő) függvényt, a következő egyenlethez jutunk:

$\frac{d}{dt}\left(m_0e^{\frac{t}{\tau}}v(t)\right)=-m_0e^{\frac{t}{\tau}}g$

Elvégezve a deriválást és az egyszerűsítéseket:

$a=-\left(\frac{v}{\tau}+g\right),$

ahol $a=\frac{dv}{dt}$ a test sebessége. Ez a sebességre nézve egy lineáris elsőrendű differenciálegyenlet. Szeparálva a változókat:

$-\frac{dv}{\left(\frac{v}{\tau}+g\right)}=dt.$

Mindkét oldalt határozottan integrálva a fellövés pillanatától t idővel későbbig:

$\tau ln\left(\frac{v_0+g\tau}{v+g\tau}\right)=t.$

Ebből kifejezve a sebességet a felhajítástól eltelt idő függvényében:

$v=(v_0+g\tau)e^{-\frac{t}{\tau}}-g\tau=\left(2e^{-\frac{t}{\tau}}-1\right)g\tau,$

felhasználva, hogy v₀=g $\tau$ a feladat szövege szerint. A test akkor van pályájának tetőpontján, amikor sebessége zérussá válik. Ezt a következőképp írhatjuk fel egyenlettel:

$v=\left(2e^{-\frac{t_{max}}{\tau}}-1\right)g\tau=0,$

ami akkor teljesül, ha t_max=ln2 $\tau$ . Így a test t_max=ln2 $\tau$ idő múlva jut pályájának tetőpontjára. Ekkor a test tömege a megadott képlet alapján

$m_1=m_0e^{\frac{t_{max}}{\tau}}=2m_0$

[1017] Geg

2009-11-05 13:59:25

Igen, szerintem is kell az a minusz elojel.

Ha pedig lefele dobjuk. akkor a megadott kezdeti feltetelt kielegito megoldas v=g $\tau$ , vagyis a sebesseg konstans.

Előzmény: [1016] SmallPotato, 2009-11-05 12:47:53

[1016] SmallPotato	2009-11-05 12:47:53
Hm. Lehet, hogy a levezetés a (kezdeti) sebesség és a nehézségi gyorsulás ellentétes irányán bukik meg. Eszerint g előjelét végig ellentétesre kéne cserélni. De akkor is felmerül a kérdés: lefelé (azaz v₀ és g egyező iránya esetén) el se lehet hajítani a testet? :-)
Előzmény: [1014] SmallPotato, 2009-11-05 09:13:17

[1015] SmallPotato

2009-11-05 09:19:04

Persze, hogy eltoltam, bocsánat:

$t=-\tau ln (g-\frac v \tau)+lnC$ alapján

$t= ln \frac {C}{(g-\frac v \tau)^\tau }$ , de ez a v=v₀=g $\tau$ esetén 0-vá váló nevező problémáján nem változtat.

Előzmény: [1014] SmallPotato, 2009-11-05 09:13:17

[1014] SmallPotato

2009-11-05 09:13:17

A Newton-törvény $F=\frac {d(mv)}{dt}$ alakjából, a szorzás differenciálási szabályát alkalmazva

$v \frac{dm}{dt}+m \frac{dv}{dt}=mg$ , azaz

$v\frac 1 \tau m_0 e^{\frac t \tau} + m_0 e^{\frac t \tau}\frac{dv}{dt}=m_0 e^{\frac t \tau}g$ , ahonnan (mivel $m_0 e^{\frac t \tau}$ nem lehet 0) kapjuk

$v\frac 1 \tau + \frac{dv}{dt}=g$ , azaz

$dv=(g-\frac v \tau)dt$ , vagy az integrálhatóság végett átrendezve

$dt=\frac {dv} {g-\frac v \tau}$ .

Ennek megoldása

$t=\int\frac {dv} {g-\frac v \tau}$ , azaz

$t=-\tau ln (g-\frac v \tau)+lnC$ , vagyis

$t= ln \frac {C}{\tau (g-\frac v \tau)}=ln \frac {C}{g \tau-v}$ .

Ha mármost C meghatározásához a kezdeti feltételt beírjuk:

$0=ln \frac {C}{g \tau-v_0}=ln \frac {C}{g \tau-g \tau}=ln \frac C 0$ , ahol is elakadtam rendesen.

Mondhatnánk, hogy 0 logaritmusa 1-nek van, tehát némi határérték-belemagyarázással C=0 lehetne, csakhogy ez a visszahelyettesítésnél ismét nem értelmezhető eredményhez (ln0) vezet.

Valahol biztosan rosszul látok valamit - de nem tudom, hol.

Előzmény: [1013] Lóczi Lajos, 2009-11-05 00:48:51

[1013] Lóczi Lajos	2009-11-05 00:48:51
Be tudnád írni a számolási részleteket?
Előzmény: [1012] SmallPotato, 2009-11-05 00:14:44

[1012] SmallPotato

2009-11-05 00:14:44

Tényleg szokatlan volt a változó tömeg ... pedig valóban csak vissza kellett volna nyúlni az eredeti Newton-törvényhez.

Tartok tőle, hogy ennek alapján magam is eljutottam az általad írt "csavar"ig ... legalábbis az integrálási konstans meghatározásába beletörött a bicskám. A szomorú az, hogy a szemlélet alapján nem látom a kiutat - a kezdeti feltétel nem abszurd, tehát megoldásnak igenis lennie kell, akkor is, ha nem látom.

Előzmény: [1011] Geg, 2009-11-04 22:59:08

[1011] Geg

2009-11-04 22:59:08

A feladatban Newton torvenyet kell alkalmazni: a testre hato ero megegyezik az idoegysegre juto impulzusvaltozassal. Tekintettel arra, hogy a tomeg nem allando, ezert a kozvetett fuggveny derivalasi szabalya alapjan lesz egy, a sebesseggel aranyos, a tomegvaltozas utemehez kapcsolodo tag is a szokasos m*a mellett. Az igy adodo differencialegyenletet kell megoldani a sebesseg-ido fuggvenyre.

Erdemes kicsit utanaszamolni. En most megtettem, es ha nem rontottam el, ezutan jon csak a csavar a feladatban.

Előzmény: [1010] SmallPotato, 2009-11-04 22:33:54

[1010] SmallPotato	2009-11-04 22:33:54
Nem relativisztikus tömegnövekedésről van szó. A feladat, amint azt Higgs a 997. hsz-ban megírta, itt található, az 5-ös számú.
Előzmény: [1009] Ergon, 2009-11-04 21:59:30

[1009] Ergon	2009-11-04 21:59:30
Ha feldobjuk a testet, akkor -mivel sebességre tesz szert-, már nem a nyugalmi tömeg lesz a tömege, hanem egy másik, annál nagyobb tömeg. Nem?

Játékszabályok Technikai információ TeX tanfolyam Elfelejtettem a jelszavam Témák

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?