Fórum: Valaki mondja meg!

Jól értem, hogy a bizonyítás arra menne ki, hogy minden kettőnél nagyobb prím páratlan? Vagy arra, hogy minden páratlan szám 2n+1 alakú? Dehát ezek a prím és a páratlan definíciójából közvetlenül következő dolgok, nem?

ok-é köszönöm ! az lenne az állítás,hogy minden kettőnél nagyobb prím felírható 2n+1 formájában ... - a kérdés pedig,hogy ez a levezetés,bizonyítás elégséges e arra,hogy igaz ?

- köszönöm a választ !

Nem tudom, honnan emeled át ezt az angolul is szörnyű szöveget ( "every prim p>2 can be writing" , etc. ) , de ezen túltéve magunkat sem értem, mi az állítás. Ez egy önálló "tétel" , vagy a [1608]-nak akar valami kiegészítése/módosítása lenni?

Ha te úgy véled, megértetted a levezetést, nyugodtan írd le magyarul, úgy talán a többiek is kedvet kapnak belenézni.

prove that every prim p>2 can be writing in the form of 2n+1 for n>0 ,n number natural,so p-1=2n --- p-1 --- even,because p is odd.

so p>2 --- than p>=3 p is prim,p>2 so than p is even so p=2k+1,where k=1,2,3,...,n. so p=2k+1 --- subtract 1 from both sides,than p-1=2k 2n=p-1=2k so 2n=2k --- divide both sides by 2 n=k - so for every p prims there are n>=1,n natural , such that p=2n+1

- is this correct,right ?

Szerintem rendben van. A 2^-n hosszú diadikus intervallumok éppen az olyan tégláknak felelnek meg, amikor az első n koordinátában előírod valamelyik jegyet, a többi jegyet szabadon engeded, és a kétféle mértékük megegyezik. Ezek generálják a [0,1] szokásos Borel-struktúráját (lehet, hogy a végpontokkal kell egy kicsit maszatolni, ezt nem gondoltam végig, de úgyis csak megszámlálható sokan vannak, úgyhogy biztos minden oké). Úgyhogy a két Borel-mérték ugyanaz. Azon számok, ahol az átlag limesze létezik, nyilván Borel (beszélgetünk róla:P, egyébként valamelyik Borel-osztályba a limesz definíciója is belenyomja).

Így már OK, és valamikor tanultam is én a Carathéodory kiterjesztésről (nagyon rég volt), de a szorzatterekről nem. Fiam tanul most valszámot, ezért került elő ez a probléma. Ahhoz képest, hogy ez egyáltalán nem magától értetődő fogalom, elég lazán odavetik hogy a vv-k számtani közepe erősen konvergál. Persze mivel nem tanult mértékelméletet, nem is tudta ezt értelmezni (szerintem nem volt vele egyedül). Egyébként mi a véleményed a [0,1] intervallum 2-edes törtjeinek jegyeiről? Igaz amit arról írtam?

Carathéodory kiterjesztési tétele (Carathéodory's extension theorem) néven találsz a wikin egy szócikket, talán segít megérteni.

Nagyjából arról van szó, hogy ha van egy előmérték egy bizonyos tulajdonságokat kielégítő halmazon (a téglák halmaza ilyen), akkor az kiterjed mértékként a generált -algebrára. A szorzattéren a bázis-nyílt halmazok definíció ('szorzattopológia') szerint a téglák, vagyis az általuk generált -algebra éppen a szorzattér Borel-algebrája.

,,Kicsit meglepő, hogy ennyi elég legyen bonyolultabb halmazok mértékének meghatározásához, mert amint írod, ennyiből egyértelműen terjeszthető ki a mérték (...).'' Természetesen messze nem lesz minden részhalmaz mérhető (még akkor sem, ha teljessé tesszük úgy, hogy minden nullmértékű halmaz minden részhalmazát is nullmértékűnek vesszük, majd ismét kiterjesztünk). Egy 'kicsit' bonyolultabbakhoz elég a téglák halmaza, 'sokkal' bonyolultabbakhoz nem. De minden, amiről 'beszélni tudsz', mérhető lesz; nem mérhető halmaz definiálásához használnod kell a kiválasztási axiómát. És amiről 'beszélni tudsz', arról téglák segítségével beszélsz (aztán unió, metszet, komplementer, és beveted olykor a limeszt is, a megszámlálható végtelent is megfogva). Vagyis indulsz a (bázis-)nyíltakból, és generálod a Boreleket. Így már, remélem, nem annyira meglepő...

Ha jól értem azt írod, hogy pl. az érmedobálás esetén olyan "téglák" mértékét tudjuk közvetlenül meghatározni, amelyek elemei véges sok rögzített pozícióban reprezentálják a konkrét dobásokat, a többi pozícióban bármi lehet. Pl. egy ilyen tégla a fej, bármi, bármi,... sorozatokat tartalmazó tégla amelynek mértéke 1/2, vagy az írás, bármi, fej, bármi... aminek valószínűsége 1/4, stb. Kicsit meglepő, hogy ennyi elég legyen bonyolultabb halmazok mértékének meghatározásához, mert amint írod, ennyiből egyértelműen terjeszthető ki a mérték (erről tudnál pár szót írni? persze csak akkor, ha tényleg elintézhető pár szóban). Ha most fej-írás helyett 0-1 sorozatokat tekintünk, akkor ezek felfoghatók, mint a [0,1] valós intervallum számai 2-es számrendszerben felírt 2-edes vessző utáni jegyei. A kérdés, hogy az előbbi valószínűségi mérték, és a [0,1] intervallum Borel halmazainak szokásos Borel mértéke között mi az összefüggés. Szerintem ugyanaz. Ha ez így van, akkor a nagy számok erős törvénye értelmében az is igaz, hogy a [0,1] intervallum majdnem minden számának (Borel mérték szerint) 2-edes tört alakjában az 1-esek és 0-ák aránya 1/2-hez tart. Ezt nem tartom hihetőnek, úgyhogy valami nem stimmel.

Nagyon szépen köszönöm a választ. Egyelőre még emésztem, de tényleg ezzel volt a problémám. A gyenge konvergenciával igazából nem volt gondom, azt tudtam értelmezni. Azért leírom hogyan, hátha találsz benne valami tévedést: Véges direktszorzatra könnyen értelmezhetjük a mértéket a komponens halmazok mértékének szorzataként. Adott e-re és adott véges n-re az n hosszúságú sorozatok közül tekintsük azokat, amelyben a sorozat elemeinek számtani közepe a várható értéktől e-nél jobban eltér (nagyszám törvény). Ezek a sorozatok az n tagból álló direktszorzat térben egy maghatározott mértékű (valószínűségű) részhalmazt alkotnak. A gyenge konvergencia azt jelenti, hogy bármely pozitív e-re ez a mérték 0-hoz tart, ha az n végtelenbe tart.

Egyébként úgy tűnik, hogy a valszám oktatásban nagyvonalúan átsiklanak ezen probléma felett, pedig egyáltalán nem mindegy, hogy a vv-k összegét n változásával az egyre több tagból álló szorzattereken kell értelmezni. Ez csak számomra nem triviális, mindenki másnak pedig annyira, hogy szinte gáz szóba hozni? Szerintem egy lényeges dologról van szó, és attól tartok, hogy sokan egyszerűen nem is értik a nagyszám törvényeket.

A valószínűségi tér egy olyan mértéktér, amiben az egész tér mértéke 1.

A fej-érme esetben az X egy kételemű tér, melynek mindkét egyelemű részhalmaza 1/2 mértékű (valószínűségű). Mértéktereket lehet összeszorozni, de nemcsak véges sokat, hanem tetszőleges (halmaznyi) sokat is. Ha az Y az X megszámlálható sok példányának szorzata (Y pontjai a végtelen dobássorozatoknak felelnek meg), akkor Y-on értelmes a szorzatmérték, amit a következőképpen definiálunk.

Ha HY olyan tégla (vagyis , H_jX_j, X_j az X j. példánya), hogy véges sok koordinátájától eltekintve H_j=X_j, akkor , ahol P_j a j. koordinátában vett valószínűség (ez értelmes, hiszen valahonnantól kezdve minden tényező 1 a szorzásban). Ezekről a halmazokról P egyértelműen kiterjed a generált -algebrára, ami jelen esetben Y Borel-halmazainak rendszere.

Az általános definíció nagyon hasonló (véges sok kivételtől eltekintve a vetületnek a teljes direkt tényezőnek kell lennie), annyiban kell figyelni, hogy a H_j vetületeknek P_j-mérhetőnek kell lennie.