Fórum: Valaki mondja meg!

Ahhoz mennyi előkészületre van szükség (a definíciókkal együtt), hogy az xx² függvény Lebesgue-integrálját ki tudjuk számítani a [0,1] intervallumon?

Véleményem szerint ennél kevesebb vesződséggel jár a Dirichlet-függvényről megmutatni a definíciókból, hogy HK-integrálja 0.

Ha nem cél az absztrakt mértékelmélet tanulmányozása, a HK-integrál fogalma kifizetődőbben felépíthető, mint a Lebesgue-integrálé.

Szerintem nem olyan egyszerű ez az integrálfogalom, és inkább a mértékelmélet tárgyalása után érdemes foglalkozni vele.

Például próbáljuk integrálni a Dirichlet-függvényt, vagy a Cantor halmaz összes racionális eltoltja uniójának karakterisztikus függvényét a [0,1] intervallumban.

És nem okozza ez azt, hogy nehezebb bebizonyítani az alapvető tételeket rá, mint a Riemann-integrálra?

De ebben az esetben pontosan ezt gondolom. A HK-integrál éppoly természetes, ha vki először hallja, és nem csak elsős matematikusokra gondolok. A mögöttes tartalom pedig csupán annyi, hogy ha a függvény valahol csúnyán változik, akkor a téglalapos közelítőösszegeket is ennek megfelelően finomítsuk: egy igazi adaptív algoritmus.

Nem gondolhatod, hogy matematikában csak mert két dolog definíciója pofára hasonló, hasonlóan nehéz lesz megérteni a fogalmakat :) A Riemann integrál egy elsős matematikus számára könnyen érthető és természetes, míg ezen igen csak törnie kéne a fejét, és nem is biztos hogy rendesen megértené miről is van szó (és így az egész csak formális zúzás lenne neki).

Csak 1-2 morzsát írok, a többit az idézett oldalakon megadott összefoglaló könyvekből jól áttekintheted egy kis kutatómunka után.

Rejtély számomra, hogy a Henstock--Kurzweil-integrál (HK) miért nem vette át pl. az egyetemi tananyagban a Riemann-integrál helyét: a definíciók közötti különbség alig észrevehető, a nyereség viszont nagy. Ki és miért ennyire konzervatív?

A HK-integrál egyik hátránya, hogy (alapesetben) csak intervallumokon tudunk vele integrálni. Egy másik hátránya, hogy a HK-integrálható függvények tere nem teljes.

A Lebesgue-integrál (L) esetében a fenti teljesség teljesül: ez az alkalmazásokban döntően fontos tényező, ami a mérleget itt az L-integrál javára billenti. Az L-integrállal bonyolult halmazokon is lehet integrálni. Ezt az integrálfogalmat a valós számok halmazánál absztraktabb terekre könnyű kiterjeszteni.

A különféle integrálfogalmak fejlődését az alkalmazások motiválták: egy fontos elméleti/gyakorlati kérdés alapos tanulmányozásakor sokszor kifejlesztettek egy új integrálfogalmat.

Az idézett oldalon felsorolt integrálfogalmak nem feltétlenül összehasonlíthatók Venn-diagramon: más típusú (máshol értelmezett/más típusú térbe képező) függvényekre vannak kitalálva.

Köszi.

Nézegettem az enwikin és huwikin, hogy azért van bőven egyéb, Riemann-tól eltérő integrál definíció. Elolvastam az enwiki: Henstock-Kurzweil integral cikket, ahol azt állítják, hogy általánosabb, több függvényre használható, mint a Lebesgue-integrál, ami pedig a Riemann kiterjesztése.

A kérdésem az, hogy mi az oka annak, hogy ha már adott egy olyan értelmezés, ahol az eddig is értelmezett integrálokat ugyanúgy lehet számolni, mint eddig és értelmet ad olyan integráloknak, amelyeket addig nem tudtunk értelmezni és mégsem az az alapértelmezettnek vett integrál definíció, miért nem azt tanítják?

Nem tudsz egy Venn-diagramos vagy hierarchiás fa-gráfos összefoglalót az összes integrál-definícióval és azok kapcsolatairól? Egy ilyen ábrán azonnal látszódnának bárkinek hogy hogyan viszonyulnak egymáshoz, anélkül hogy végigolvasná őket egyenként és saját maga építené fel a fejében a kapcsolatokat.

Természetesen értelmezhető az ilyen "+--típusú" integrál szimmetrikus módon is, ahogyan írtad, ezt hívják Cauchy-féle főértéknek, és pl. a szimbólummal jelöljük.

De ha a közönséges, (improprius értelemben vett) Riemann-integrálról van szó, akkor a szóban forgó kifejezést nem definiáljuk.

Mindezzel csak arra szerettem volna rámutatni, hogy milyen nehéz vállalkozás igazi, "felhasználóbarát" határozatlanintegrál-táblázatot csinálni: a felhasználó ki szeretne számolni egy határozott integrált, mint pl. az [1840]-es hozzászólásban szereplő háromparaméteres kifejezést, úgy, hogy csak be kelljen helyettesítenie az F(b)-F(a) képletbe, és ne neki (hanem a táblázat készítőjének) kelljen azzal törődnie, hogy a képlet helyes eredményt adjon, figyeljen az értelmezési tartományokra, vagy hogy pl. fellép-e a fent is említett +- eset.

Szerintem jobb nem értelmezni az ilyen +végtelen-végtelen típusú integrálokat, csak a baj lenne velük. Szerintem nem is szokták, hiába szimmetrikus.

Két különböző területet számoltunk. Nem ugyanazt kétféleképpen.

Azon részével "nem értek egyet", hogy az egyik határt -nak, a másikat meg 2-nak határoztad meg. Én alapértelmezetten azonosnak venném a kettőt. Szimmetrikusan kezelném a területszámítást, ameddig egy adott konkrét példánál elő nem kerülne, hogy a két oldalon más-más határnál szűnik meg az 1/x-es függés. Mert ugye egy ilyet csak konkrét határok figyelembevételével lehetne kiértékelni. Ezen utosó mondatomból is következik, hogy a processzor tudja, hogy milyen értékre számol területet, vagy ha csak elkezdi a vakvilágba, akkor is tudja számolni, hogy hányadik lépésnél tart, ergo a két proci össze tudja hasonlítani, hogy melyikőjük hol tart.

Szerintem a megoldás: Vagy jelöljük mindig konkrétan, hogy mit értünk alatta vagy elfogadunk egy értelmezést alapértelmezettnek és a többit jelöljük külön. (Szerintem a szimmetrikus eléggé adja magát.)