Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1897] w	2013-10-06 09:06:07
Melyik feladat bizonyításához akarod ezt felhasználni?
Előzmény: [1888] Sinobi, 2013-10-05 13:15:24

[1896] w	2013-10-06 09:02:37
Aha. Jó, akkor racionálisokra legalább már működik :).
Előzmény: [1895] Sinobi, 2013-10-06 00:23:47

[1895] Sinobi	2013-10-06 00:23:47
d is, és a1-A1/N is 1/N közelében vannak. Ez így nem lesz jó.
Előzmény: [1894] w, 2013-10-05 22:43:17

[1894] w

2013-10-05 22:43:17

Ha valaki talál hibát, szóljon, még kezdő vagyok ebben a műfajban.

Nézzük először racionális számok esetén.

Legyenek a számok (bővített nevezővel): $\frac{A_i}N$ i=1,2,...,n. Ezekhez egy olyan d-t fogunk megadni, melyre $d=\frac1N+\phi$ . A $\phi$ >0 számot később fogjuk megadni.

Ugyanis ekkor $\frac{A_i}N=A_i\cdot (\frac1N+\phi)-A_i\phi=A_id-A_i\phi$ . Azt szeretnénk, hogy $\frac{A_i}N$ mod d, azaz d-A_i $\phi$ akármilyen közel legyen a d-hez, vagyis

$\frac{d-A_i\phi}d=1-\frac{A_i\phi}{\frac1N+\phi}>1-\epsilon$

akármilyen kicsi $\epsilon$ >0 esetén fennállhasson, alkalmas $\phi$ esetén. Azaz minden pici $\epsilon$ -hoz létezik olyan $\phi$ , hogy ... Kifejezzük $\phi$ -t:

$\frac{NA_i\phi}{1+N\phi}<\epsilon$

NA_i $\phi$ < $\epsilon$ + $\epsilon$ N $\phi$

N $\phi$ (A_i- $\epsilon$ )< $\epsilon$

$\phi<\frac{\epsilon}{N(A_i-\epsilon)}$

Tehát ekv. egyenlőtl. miatt minden $\epsilon$ -hoz van olyan $\phi$ , hogy. Ugyanis véges sok egyenlőtlenséget vezettünk le, i=1,2,...,n-re.

Például, ha kapom, hogy $\frac26$ , $\frac36$ , $\frac56$ , $\frac86$ , akkor mondjuk $\epsilon$ =0.1-hez $\phi$ =0,002 jó választás lesz.

Amikor irracionális számokkal dolgoztam, akkor iszonyatos pontossággal közelítek. Azaz, veszek akármilyen nagy pontosságot minden a_i esetén --> p_i/q_i rac. számok, de ezek pedig a nevezőket bővítve A_i/(lkkt(q_i)) alakúak lesznek, amire lezúzom a fenti számolást. Mivel nagyon pontos vagyok, ezért ez a közelítés elhanyagolható $\epsilon$ és $\phi$ -hez képest.

Előzmény: [1891] Sinobi, 2013-10-05 20:46:03

[1893] Róbert Gida	2013-10-05 21:08:55
$(1-\frac{const}{q^{\frac 1n}})n$ és $\varepsilon$ _i=qx_i-p_i akart lenni, és persze nálam is d alakja speciális $d=\frac 1q=\frac 1N$ ( w jelölésével).
Előzmény: [1892] Róbert Gida, 2013-10-05 20:54:21

[1892] Róbert Gida

2013-10-05 20:54:21

Amit te írsz az egy x-re működik. Több x-nél, már lehetséges, hogy a nagyon jól közelítő nevezők teljesen mások, nincs egy nagyon jól közelítő azonos nevező.

Szimultán approximációnak nevezik a problémát, lásd http://www.shunjiito.com/paper/49109yasutomi1030.pdf (introduction első 5 sora).

ezzel (az egyébként trivi) állítással úgy nézem, hogy $(1-\frac {const}{d^{\frac 1n}})*n$ jön ki jobb oldalra az eredeti (n-1) helyett.. (itt a konstans már csak n-től függ). Amiben kell még szórakozni az eredeti bizonyításnál, hogy neked az kell, hogy $\epsilon$ _i=d*x_i-p_i nem csak, hogy kicsi, hanem még negatív is (itt p_i egész).

Előzmény: [1890] w, 2013-10-05 14:30:26

[1891] Sinobi	2013-10-05 20:46:03
Ezt nem teljesen értem. Az N-et honnan kapod meg? Tetszőleges N-re, azaz minden d=1/N(+ $\phi$ )-re szerintem ez nem igaz. (vagy nem látom, hogy $\phi$ -re minek kell teljesülnie). (Majd 10.-e után több időm lesz ezzel foglalkozni.)

[1890] w

2013-10-05 14:30:26

Szerintem igaz lesz. Tehát az a kérdés, hogyha a₁,a₂,...,a_n>0 valós számok, létezik-e olyan d>0 valós, mellyel

$\sum_{i=1}^n r_i(d)^2>(n-1)d^2.$

Itt r_i(d) $\in$ [0;d) az a valós szám, melyhez létezik k egész szám, mellyel a_i=kd+r_i(d) $\forall$ i=1,2,...,n.

Most ezt először átrendezzük, hogy átlássuk a szerkezetét:

$\sum_{i=1}^n \left(\frac {r_i(d)}d\right)^2>n-1,$

azaz nekünk jó közel kell hoznunk a $\frac{r_i(d)}d$ hányadosokat az 1-hez, de úgy, hogy az 1-et még ne érjük el.

A megoldási ötletem az volna, hogy tfh. 0<a₁ $\le$ a₂ $\le$ ... $\le$ a_n, és csináljunk racionális approximációt: $a_i\in\left(\frac{A_i}N-\epsilon;\frac{A_i}N+\epsilon\right)$ legyen $\forall$ i, ahol N, A_i egészek. Vegyük $d:=\frac1N+\phi$ -t, ekkor a_i<A_id, a_i/d<A_i kellene nekünk, ahol a_i/d nagyon közel van A_i-hez. De $a_i/d\approx\frac{A_i/N}{1/N+\phi}$ , így ez talán jó lesz, hisz $\epsilon$ , $\phi$ >0 akármilyen kicsi, de egymáshoz képest akármilyen nagy. (Rendesen le kellene tisztítani határértékügyileg, ez még elvi hibás is lehet.)

Előzmény: [1888] Sinobi, 2013-10-05 13:15:24

[1889] Sinobi	2013-10-05 13:18:56
*pozitív valós számok esetén.
Előzmény: [1888] Sinobi, 2013-10-05 13:15:24

[1888] Sinobi

2013-10-05 13:15:24

Igaz-e, hogy minden nemnegatív a1, a2, ... an valós számok esetén létezik olyan d valós szám, hogy $\sum (ai~mod~d)^2~>(n-1) \cdot d^2$ ? (a modulo pozitív értéket ad vissza). Ebből már következne egy másik állítás, amiből egy megint másik, amiből a feladat, de ez ehhez hozzá se tudok nyúlni, nem is látszik igaznak :( Van valakinek ötlete? Másik becslése, ellenpéldája, stb?

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?