Fórum: Valaki mondja meg!

Köszönök minden választ, sokat segített.

Az általános esetben is van nevük: többszörösen tökéletes szám, lásd

&tex;\displaystyle http://en.wikipedia.org/wiki/Multiply\_perfect\_number&xet;

Az &tex;\displaystyle n&xet; szám osztóinak összege osztva &tex;\displaystyle n&xet;-el (azaz az átlaguk) épp megegyezik az osztók reciprokösszegével. Ha ez a szám 2, akkor &tex;\displaystyle n&xet; tökéletes szám.

Ilyen szám például a 6.

Valaki mondja meg! Vegyük egy tetszőleges természetes szám osztóit. Lehet-e ezek reciprokösszege egész szám? (Persze nem számítva azt az esetet, hogy csak magát az 1-et vesszük.

Köszönöm a gyors válaszokat! Egyébként valóban ez volt a cél. Közvetetten meg a &tex;\displaystyle \frac{\sin \pi z}{\pi}=z\prod_{n=1}^\infty \Big(1-\frac{z^2}{n^2}\Big)&xet;.

Szerintem ez inkább az ellenkező irány. A &tex;\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{z-n}&xet; összeg tagjait azért vonjuk össze kettesével, hogy konvergens legyen. (A korlátosság meg azért fontos, hogy a Liouville-tételt alkalmazhassuk az &tex;\displaystyle \frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}-\pi\ctg(\pi z)&xet; függvényre.)

Frappáns.

Én már parciális törtekre bontottam:

&tex;\displaystyle \sum \frac{1}{z-n}+\sum\frac{1}{z+n} &xet;

Aztán integráltam: &tex;\displaystyle \sum \ln(z^2-n^2)'&xet;

Legyen &tex;\displaystyle z=x+yi&xet;, ahol tehát &tex;\displaystyle |x|\le\frac12&xet; és &tex;\displaystyle |y|>1&xet;.

&tex;\displaystyle |z| < |x|+|y| < 2|y| &xet;

és

&tex;\displaystyle |z^2-n^2| \ge {\rm Re}(n^2-z^2) = n^2+y^2-x^2 \ge y^2+n^2-\frac14 > \frac12(y^2+n^2), &xet;

így

&tex;\displaystyle \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2} \right| \le \sum_{n=1}^\infty \frac{2|z|}{|z^2-n^2|} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{8|y|}{y^2+n^2} < \int_0^\infty\frac{8|y|}{y^2+t^2} {\rm d}t = 4\pi. &xet;

Sziasztok!

Lehet nagyon nyilvánvaló, amit kérdezek, de valahol valamit elnézhetek rajta.

&tex;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2}&xet; miért korlátos az Im&tex;\displaystyle (z)>1&xet; és Re&tex;\displaystyle (z)\leq 1/2&xet; halmazon?

Előre is köszönöm!