 &tex;\displaystyle D:=(A\cup B\cup C)^c&xet;, ekkor &tex;\displaystyle {P}(D)=1-p-q-r&xet;. Ekkor lényegében egy 4 oldalú cinkelt "kockával" dobunk. Legyen a keresett valószínűség &tex;\displaystyle R_n&xet;. Feltételezzünk arra, hogy az első dobás, amikor &tex;\displaystyle D&xet;-től különbözőt dobunk, &tex;\displaystyle k&xet;, legyen ez az esemény &tex;\displaystyle S_k&xet;, és a &tex;\displaystyle k&xet;-ik dobás &tex;\displaystyle X_k&xet;, a függetlenséget használva adódik, hogy:
&tex;\displaystyle
P(S_k)=P\left(X_{k}\neq D\cap\bigcap_{j=1}^{k-1}X_j=D \right)=P(X_k\neq D)\prod_{j=1}^{k-1}P(X_j=D)=(1-p-q-r)^{k-1}(p+q+r)
&xet;
Ebből a nekünk megfelelő eset az, amikor &tex;\displaystyle A&xet;-t dobunk, így az &tex;\displaystyle A&xet;, &tex;\displaystyle B&xet;, &tex;\displaystyle C&xet; események páronként kizáró volta miatt: miatt:
&tex;\displaystyle
P(S_k\cap X_k=A)=P\left(X_{k}=A\cap\bigcap_{j=1}^{k-1}X_j=D \right)=P(X_k=A)\prod_{j=1}^{k-1}P(X_j=D)(1-p-q-r)^{k-1}p
&xet;
Vagyis &tex;\displaystyle n&xet; dobás esetén, alkalmazva a mértani sor összegképletét:
&tex;\displaystyle
P(R_n)=\sum_{i=1}^nP(S_i\cap X_i=A)=p\sum_{i=0}^{n-1}(1-p-q-r)^{i}
=p\frac{1-(1-p-q-r)^n}{p+q+r}
&xet;
Ha &tex;\displaystyle p,q,r>0&xet;, akkor &tex;\displaystyle n\to\infty&xet; esetén a keresett valószínűség tart &tex;\displaystyle \frac{p}{p+q+r}&xet;-hez. (és nem okoz problémát, ha &tex;\displaystyle p+q+r=1&xet;).
| 
