Fórum: Valaki mondja meg!

Itt a képlet arra, ha 6 narancssárga, 12 kék és 18 zöld gyöngy van. A legnagyobb közös osztó 6. A tagok a 18 szög azon szimmetriáinak felelnek meg, amelyek rendje 6 osztója, 6 a lnko. A kombinatorikus tag együtthatója minden \(\displaystyle d\) osztóra \(\displaystyle \varphi(d)\). A 36-os együttható a tükrözéseknek felel meg. Így valóban csak \(\displaystyle d(n)+1 \) tag van.

\(\displaystyle \frac{ \binom{36}{18}\cdot\binom{18}{12} +\binom{18}{9}\cdot\binom{9}{6} + 36\cdot \binom{18}{9}\cdot\binom{9}{6} + 2 \cdot \binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2} + 2 \cdot \binom{12}{6}\cdot\binom{6}{4} }{72} = \\ \frac{\frac{36!}{6!\cdot 12!\cdot 18!} + 37\cdot \frac{18!}{9!\cdot 6!\cdot 3!} + 2 \cdot \frac{6!}{3!\cdot 2!} + 2 \cdot \frac{12!}{6!\cdot 4!\cdot 2!}}{72} = \\ \frac{168\,470\,811\,709\,200 + 37\cdot4\,084\,080 + 2\cdot13\,860 + 2\cdot60}{72} = \\ 2\,339\,874\,484\,000 \)

Ehhez meg kell számolni a különböző szimmetriák fixpontjait és beszorozni egy kombinatorikusan kapott együtthatóval. Itt tükrözések, forgatások és identitás jön szóba. Találtam a neten egy példát

http://m.cdn.blog.hu/kr/krisztikt/image/altalam_keszitett.pdf

26.oldal

Közben itt egy másik feladat, mértan, mind körben forgok vele, mintha nem lennének elegendők az adatok, van e valami tippetek:

Igen Sinobi, Én is kíváncsi lennék ennek a változatnak a megoldására, mert itt nem lehet állítani, hogy látszik, meg stb. Ezért várok egy olyan megoldást, ami általában is érvényes, ilyen nagy számokra is, amit írtál.

Kedves jónás, becsülöm és csodálom a türelmedet, hogy a sok esetet végig elemezted, de szerintem ez túl nyűgös megoldás. Én egy ismétléses permutációkkal történő megoldásra vadászok.

Kedves csábos! Ebben a képletben valami nem stimmel, mert (3,5)=1 (a 3 és 5 lnko=1)de 1+2 nem adja a megoldások számát ami nagy bizonnyal 5. Vagy tévedek?

Általános képlet van erre, de nehezebb mint egy egyszerű formula. Függ a gyöngyök számától is. Ha a gyöngyök számának legnagyobb közös osztója \(\displaystyle n\) akkor a formulában \(\displaystyle d(n)+2\) tag van, ahol \(\displaystyle d(n)\) az \(\displaystyle n\) szám osztóinak számát jelöli.

Keressük meg az összes lehetőséget, majd találjuk meg köztük az egyformákat.

Az egyszerűség kedvéért csökkentsük a lehetőségek számát a következőképpen. 3 piros és 5 fehér gyöngyöd van, ezért biztosan van valahol két fehér gyöngy egymás mellett úgy, hogy utána közvetlenül piros gyöngy van. Fűzzük ezért föl a karkötőket először nyitva egy irányított madzagra úgy, hogy a piros gyöngy legyen elől, a két fehér hátul. Csak tíz lehetőség marad (a fehér gyöngyöt jelölje u, a pirosat P):

PPPuuuuu, PPuPuuuu, PPuuPuuu, PPuuuPuu, PuPPuuuu, PuPuPuuu, PuPuuPuu, PuuPPuuu, PuuPuPuu, PuuuPPuu

De ezek között vannak olyanok, amik csak ciklikus eltolásban és esetleg tükrözésben különböznek, ezért gyöngysorként azonosnak kell tekinteni őket. Lehet, hogy ránézésre is meg tudod mondani, hány különböző van. Ha nem, akkor pontosan a következőképpen kell eljárni. Mindegyik nyitott gyöngysorhoz állítsd elő a 16 lehetséges ciklikus eltolását esetleg tükrözve, majd keresd ki ezek közül a lexikografikusan legkisebbet, amit a gyöngysor kanonikus formájának tekinthetünk.

Ebből látható, hogy pontosan öt különböző gyöngysor van:

PPPuuuuu, PPuPuuuu, PPuuPuuu, PuPuPuuu, PuPuuPuu

Kedves csábos és Mihály! Köszönöm a válaszokat! Kiderült tehát annyi, hogy a 8-cal való osztás nem helyénvaló. Ok, elmondom, hogyan gondolkodtam: mindenki tudja, hogy n személyt egy kerekasztal körül n!/n= (n-1)! módon lehet elhelyezni, ez az n elem cirkuláris permutációja, az n-el való osztás logikus. A mi esetünkben ismétléses permutációról van szó, aminek a P(m,n)=(m+n)!/m!×n! képletét a nem ismétléses permutációból vezettük le. Ezen tűnődöm, hogy ha a nem ismétléses permutációra a cirkuláris esetben van képlet, akkor miért nincs az ismétléses permutáció esetén is a cirkuláris változatra, legalábbis ezt kerestem, mert sehol sem láttam. Tehát tudna e valaki mondani olyan képletet, ami ismétléses permutációhoz kapcsolódik, és amellyel ezeket a gyöngyös feladatokat meg lehet oldani általános formában, mert biztosan kell létezzen ilyen képlet, megoldás, mert nem lehet az, hogy empirikusan, próbálgatásokkal oldjuk meg az ilyen feladatokat. Üdv: epsilon

Mennyire nehéz?

És, hogy célszerű megoldani az 5000 fehér, 3000 piros esetet?