Az adatok mindenképpen elegendőek, mert a megadott szögek hasonlóság erejéig meghatározzák az ábrát.
Ilyen feladatoknál mindig szokott lenni
(1.) valami kedves kreatív szerkesztés, ami a szög megsejtése után nagyon elemi megfontolásokkal vezeti le annak nagyságát (sokszor pakolnak valahova szabályos háromszöget, vagy használják, hogy egy háromszög szögfelezői egy ponton mennek át),
(2.) egy szabályos \(\displaystyle 18\)-szög, aminek néhány átlójának egy ponton való áthaladásával ekvivalens a feladat.
A legegyszerűbb és legkönnyebb módszer azonban (3.) a szinuszarányokkal való számolás szokott lenni. A következő képletet használjuk: ha \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle D\) egy pont a \(\displaystyle BC\) oldal belsejében, akkor
\(\displaystyle
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{\sin BAD\angle}{\sin DAC\angle}.
\)
Ez a képlet az \(\displaystyle ABD\triangle\) és \(\displaystyle ACD\triangle\) szinusztételeinek leosztásából adódik.
A feladat megoldása. Mivel \(\displaystyle BAC\angle = 20^\circ\), ezért \(\displaystyle EB=EA\), ahonnan \(\displaystyle BEF\angle=x\) és \(\displaystyle FEA\angle=y\) esetén \(\displaystyle x+y=140^\circ\), továbbá
\(\displaystyle
\frac{BF}{FA}=\frac{EB}{EA}\cdot \frac{\sin BEF\angle}{\sin FEA\angle}=\frac{\sin x}{\sin y}
\)
és a szinusztétel szerint
\(\displaystyle
\frac{BF}{FA}=\frac{CB}{CA}\cdot \frac{\sin BCF\angle}{\sin FCA\angle}=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 80^\circ}\cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{\sin 20^\circ\cos 40^\circ}{4\sin 20^\circ\cos 20^\circ\cos40^\circ\cdot \frac 12}=\frac{1/2}{\cos 20^\circ}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}.
\)
Tehát
\(\displaystyle
\frac{\sin x}{\sin y}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}.
\)
Ebből \(\displaystyle x+y=140^\circ\) miatt \(\displaystyle x=30^\circ\), \(\displaystyle y=110^\circ\) következik.
//Ugyanis \(\displaystyle x+y=140^\circ\) feltételt rögzítve, \(\displaystyle x\) növelésével, \(\displaystyle y\) csökkentésével \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}\) is növekszik. Ezt úgy láthatjuk, ha felveszünk egy \(\displaystyle AOB\angle=140^\circ\)-os szögtartományban egy \(\displaystyle P\) pontot az \(\displaystyle AB\) szakaszon; ekkor \(\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}=\frac{d(P,AO)}{d(P,BO)}\), ha \(\displaystyle PO\) az \(\displaystyle AO\)-val és \(\displaystyle BO\)-val rendre \(\displaystyle x,y\) szöget zár be. Ha \(\displaystyle x\) nő és \(\displaystyle y\) csökken, \(\displaystyle d(P,AO)\) nő és \(\displaystyle d(P,BO)\) csökken, így az arány nő.//
|