Fórum: Valaki mondja meg!

A 4-eshez a következőképpen kezdj hozzá. A függvény \(\displaystyle x \) argumentumát próbáld meg a 3. feladatban leírt módon felírni. Ha semmilyen \(\displaystyle p, q, r \) racionális számokra nem teljesül \(\displaystyle x = pA + qB + r \), akkor legyen \(\displaystyle f(x) = 0 \). Ez még nem rontja el, hogy a függvénynek \(\displaystyle A \) periódusa, mert ha \(\displaystyle x \) nem írható föl így, akkor \(\displaystyle x + A \) sem, ezért \(\displaystyle f(x + A) = 0 \). Ha van \(\displaystyle x = pA + qB + r \) megoldás, akkor a \(\displaystyle p, q, r \) számokból add meg valahogy \(\displaystyle f(x) \) értékét. Mit kell csinálni ahhoz, hogy \(\displaystyle f(x) = f(x + A) \) teljesüljön? Hogyan lehet elrontani az \(\displaystyle 1 \) periódust?

Az 5. feladathoz a következőt gondold át. Ha az \(\displaystyle f, g \) függvények minden valós számon értelmezve vannak, és mindkettő \(\displaystyle A \)-val periodikus, akkor mit mondhatsz az \(\displaystyle f + g \) függvényről? Ha \(\displaystyle f \) periodikus \(\displaystyle B \) periódussal, de \(\displaystyle g \) nem, akkor mit mondhatsz az \(\displaystyle f + g \) függvényről?

köszi a segítséget Jónás! A 4.-re és az 5.-re nincs elképzelésem. A bónuszfeladaton gondolkozok.

Elfelejtettem mondani, hogy a 2. állításra is van elemi és számosságos bizonyítás is, és itt is elég csak az egyik a te kérdésedhez.

Hadd próbáljalak rávezetni.

1. Bizonyítsd be, hogy létezik irracionális szám. Erre két ismert bizonyítás is van: az elemi és a számosságos. A te kérdésedhez elég csak az egyik bizonyítást ismerni, de hosszú távon hasznos mindkettőt tudni.

2. Bizonyítsd be, hogy létezik két valós szám \(\displaystyle A, B \) úgy, hogy \(\displaystyle A, B, 1 \) lineárisan független a racionális számok fölött, vagyis bármely \(\displaystyle p, q, r \) racionális számokra ha \(\displaystyle pA + qB + r = 0 \), akkor \(\displaystyle p = q = r = 0 \).

3. Ha rögzítettek az \(\displaystyle A, B \) számok a fenti tulajdonsággal, akkor lásd be, hogy bármely \(\displaystyle x \) valós számot legfeljebb egyféleképpen lehet \(\displaystyle x = pA + qB + r \) alakban felírni úgy, hogy \(\displaystyle p, q, r \) három racionális szám legyen.

4. Adott \(\displaystyle A, B \) számokhoz a fenti tulajdonsággal konstruálj egy olyan \(\displaystyle f \) valós-valós függvényt, hogy \(\displaystyle f \)-nek periódusa \(\displaystyle A \) és \(\displaystyle B \) is, de \(\displaystyle 1 \) nem periódusa. Hasonlóan konstruálj egy olyan \(\displaystyle g \) valós-valós függvényt, aminek \(\displaystyle A \) és \(\displaystyle 1 \) periódusai, de \(\displaystyle B \) nem; és egy \(\displaystyle h \) valós-valós függvényt, aminek \(\displaystyle B \) és \(\displaystyle 1 \) periódusa, de \(\displaystyle A \) nem.

5. Ha adott három függvény \(\displaystyle f, g, h \) a fenti tulajdonságokkal, akkor rakj össze belőlük két valós-valós függvényt \(\displaystyle u, v \) néven úgy, hogy \(\displaystyle u \)-nak \(\displaystyle A \) periódusa de \(\displaystyle B \) nem periódusa és \(\displaystyle 1 \) sem periódusa; \(\displaystyle v \)-nek \(\displaystyle B \) periódusa de \(\displaystyle A \) nem periódusa és \(\displaystyle 1 \) sem periódusa; \(\displaystyle u + v \)-nek \(\displaystyle 1 \) periódusa de \(\displaystyle A \) nem és \(\displaystyle B \) sem.

Ezek együtt elvileg megválaszolják a kérdésedet. Ha nem elég, akkor mondjad, hogy hol akadtál el. Ha mind megvan, akkor bónusznak javaslom az egyik kedvenc feladatomat.

6. Igazold, hogy van olyan ponthalmaz az egységnégyzetben, ami bármely a négyzet bármely oldalával párhuzamos (vízszintes vagy függőleges) egyenest csak véges sok pontban metsz, viszont a négyzeten mindenütt sűrű (vagyis bármely tengyelypárhuzamos téglalapot, ami teljesen a négyzeten belül helyezkedik el, legalább egy pontban metsz).

Igen. Pl. ha mind a két függvény konstans.

Van két periodikus függvény, periódusuk aránya irracionális. Lehet-e a két függvény összege periodikus?

Azért a poliédertől elvárom, hogy ne legyen szimmetrikus, és a három gömb középpontja ne legyen egybeeső.

Van-e olyan 5 csúcsú poliéder, amelynek nincs 4 olyan csúcsa, amelyek egy síkban lennének, és van kívül írt gömbje, és van beírt gömbje, és van éleit érintő gömbje?

Üdv mindenkinek. Segítségre lenne szükségem, mert elmerültem egy dologban. Arról van szó, hogy sin(f(x+y)=sin(f(x)+f(y)) minden x, y VALÓS számra, ahol f(x) egy valós, mindenütt folytonos függvény az R-ből az R-be. A fenti egyenletből következik-e, hogy f(x+y)=f(x)+f(y)+2nPi minden x, y VALÓS számra, vagy f(x+y)=-f(x)-f(y)+(2n+1)Pi minden x, y VALÓS számra? Vagyis továbbvíve a gondolatot, ha f folytonos, akkor az f(x+y)=f(x)+f(y)+2nPi Cauchy egyenlet összes folytonos megoldásai f(x)=ax+b alakú, továbbá az f(x+y)=-f(x)-f(y)+(2n+1)Pi egyenlet összes megoldása f(x)=kPi. A kérdés tehát: Ha sin(f(x+y)=sin(f(x)+f(y)) minden x, y VALÓS számra, f mindenütt folytonos, akkor biztosan igaz-e, hogy f(x)=ax+b, vagy f(x)=kPi? Vagy van arra ellenpélda, hogy bizonyos esetekben az egyik függvényegyenlőség igaz, más esetben a másik, de f mégis folytonos mindenütt? Nem sikerül szerkesztenem ilyen ellenpéldát. Ugyanez a kérdésem lenne cos(f(x+y)=cos(f(x)+f(y)) minden x, y VALÓS számra, ha f mindenütt folytonos. Előre is köszönöm a válaszotokat!

Nagyon izgalmas filozófiai kérdés, hogy egy választási rendszer eredménye ,,tükrözi-e a választói akaratot” avagy a választási rendszer „igazságos-e”, de nem könnyű az ilyen kérdéseknek matematikai tartalmat adni.

Tetszőleges választási rendszer esetén általában nagyon könnyű olyan szavazat eloszlást mutatni, ami mellett az adott rendszer igazságtalannak tűnik. Ezen még az sem segít, ha előre megadjuk, milyen kritériumoknak kell megfelelnie egy választási rendszernek és csak utána próbáljuk meghatározni az eljárást. A leghíresebb ilyen negatív eredmény az Arrow-paradoxon, de sokkal egyszerűbb példával is illusztrálhatjuk a „nehéz igazságos választási rendszert csinálni” állítást.

Tegyük fel, hogy példádhoz hasonlóan listákról akarunk kiosztani \(\displaystyle M\) mandátumot. Induljon \(\displaystyle N\) párt a választáson, és az \(\displaystyle i.\) kapjon \(\displaystyle s_i\) szavazatot. Tegyük fel, hogy a választás eredménye az, hogy a \(\displaystyle P_i\) párt \(\displaystyle m_i\) mandátumot nyert és \(\displaystyle \sum m_i = M\). Az egyetlen, amit szeretnénk elvárni a választási rendszertől, hogy ha \(\displaystyle s_i \ge s_j\), akkor \(\displaystyle m_i \ge m_j\) is igaz legyen.

Legyen most \(\displaystyle M = 2\), \(\displaystyle N = 12\), és a pártokra leadott szavazatok sorban: \(\displaystyle (2,2,1,1,1,1,1,1,1,1)\). Feltételünk szerint az egyetlen megengedett eredmény, hogy \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) nyer 1-1 mandátumot, a többiek pedig semmit. Ez viszont azt jelenti, hogy az aktív választók kétharmadának egyetlen képviselője sem lesz, amit nehéz igazságosnak tekinteni. Itt az „igazságtalanságot” talán inkább a mandátumok oszthatatlansága okozza, és nem valamilyen a rendszerbe beépített trükk.

A példádban említett eljárás neve d'Hondt módszer, és ez egy érdekes cikk róla. A Wikipédia szócikkben egy online kalkulátor is linkelve van, amivel lehet kísérletezgetni.