 Feltesszük, hogy a,b és c között van két különböző.
Jelölje H(x) a szóban forgó függvényt. Nyilván H(x)>0
Felhasználjuk, hogy ha f(t) és g(t) pozitív függvények,akkor
\(\displaystyle f(t)^{g(t)}=e^{g(t)\ln f(t)}\)
Először tegyük fel, hogy \(\displaystyle x\neq0\). Ekkor
\(\displaystyle H^{'}(x)=\bigg({{\bigg(\frac{a^x+b^x+c^x}3\bigg)}^{\frac1x}}\bigg)^{'}={{\bigg(\frac{a^x+b^x+c^x}3\bigg)}^{\frac1x}}\cdot\frac{\frac3{a^x+b^x+c^x}\frac{a^x\ln a +b^x\ln b+c^x\ln c}3x-\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}}{x^2}\)
\(\displaystyle H^{'}(x)=\frac{H(x)}{x^2}\bigg(\frac{a^x\ln{a^x}+b^x\ln{b^x}+c^x\ln{c^x}}{a^x+b^x+c^x}-\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}\bigg)\)
Az \(\displaystyle f(t)=t\ln t\) (t>0) függvény második deriváltja pozitív, azaz a függvény konvex. Ezért tetszőleges \(\displaystyle t_1,t_2,t_3\) pozitív számra
\(\displaystyle \frac{t_1\ln{t_1}+t_2\ln{t_2}+t_3\ln{t_3}}3\geq\frac{t_1+t_2+t_3}3\ln\frac{t_1+t_2+t_3}3\)
Ezt alkalmazva az \(\displaystyle a^x,b^x,c^x\) számokra
\(\displaystyle \frac{a^x\ln{a^x}+b^x\ln{b^x}+c^x\ln{c^x}}{a^x+b^x+c^x}\geq\ln{\frac{a^x+b^x+c^x}3}\)
Ebből azonnal következik,hogy \(\displaystyle H^{'}(x)\geq0\), azaz H(x) monoton növekvő.
De \(\displaystyle x\neq0\) esetén \(\displaystyle H^{'}(x)>0\) is teljesül, hiszen egyenlőség csak a=b=c esetén lehetne, amit most kizártunk, azaz H(x) szigorúan monoton nő.
Egy kis számolással - mondjuk L'Hospital - adódik, hogy H(x) a 0-ban folytonossá tehető ( határértéke \(\displaystyle \root 3\of {abc}\))
A fentiekből következik, hogy H(x) szigorúan monoton nő.
| 
