Fórum: Valaki mondja meg!

A következő kérdések megválaszolásaban kérek segítséget:

-Lehet-e egy csoportban két primitív gyök szorzata primitív gyök?

-Van-e olyan sor, amelyről hányadoskritériummal el lehet dönteni, hogy konvergens vagy divergens, de gyökkritériummal nem lehet eldönteni? Van-e olyan sor, amelyről gyökkritériummal el lehet dönteni, hogy konvergens vagy divergens, de hányadoskritériummal nem lehet eldönteni?

Előre is köszönök minden segítséget.

jav:

> akkor C kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák

Helyett: akkor C \(\displaystyle a'_i C b'_j\) alakú kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák

2. Legyen inkább \(\displaystyle A,B \leq G\), és \(\displaystyle C = A \cap B\), és akkor nem kell alsóindexezni.

A feladat valami olyasmit mond, hogy ha \(\displaystyle A, B \leq G\), akkor ha \(\displaystyle A B = \{a_ib_j\}_{i,j}\)-ben elemek egybeesnek, akkor az látszik már \(\displaystyle A \cap B\)-ben is. Egy szép álom, hogy ha naivan megszámolod \(\displaystyle A B\) elemeit, akkor mindent \(\displaystyle |A \cap B|\)-szer számolsz. Gondolok itt: legyen \(\displaystyle a_1 b_1 \in AB\) rögzített, hány \(\displaystyle a_2 b_2\) van, hogy \(\displaystyle a_1 b_1 = a_2 b_2\)? Mivel \(\displaystyle {a_2}^{-1}a_1 = b_2{b_1}^{-1} \in C\), eleve maximum C darab \(\displaystyle a_2\) jön szóba..

.. egy másik megközelítés, hogy ha \(\displaystyle A'\) a \(\displaystyle C \leq A\) mellékosztályainak reprezentánsaiból áll, \(\displaystyle |A'| = |A|/|C|\), hasonlóan \(\displaystyle B'\), akkor \(\displaystyle C\) kétoldali mellékosztályai egyrétűen kiparkettázzák \(\displaystyle A B\)-t. Azt könnyű látni, hogy \(\displaystyle AB = A' C B'\) : tartalmazzák egymást. És akkor azt kell belátni hogy két ilyen kétoldali mellékosztály nem esik egybe egyáltalán: \(\displaystyle a'_1 c_1 b'_1 = a'_2 c_2 b'_2\) nem lehet. Az meg nem nehéz, hogy \(\displaystyle {a'_2}^{-1}a'_1\) pontosan akkor \(\displaystyle C\)-beli, ha \(\displaystyle a'_1 C = a'_2 C\), azaz ugyanazt a mellékosztályt reprezentálják. Ebből a megoldásból nem látszik, hogy \(\displaystyle AB\) összeesik, vagy bármi ilyesmi.

1-re:

Ha a K részhalmaz a \(\displaystyle H\subseteq G\) részcsoport bal oldali mellékosztálya és \(\displaystyle g\in K\) egy rögzített reprezentáns elem, akkor a feltétel szerint \(\displaystyle gH=K\).

Legyen \(\displaystyle H'=\{ghg^{-1}: h\in H\}\).

Azt állítjuk, hogy \(\displaystyle H'\) részcsoportja G-nek és \(\displaystyle H'g=K\), azaz K egy jobboldali mellékosztály H'-re.

1. H' zárt a szorzásra, mert tetszőleges \(\displaystyle h_1,h_2\in H\) esetén

\(\displaystyle (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1})=g(h_1h_2)g^{-1}\in H'\)

2. G "e" egységeleme benn van H'-ben, mert \(\displaystyle e\in H\) miatt

\(\displaystyle e=geg^{-1} \in H'\)

3. H' minden elemének inverze H'-beli, mert tetszőleges \(\displaystyle h\in H\) esetén

\(\displaystyle (ghg^{-1})^{-1}=(g^{-1})^{-1}h^{-1}g^{-1}=gh^{-1}g^{-1} \in H'\)

1.-3. miatt H' részcsoport és |H'|=|H| miatt a H'-höz tartozó minden jobboldali mellékosztály elemszáma megegyezik a H-hoz tartozó baloldali mellékosztályok elemszámával, azaz |K|-val. Végül a \(\displaystyle H'g\) jobboldali mellékosztály minden elemére \(\displaystyle (ghg^{-1})g=gh \in K\), azaz \(\displaystyle H'g=K\)

3.-ra, ha \(\displaystyle G_1=H_1\setminus H_2\) es \(\displaystyle G_2=H_2\setminus H_1\) egyszerre nem uresek, akkor \(\displaystyle u\in G_1\) es \(\displaystyle v\in G_2\) eseten \(\displaystyle u^{-1}\in{H_1}\) es \(\displaystyle v^{-1}\in H_2\), ekkor \(\displaystyle uv\) nem lehet sem \(\displaystyle H_1\)-ben sem \(\displaystyle H_2\)-ben, figyelembe veve, hogy \(\displaystyle u=(uv)v^{-1}\) es \(\displaystyle v=u^{-1}(uv)\)

A következő feladatok megoldásában kérek segítséget:

1. Iagzolja, hogy a \(\displaystyle G\) csoport valamely \(\displaystyle K\) részhalmaza a \(\displaystyle G\) csoport valamelyik részcsoportjának bal oldali mellékosztálya, akkor \(\displaystyle G\)-nek van olyan részcsoportja, amelynek ez a \(\displaystyle K\) jobb oldali mellékosztálya.

2. Igazolja, hogy ha \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\) a \(\displaystyle G\) csoport részcsoportjai, akkor \(\displaystyle |H_1*H_2|=\frac{|H_1|*|H_2|}{|H_1\cap H_2|}\)

3. Igazolja, hogy bármely \(\displaystyle G\) csoportra, és annak bármely \(\displaystyle H_1\), \(\displaystyle H_2\) részcsoportjára \(\displaystyle H_1\cup H_2\) pontosan akkor részcsoport, ha \(\displaystyle H_1\subseteq H_2\), vagy \(\displaystyle H_2\subseteq H_1\).

Előre is köszönöm mindenki segítségét.

Maximum weight matching a wikipedian, es ott is van a Blossom algorithm alul, Edmonds-tol. Ilyen kerdeseknel erdemes megkeresni, hogy mi az angol megfeleloje a problemakornek az absztrakcios lepes utan (ie. minimalis osszsulyu pariositast keresunk egy sulyozott grafban), onnettol meg altalaban meg is van a tetel neve par perc alatt.

Egy országban 128 város csapata nevezett egy kupasorozatra. Ismertek a városok közti utazási távolságok. Hogyan kell párokat készíteni a 128 csapatból, hogy az össz utazási távolság minimális legyen? (gyors algoritmus) Mindenki segítségét előre is köszönöm.

Ismert, hogy hogyan lehet meghatározni egy háromszögbe írt Malfatti-körök sugarait. De hogyan lehet meghatározni egy háromszög egy oldalához írt Malfatti-körök sugarait? Mindenki segítségét köszönöm előre.

15 eve ugyan, de ez is szerepelt mar a pontversenyben: B. 4154. :)