[344] nadorp | 2008-03-05 08:45:21 |
Én még úgy tanultam, hogy egy függvénygörbe konvex egy [a,b] intervallumon, ha tetszőleges két pontját összekötő szakasz felezőpontja görbe felett (vagy rajta) van.Ha az intervallumon a függvény kétszer deriválható, akkor a második deriváltak nemnegativitása szükséges és elegendő feltétel, de ez már tétel. Esetünkben az eredeti definíció érvényességét tudjuk csak vizsgálni, hiszen a függvény az x=a pontban nem deriválható.
|
Előzmény: [343] epsilon, 2008-03-05 06:40:40 |
|
[343] epsilon | 2008-03-05 06:40:40 |
Igen érdekes elgondolkodni a konvexitás fogalmának a defieálásán, hiszen mint az érintős meghatározás, mint az, hogy f"(x) ne legyen negatív nem igazán fogadható el ezek szerint a konvexitás értelmezésének, mert a derivált belekeverése nem "fair" tehát legtisztább a húrral defineálni és úgy tanítani, noha sok szakkönyvben nem éppen így teszik.
|
Előzmény: [340] Lóczi Lajos, 2008-03-04 22:07:31 |
|
[342] epsilon | 2008-03-05 06:37:26 |
Kedves Lajos! Örvendek, hogy megerősíted ezt a megoldási lehetőséget, a 308-as hozzászólásnál Én is ezt próbáltam bemutatni, Én ugyan a Stolz-Cezaro tétel 3. következménbyeként ismerem, ugyanis azzal levezethető, de Cauchy-D'Alambert tételnek forgalmazzák a Sorok elméletében, a lényeg az lenne, hogy: 1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, 2) Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki. Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja) meg miért van ellentmondásba az eredmény a 308-cal, mert nagyon tetszik ez a megoldásod, hiszen a teszt középiskolásoknak szól, így nagyágyúval rálőni nem fair, amit mutattam szerintem az is elég hosszadalmas, szerintem ilyesfélén ahogyan írtad egészen plauzíbilis! Üdv: epsilon
|
|
[341] Lóczi Lajos | 2008-03-04 22:29:48 |
Még egyszer hadd térjek vissza a problémára egy utólagos elemzés erejéig, más kiindulással és kevésbé explicit érveléssel, a Stirling-re való hivatkozás nélkül.
A hányados- és gyökkritérium témaköréből ismert a következő egyenlőtlenséglánc:
(Ez a lánc egyébként azt mondja, hogy a gyökkritérium erősebb a hányadoskritériumnál.)
A megadott rekurziót az en=(1+1/n)n és jelölésekkel így írhatjuk át:
Mivel itt a jobb oldal liminf-je és limsup-ja egyaránt e, a fentiekből rögtön adódik, hogy létezik
és e-vel egyenlő. Innen a továbbhaladás már hasonló (de logaritmálás nélkül is megy a dolog persze), a limesz definíciójából kiindulva megmutatjuk, hogy létezik
és -vel egyenlő.
|
Előzmény: [325] nadorp, 2008-03-03 21:56:02 |
|
|
[339] epsilon | 2008-03-04 17:49:25 |
OK, köszi mindkettőtöknek! Így már tiszta!
|
|
[338] sakkmath | 2008-03-04 15:48:23 |
Egyetértőleg csatlakozom az előttem szólóhoz. A 297. feladat szövege nem szól az f függvény [0;1]-beli differenciálhatóságáról, ezért a kovexitás érintős definícióját ne használjuk. A konvexitás kérdésében - tankönyv híján - vegyük a WIKIPÉDIA másik definícióját:
Az f: I R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe (bármely, az adott intervallumba eső ÿ(kiegészítés tőlem)) két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad ...
|
|
|
|
[335] epsilon | 2008-03-04 14:21:49 |
Helló nadorp! gondolom, hogy ezzel nem lehetne belátni, hogy a (0,1) intervallumon nem lenne konvex (csak egy értéket mondtam), és az ábrádon megpróbáltam csak a függvényt meghagyni, és az 1/2-ben van bal illetve jobboldali "alsó érintő" és miért ne lenne konvex az a függvény, amt így látunk?
|
|
Előzmény: [331] nadorp, 2008-03-04 09:43:27 |
|