Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[351] cauchy	2008-03-05 18:49:17
"Tehát az érintők alúl vannak és mégsem konvex?" Nem! Nincsenek alul. Íme egy példa:

Előzmény: [350] epsilon, 2008-03-05 16:10:49

[350] epsilon	2008-03-05 16:10:49
Nem, éppen azt igazoltam a rajzon is amit láthatsz, hogy az érintők helyett az a=1/2-ben csak bal és jobboldali érintők vannak (egy szögponttal van dolgunk, ahol a kél szélső derivált különböző de véges), ellenben mint olvashatod, a függvény azon a értékekre amelyekre (0,1) intervallumban vannak NEM KONVEX (Én is igazoltam, hogy kijön a konvexitás). Tehát az érintők alúl vannak és mégsem konvex? Tehát...???? Szerintem ezért nem helytálló ez a definició!
Előzmény: [345] epsilon, 2008-03-05 10:23:25

[349] Lóczi Lajos

2008-03-05 13:57:32

"1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, ... Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja)..."

Ez a gondolat ugyanaz, mint a nadorp által [325]-ben felvázolt (csak logaritmusvétel nélkül): az $\root{n} \of{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\to e$ limesz definíciója szerint minden $\varepsilon$ >0-hoz van olyan N( $\varepsilon$ ), hogy az N-nél nagyobb n-ekre (e- $\varepsilon$ )ⁿa_n<a_n+1<(e+ $\varepsilon$ )ⁿa_n. Ebből rekurzívan felírsz egy közrefogást a_N+k-ra (k tetszőleges természetes szám), majd e $\pm$ $\varepsilon$ kitevőiben elvégzed az összegzést, így egy

(e- $\varepsilon$ )^valami^.a_N<a_N+k<(e+ $\varepsilon$ )^{valamihasonlo}^.a_N

alakú egyenlőtlenséghez jutsz. Most k²-edik gyököt vonunk, a lánc bal és középső tagjában liminf-et veszünk, míg a középső és jobb tagjában limsup-ot, majd kihasználjuk, hogy pl. ${\rm{liminf}_{k\to\infty}} \root{k^2} \of{a_{N+k}}={\rm{liminf}_{k\to\infty}} \root{k^2} \of{a_k}$ (hiszen N most fix; vagyis a fix indexeltolás nem befolyásolja a liminf/limsup értékét), ebből azt kapjuk, hogy

$\sqrt{e-\varepsilon}\le {\rm{liminf}_{k\to\infty}} \root{k^2} \of{a_k}\le {\rm{limsup}_{k\to\infty}} \root{k^2} \of{a_k}\le \sqrt{e+\varepsilon}.$

A fenti érvelés viszont minden $\varepsilon$ >0-ra igaz, emiatt létezik tehát $\lim_{k\to\infty} \root{k^2} \of{a_k}$ és értéke $\sqrt{e}$ .

Előzmény: [342] epsilon, 2008-03-05 06:37:26

[348] Lóczi Lajos

2008-03-05 13:38:37

"Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki."

Általában nem szabad egy részkifejezést a határértékével helyettesíteni, vagy két kifejezést egymással helyetteíteni, mégha a limeszük ugyanaz is, mert akkor fals eredmények jöhetnek ki: ezt tetted a [308]-as végén is, s ezért jött ki rossz eredménynek e a végére.

A fenti manipulációk veszélyességéről rögtön meggyőződsz, ha a hibás

$\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\to\infty} 1^n=1$

sorra pillantasz, "hiszen $(1+\frac{1}{n})$ és 1 limesze ugyanaz a végtelenben".

Előzmény: [342] epsilon, 2008-03-05 06:37:26

[347] Lóczi Lajos

2008-03-05 12:38:27

Egy "konvexitásdefiníció" annál általánosabb, minél kevesebbet követel meg az f függvényről. Az említett 3 értelmezés közül a legáltalánosabb az, amelyben nincs simasági (azaz deriválhatósági) megkötés: ebben csak a húr szerepel. Ezzel a definícióval igaz, hogy ha f egyszer deriválható, akkor a konvexitás egyenértékű a derivált monoton növekedésével. Továbbá, ha a függvény kétszer deriválható, akkor a konvexitás egyenértékű a második derivált nemnegativitásával.

Ha valaki a konvexitást az első deriválttal akarja definiálni, kevesebb függvényt tudna konvexnek mondani. Hasonlóan, ha a második derivált lenne a definícióban, még tovább szűkülne a "konvex függvény" fogalma.

Mindazonáltal igaz az a tétel, hogy egy -- intervallumon értelmezett és a húros definíció értelmében -- konvex függvény (Lebesgue-) majdnem mindenütt deriválható, sőt, egy megszámlálható halmaz kivételével mindenütt deriválható.

Előzmény: [346] cauchy, 2008-03-05 12:02:50

[346] cauchy	2008-03-05 12:02:50
Az érintős miért nem állja meg a helyét? Szerinted, ha a=0,5 az x=0,4 pontban húzott érintő a függvény alatt lesz?
Előzmény: [345] epsilon, 2008-03-05 10:23:25

[345] epsilon	2008-03-05 10:23:25
Valóban, a másodrendű deriváltat Én is csak tételként használom, noha láttam könyvet ahol definició, de mi régen az érintős definiciót tanultuk, és még mindig sok helyen így tanítják, de mint látható, most sem állta a helyét, de a felezőpontos definiciót nem igazán tanítottak, úgyhogy megérte itt erről is hallani ;-)

[344] nadorp	2008-03-05 08:45:21
Én még úgy tanultam, hogy egy függvénygörbe konvex egy [a,b] intervallumon, ha tetszőleges két pontját összekötő szakasz felezőpontja görbe felett (vagy rajta) van.Ha az intervallumon a függvény kétszer deriválható, akkor a második deriváltak nemnegativitása szükséges és elegendő feltétel, de ez már tétel. Esetünkben az eredeti definíció érvényességét tudjuk csak vizsgálni, hiszen a függvény az x=a pontban nem deriválható.
Előzmény: [343] epsilon, 2008-03-05 06:40:40

[343] epsilon	2008-03-05 06:40:40
Igen érdekes elgondolkodni a konvexitás fogalmának a defieálásán, hiszen mint az érintős meghatározás, mint az, hogy f"(x) ne legyen negatív nem igazán fogadható el ezek szerint a konvexitás értelmezésének, mert a derivált belekeverése nem "fair" tehát legtisztább a húrral defineálni és úgy tanítani, noha sok szakkönyvben nem éppen így teszik.
Előzmény: [340] Lóczi Lajos, 2008-03-04 22:07:31

[342] epsilon

2008-03-05 06:37:26

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megerősíted ezt a megoldási lehetőséget, a 308-as hozzászólásnál Én is ezt próbáltam bemutatni, Én ugyan a Stolz-Cezaro tétel 3. következménbyeként ismerem, ugyanis azzal levezethető, de Cauchy-D'Alambert tételnek forgalmazzák a Sorok elméletében, a lényeg az lenne, hogy: 1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, 2) Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki. Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja) meg miért van ellentmondásba az eredmény a 308-cal, mert nagyon tetszik ez a megoldásod, hiszen a teszt középiskolásoknak szól, így nagyágyúval rálőni nem fair, amit mutattam szerintem az is elég hosszadalmas, szerintem ilyesfélén ahogyan írtad egészen plauzíbilis! Üdv: epsilon

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?