Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[469] Doom	2008-04-22 00:31:23
Valamivel egyszerűbb. :)
Előzmény: [468] Káli gúla, 2008-04-22 00:17:37

[468] Káli gúla

2008-04-22 00:17:37

Felhasználhatjuk, hogy egy q hányadosú mértani sorozat különbségi sorozata is q hányadosú mértani sorozat. Alkalmazzuk ezt kétszer az összeg sorozatra. Ezt lehet tagonként, ezért a számtani sorozat rész eltűnik, és az összeg második differenciáinak hányadosa az eredeti mértani sorozat hányadosa lesz:

$\frac{(58-26)-(26-18)}{(26-18)-(18-18)}=\frac{24}{8}=3~.$

Előzmény: [465] epsilon, 2008-04-21 20:09:49

[472] Doom

2008-04-21 22:22:32

Ugyanis ekkor, ha a két sorozat:

a, a+d, a+2d, a+3d és b, b*q, b*q², b*q³

akkor felírhatjuk a következő összefüggéseket:

a+b=18

(1)

a+d+b*q=a+b+d+b*(q-1)=18-ba behelyettesítve (1)-et:

d+b(q-1)=0 -> b(q-1)=-d

(2)

Továbbá a+2d+b*q²=a+b+2d+b(q²-1)=26-ba beírva (1)-et és felbontva a zárójelet:

2d+b(q-1)(q+1)=8

ebbe beírva (2)-t:

2d-d(q+1)=d(2-q-1)=d(1-q)=8

(3)

Továbbá a+3d+b*q³=a+b+3d+b(q³-1)=58-ba beírva (1)-et és felbontva a zárójelet:

3d+b(q-1)(q²+q+1)=40

ebbe beírva (2)-t:

3d-d(q²+q+1)=d(3-q²-q-1)=d(2-q²-q)=40

(4)

Most vegyük (3)/(4)-et, ahol d-vel tudunk egyszerűsíteni, ugyanis d nem lehet 0, különben se (3), se (4) nem teljesülne. Ekkor:

$\frac{1-q}{2-q^2-q}=\frac{8}{40}=\frac15$

5-5q=2-q²-q

q²-4q+3=0

Megoldva ezt a másodfokú egyenletet q₁=3, ekkor d=-4 illetve q₁=1, ekkor (3) alapján d*(1-1)=d*0=8 ami ellentmondás.

Tehát (ha az előző hozzászólásomban lévő feltételekkel élünk) az egyedüli megoldás a mértani sorozat hányadosára q=3

Előzmény: [465] epsilon, 2008-04-21 20:09:49

[467] Doom	2008-04-21 21:39:29
Ehhez te feltetted, hogy egymást követő elemekről van szó? Vagy a "megfelelő" pont ezt jelentené? Csak mert ez nagyban leegyszerűsítené a feladatot... :)
Előzmény: [466] S.Ákos, 2008-04-21 20:58:08

[466] S.Ákos	2008-04-21 20:58:08
Gép szerint csak egy megoldás van: mégpedig a 16-4k és 2*3^k sorok.
Előzmény: [465] epsilon, 2008-04-21 20:09:49

[465] epsilon	2008-04-21 20:09:49
Helló! Megint találtam egy K.O. feladatot: Egy számtani és egy mértani sorozat 4 megfelelő indexü tagjait páronként összeadva, a 18, 18, 26, 58 számokat kapjuk. Mennyi a mértani sorozat állandó hányadosa? Van-e valakinek valami tippje? Előre is köszönöm! Üdv: epsilon

[464] Sirpi	2008-04-17 19:41:38
Javítottam.
Előzmény: [462] sakkmath, 2008-04-17 18:06:42

[462] sakkmath

2008-04-17 18:06:42

Javítás:

Az utolsó három képletben az egyenlőségjelektől jobbra álló kifejezésekben k-t mindenütt cseréljük ki n-re.

Előzmény: [463] jonas, 2008-04-17 09:04:45

[463] jonas

2008-04-17 09:04:45

A szummázást lineáris módon szétszedheted.

$\sum_{x=1}^{n} \frac{2x^2-x}{2} = \left(\sum_{x=1}^{n} x^2\right) - \left(\frac{1}{2} \sum_{x=1}^{n} x\right)$

Ezután esetleg megváltoztatod az indexeket, és az egyszerűbb összegeket megtanulod fejből. (Az indexeket a szerint változtatod meg, amilyen változatát az összegeknek megtanultad.)

$\sum_{0\le k<n} 1 = n$

$\sum_{0\le k<n} k = n(n-1)/2$

$\sum_{0\le k<n} k^2 = n(n-1/2)(n-1)/3$

$\sum_{0\le k<n} k^3 = (n(n-1)/2)^2$

Szerezd meg könyvtárból Graham--Knuth--Patashnik Konkrét Matematikáját. Ennek a könyvnek lehet, hogy vannak nagyon nehéz részei is, amit középiskolás szinten nem értessz meg, de az első része, ami az ilyen összegek kezelésére megtanít, biztosan sokat segít. Nagyon jó könyv.

Előzmény: [461] Borgi, 2008-04-16 21:31:58

[461] Borgi

2008-04-16 21:31:58

üdv!

$\sum_{x=1}^n \frac{2x^2-x}{2}$

$\sum_{x=0}^n \frac{2x+1}{6}$

ilyen finomságokkal, mit kezdhet az ember középiskolás szinten?

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?