[761] Tibixe | 2009-01-30 16:26:18 |
Az analízissel szenvedjenek csak a fizikusok, az esetszétbontogatással meg a hentesek... Gyönyörűen kijön számelmélettel.
Vegyük mindkét oldal p alapú logaritmusát.
qp=(logp q) pq
Tehát logpq racionális, t/s alakban felírható, ahol t és s relatív prím egészek.
Innen
sqp=tpq
Ekkor lesz egy u pozitív egész szám, amire
p=ut q=us
Visszahelyettesítve:
t usut=s utus
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy
sutts
. Az előző egyenlet mindkét oldalát osztva:
t=s utus-sut
Az előző feltétel miatt utus-sut egész. Mivel t és s pozitív relatív prím egészek, utus-sut csak 1 lehet. Tehát t=s. Az egyetlen önmagával rel. prím pozitív egész pedig az 1. Innen pedig
p=u1=q
|
|
[760] nadorp | 2009-01-30 08:09:03 |
Ha p=1 akkor q=1 és fordítva, tehát ezekben az esetekben igaz az állítás. Feltehető, hogy p,q2. Tegyük fel, hogy p<q. Ekkor a feladatban szereplő egyenlőség úgy állhat fenn, ha p kitevője nagyobb, azaz
qp>pq
Mivel az függvény xe esetén szigorúan monoton csökken, ezért 3p<q esetén a fenti egyenlőtlenség nem állhat fenn. Marad a p=2 eset. Ekkor
miatt szintén a monoton csökkenésből adódóan q<4,tehát csak q=3 lehet. Viszont a p=2 q=3 értékek esetén nem teljesül az eredeti egyenlőség. Azt kaptuk, p<q nem lehet. Teljesen hasonlóan adódik, hogy p>q sem lehetséges, tehát p=q
|
Előzmény: [759] Kiss Béla, 2009-01-29 20:53:36 |
|
[759] Kiss Béla | 2009-01-29 20:53:36 |
Sziasztok! Sagítséget szeretnék kérni a következő feladathoz. Foggalmam sincs, hogy hogyan lehetne megoldani:
Bizonyítsuk be, hogyha a p és q pozitív egész számokra fenn áll a pqp=qpq, akkor p=q.
|
|
|
[756] Gyöngyő | 2009-01-24 10:26:40 |
Sziasztok!
Lenne egy kérdésem!
Tudjuk,hogy
bizonyítsuk be,hogy
ahol ai pozitív valós számok.
Üdv.: Gyöngyő
|
|
[755] HoA | 2009-01-22 18:47:09 |
Ott viszont nem reagált rá senki. Idemásolom, hogy ne kelljen lapozgatni:
Az ABCD konvex négyszögben AD=2. Az ABD szög és az ACD szög derékszög. Az ABD háromszög szögfelezőinek metszéspontja gyök(2) távolságra van az ACD háromszög szögfelezőinek a metszéspontjától. Mekkora a BC oldal hossza?
Az ugye világos, hogy az adatok nem egyértelműen határozzák meg ABCD négyszöget. Kérdés, hogy BC hossza egyértelmű-e. Szimmetrikus esetben ABCD egyenlőszárú trapéz és elég könnyen kiszámolható, hogy ha , akkor
Feladatok:
- adjunk geometriai bizonyítást a szimmetrikus esetre
- adjunk bizonyítást az általános esetre
- igaz-e a tétel fordítottja: Ha , akkor ?
|
|
Előzmény: [754] sakkmath, 2009-01-22 10:42:23 |
|
|
[753] Valezius | 2009-01-21 20:22:43 |
Láttam valamelyik topikban egy feladatot, de most az istenért se találom, valaki nem tudja, melyikben van?
ABCD konvex négyszög, ABD és ACD derékszög. Ugyanezekbe, mint háromszögbe írt körök középpontjai gyök(2) távolságra vannak.
Csak érdekelne, hogy jól emlékszem-e rá.
|
|
|
|