[798] S.Ákos | 2009-02-15 13:56:02 |
Legyen a+b=2p és a-b=2q, ahol a,b,p,q pozitív valós számok. Vizsgáljuk az kifejezést. a=p+q és b=p-q. Ezekkel a helyettesítésekkel:
Ha 2p állandó, akkor ez a kifejezés szigorúan monoton nő a [0;p] intervallumon, ha tehát q csökken, akkor a kifejezés értéke is csökken. Ha a számok mind egyenlők, akkor . Ha nem mind egyenlők, akkor van i,j úgy, hogy Legyen és , és a többi xk-t hagyjuk változatlanul. Mivel xi+xj=xi'+xj' és xi>xj'>xj, ezért xi>xi'>xj, így xi-xj>|xj'-xi'|, így a kifejezés értéke csökkent, így a minimum csak x1=x2=...=xn esetén állhat, ami épp a jobb oldal.
Remélem érthető.
|
Előzmény: [797] Gyöngyő, 2009-02-15 12:21:18 |
|
[797] Gyöngyő | 2009-02-15 12:21:18 |
Sziasztok!
Szeretnék segítséget kérni a következő feladathoz:
Legyenek xi>0,i=1,..,n
x1+x2+...+xn=1. Igazoljuk,hogy :
Üdv.: Gyöngyő
|
|
[796] laci777 | 2009-02-15 11:20:46 |
Kedves HoA!
Az első megoldásod egyszerű, és így nagyszerű:) A második viszont - a magam szinjéhez képest meg végképp -remekmű. Mindkettőt köszönöm!
|
Előzmény: [795] HoA, 2009-02-15 07:45:55 |
|
[795] HoA | 2009-02-15 07:45:55 |
Legyen a (0;a) pont A, a (0;-a) pont B, a PQO magasságpontja M. AQ és OM párhuzamosak, mint PQ-ra merőleges egyenesek. AO és QM párhuzamosak, mint PO-ra merőleges egyenesek. Így OMQA paralellogramma és AO = AQ ( a kör sugara ) miatt rombusz. Átlói merőlegesek, középpontját K-val jelölve AKO derékszögű. Ezt A-ból kétszeresére nagyítva K M-be O pedig B-be kerül. AMB derékszögű, tehát M valóban AB Thálesz-körén van.
Mivel a feladatot koordináta-geometriai megfogalmazásban tűzték ki, oldjuk meg így is. Legyen P (p;0). Q az AP átmérőjű körön van, ennek középpontja (p/2;a/2), sugara , egyenlete (x-p/2)2+(y-a/2)2=1/4(p2+a2) , (2x-p)2+(2y-a)2=p2+a2 ; 4x2-4xp+p2+4y2-4ya+a2=p2+a2 ;
4x2-4xp+4y2-4ya=0
Q az eredeti körön is rajta van, ennek egyenletét néggyel szorozva 4x2+4(y-a)2=4a2 ; 4x2+4y2-8ay+4a2=4a2 ;
4x2+4y2-8ay=0
A két egyenlet különbségéből a metszéspontokra y/x = p/a ( amit persze az ábráról mint OQ meredekségét könnyen leolvashatunk) , behelyettesítve 4x2+4p2x2/a2-8px=0 Egyik metszéspont az origó, erre nem vagyunk kíváncsiak, x-szel oszthatunk: x(4+4p2/a2)=8p ; x=2p/(1+p2/a2) Ez tehát Q és egyben M abszcisszája (Mx). M ordinátáját (My) abból számíthatjuk, hogy M rajta van az AP egyenesen: x/p+y/a=1 ; y=a-(a/p)x=a-2a/(1+p2/a2)=(a+p2/a-2a)/(1+p2/a2)=(p2/a-a)/(1+p2/a2) . Tekintsük az Mx2+My2 kifejezést:
M tehát valóban az origó középpontú a sugarú körön, AB Thálesz körén van.
|
|
Előzmény: [794] laci777, 2009-02-14 22:35:15 |
|
[794] laci777 | 2009-02-14 22:35:15 |
Megint geometria-példában kérnék szépen segítséget: vegyük az x2+(y-a)2=a2 egyenletű kört (az "a" tetszőleges, de rögzített értékű pozitív valós szám). E körhöz az x tengely egy tetszőleges P pontjából érintőt húzunk (nem az origóba). Ezt az érintési pontot Q-val jelölve,határozzuk meg a PQO(O az origo) háromszög magasságpontját. Ha végighaladunk x tengely valamennyi P pontján, mit adnak ki e háromszögek magasságpontjai? Az látszik, hogy a (0;a) és a (0;-a) pontok által meghatározott szakasz Thalész-köre a megoldás a két előbbi pont nélkül - de bizonyítani már nem tudom. Tudna valaki valamilyen kiinduló pontot, ötletet javasolni? Köszönöm előre is.
|
|
|
|
|
[790] laci777 | 2009-02-13 22:31:43 |
Ajjaj, már látom, s(c) és c metszésére tükrözzük C-t, így kapjuk a paralelogrammát. Késő van, egyébként is lassú vagyok:(
Még egyszer köszönöm, kellemes hétvégét.
|
|
[789] laci777 | 2009-02-13 22:18:34 |
Kedves Euler, köszönöm szépen, érthető voltál - azt hiszem, a 3szög súlyvonalára az oldalai függvényében adott képletre az életben nem jöttem volna magamtól rá (más kérdés, még most sem nagyon látom az s(c) és az m(c) c-n való távolságának számíthatóságát - de kicsit még emésztem). Még egyszer köszönöm.
|
Előzmény: [788] Euler, 2009-02-13 18:17:09 |
|