Fórum: Valaki mondja meg!

Ha a választott abszcisszához tartozó két másik metszéspontot is bejelöljük ( zöld szakasz végpontjai ) és a görbe által határolt területet integrálszámítással, a görbe alatti területek különbségeként számítjuk, az x tengely alatti értékeket szokás szerint negatívnak véve, akkor eredményül a nagy levél területének és a két kis levél területének különbségét kapjuk. Ha OC az y tengellyel szöget zár be, a kis kék háromszögekből az infinitezimális területdarab T_d=4a(cos-sin)2acos2, amiből a teljes terület

Érdekes, hogy ez a terület a²-nek racionális számszorosa. Elfogadva, hogy a területek abszolút értékének összege

T_s=2a²

, a felső levél területét T₁-gyel, a két kis levél területének összegét T₂ -vel jelölve

A számértékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy T₁ nagyjából 92,5 , T₁ pedig 7,5 százaléka a teljes területnek. ( ha jól számoltam ... :-) )

Ha most összeadjuk ezt az n+1 darab egyenlőséget,a Jonas által adott képlet jön ki.

Az ilyen fajta feladatra van egy általános módszer, ami gyakran működik. Számold ki a rekurziós szabályból a sorozat első néhány elemét pontosan. Keress rá a számlálójukra az OEIS-ben, megtalálod az A053557 sorozatot egyetlen találatként. Ennek a leírása azt mondja, hogy a sorozat n-ik eleme a szám számlálója, ebből megsejted, hogy a te a_n sorozatod általános tagja éppen ez az összeg lesz, de vigyázz, az index eggyel el van csúsztatva! Ellenőrzöd, hogy ez a sejtés igaz-e az első néhány tagra, aztán ha igen, akkor megpróbálod belátni teljes indukcióval, hogy ez az explicit képlet valóban mindig igaz. Ezután már csak be kell látnod, hogy ez hova konvergál.

Sziasztok, remek ez a Fórum, le a kalappal! A sok érdekes, okos hozzászólás felbátorított, hogy tőletek kérjek segítséget ehhez a feladathoz: Az (a_n) sorozat elemeit így definiáljuk:

a₀ = 1; a₁ = 0; ha n = 1, 2, .... . Konvergens-e az (a_n) sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Köszi szépen, előre is!

Én köszönöm, mégpedig Neked, valamint Káli Gúlának a hasznos útmutatást. Túl azon, hogy egy magamban már eléggé reménytelennek elkönyvelt problémában segítettetek, élvezet volt számomra a gondolatmeneteteket is követni.

A gordiusi csomó átvágását - tekintettel a valóban csúnya paraméteres megoldásra - külön is köszönöm:)

Szép napot: Laci

Nagyon köszönöm!

Köszönöm Káli gúla szép megoldását. Azt hiszem, segít még jobban rávilágítani arra, mi a bajom ezzel a feladattal. Fussunk tehát neki harmadszor is, ezúttal az ő jelöléseit is használva:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, M méter hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott t mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont M métert tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? ( Számadatok: t = 15 s , M = 1000 m )

A futár megtett útja [822] megoldóképlete szerint így alakul:

(1)

Mint az várható volt, a megtett út a feladatban szereplő M,t,v₁ésv₂ mennyiségektől függ. M és t konkrét értéke adott, de v₁ésv₂ szerepét jótékony homály fedi. Gondolhatnánk, hogy azok is az M és t ismeretében értelmes határok között szabadon megadhatók, csak most éppen nem rendelünk hozzájuk számértéket. De ez nem így van. A feladat túlhatározott, adott M és t mellett már v₁ésv₂ nem választható meg egymástól függetlenül. Az adatok közötti megkötést éppen [822] feltételi egyenlete adja:

(2)

Ha M,v₁ésv₂ értéke lenne adott, megtehetnénk, hogy (2) –ből kifejezzük t-t és ezt behelyettesítjük (1) –be. Rövid átalakítások után [824] szép képletét kapjuk:

(3)

De az ekkor sem lenne igaz, hogy „akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát”, hiszen egy adott M,v₁ésv₂ hármashoz egy konkrét, éppen a (2) egyenletből adódó t érték tartozik.

Nekünk azonban Mést adott. Mit tehetünk, hogy bemenő adatainktől egyértelműen függő eredményt kapjunk? Az egyik megoldás laci777 „izzadási iránya”: (2) –ből v₂-re másodfokú egyenletet kapunk. Ennek fizikailag értelmes gyökét választva v₂ -nek ezt a kifejezését behelyettesítjük (1) –be és kapunk egy csúnya , de csak M-et,t-tésv₁-et tartalmazó kifejezést. A másik megoldás az, hogy elfogadjuk (3) szép képletét megoldásnak, de hozzátesszük, hogy „ahol v₁ szabadon választott sebesség a 0<v₁<M/t tartományban, v₂ pedig a (2) feltételből számított M,t,ésv₁ által meghatározott sebesség”. És ekkor persze a (3) képletben szereplő mennyiségekhez éppen a megadott t érték trtozik.

Sziasztok! Kérlek segítsetek!

Az a problémám, hogyha adott tetszőleges db nemnegatív szám, akkor hogyan tudnám elrendezni őket egy mátrixba úgy hogy a lehető legegyenletesebb elrendezést kapjam.(Arra gondolván, hogy a két legnagyobb szám a "legtávolabb" legyen egymástól, és így tovább...) Van-e erre vmilyen már kidolgozott algoritmus, mert nem nagyon találom a szakirodalmakban!? Van ötletem, de elég egyszerűnek találom ráadásul nagy számításigényű,hátha vki tud jobbat!

Előre is köszi a segítséget!

Kedves Káli Gúla!

Köszönöm szépen ezt a megoldást is, bár őszintén szólva olyat igyekeztem volna kiizzadni (a jelzett eredménnyel:(), ahol a menetoszlop (a példa adatai szerint 0<v1<240 km/h közt értelmezhető) sebessége az egyedüli független változó, ahogyan valóban is annak a függvénye minden egyéb tényező (a v2 és az egyes szakaszok s és t értékei egyaránt). Még egyszer köszönöm.

Működik az is. Legyen v₂=kv₁, a menetoszlop hossza M. Amíg fel- és lefut, addig idő telik el, ez alatt a menet , a futár pedig utat tesz meg. A középső időszakban együtt mennek, ez a feltétel miatt , tehát a futár összesen utat tett meg a feladat adataival (akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát vagy ha 0 mp-et ment volna).