Fórum: Valaki mondja meg!

Nagyrabecsült FÓRUMOSOK! Sehogy sem bírok ezzel a feladattalÿ:( segítenétek?

Legyenek n és k adott pozitív egészek és tekintsük azon f: {1; 2; 3; ...; n} {-k; -k+1; ...; k-1; k} függvényeket, amelyekre |f(i) - f(j)|k bármely i, j {1; 2; 3; ...; n} esetén. Hány ilyen f függvény van?

Üdv: gubanc

Talán ez is segít (a részleteket a könyv mellőzi):

Ez is hatalmas segítség volt köszönöm szépen!

Itt minden bizonnyal két dolgot érdemes összekombinálni: van egy képlet az integrálfüggvény Fourier-együtthatóinak kiszámítására (az eredeti függvény Fourier-együtthatóiból), így elég csak a logaritmus és a kotangens függvény kompozíciójának meghatározni a sorfejtését. (A függvény paritása miatt az egyik paritású együtthatók nullák lesznek.) A kotangenset szétbontva, lényegében ln (cos )^.sin , ln (cos )^.cos , ln (sin )^.cos , ln (sin )^.sin  integrandusú határozott integrálok maradnak (az argumentumokban persze a megfelelő helyeken ott a szumma futóindexe). Ezeket az integrálokat ki lehet számolni (persze az integrandus nem korlátos volta miatt az integrálok konvergenciáját ellenőrizni kell), egyszer kiszámítottam őket, de csak elég trükkösen jöttek ki. (Utólag aztán látható volt, hogy az a feladat a és függvénysorok összegével van kapcsolatban, amelyeket egyszerűbben egy komplex exponenciális sor összegeként volt érdemes kiszámolni.) Szóval esetleg próbálj meg ezeket a nyomokon elindulni; mindenesetre a direkt számolások nem lesznek egyszerűek.

Ha a diszkrimináns kisebb nullánál, a képlet formálisan ugyanaz, csak konjugált komplex számokat tartalmaz (amelyek együttesen valós értéket adnak). De az Euler-összefüggésekkel ezt az esetet mindig átírhatod exponenciális függvényt és szinuszt/koszinuszt tartalmazó alakra, amiben már csak valós számok vannak.

Üdv Mindenkinek! A következő feladatban kérnék segítséget!

Azt tudjuk, hogy x[-,] és hogy 2 periodikus. Írjuk fel a Fourier-sorát!

Köszönöm szépen mind a két megoldási módot, sikerült az explicit képletet is megkapni (igaz, segítséggel, még életemben ilyet nem csináltam). A lényeg, hogy mind a 2 hasznos volt, tanultam valami újat, csak máskor is fel tudjam magamtól is használni. Ha már itt tartunk valaki fel tudná nekem írni, hogy a Fibonacci-féle sorozatot, hogy kell megadni explicit módon? Ezt kaptam:

Fibonacci sorozat: ap_n+1=bp_n+cp_n-1

Karakterisztikus egyenlet: aR²=bR+c; R₁, R₂ a karakterisztikus egyenlet megoldásai.

Ha R₁=R₂ => p_n=R₁ⁿ(A+nB); Ha R₁R₂ => p_n=R₁ⁿA+R₂ⁿB; (Ha valamit elírtam, javítsatok!)

Ott akadtam meg, ha a karakt. egyenlet esetében <0. Ilyen esetben, hogy lehet felírni az explicit képletet?

Előre is köszi!

Ha E-vel jelölöd a csupa egyesekből álló mátrixot, akkor A=E-I, tehát A²+A=(E²-2E+I)+(E-I)=E²-E, ami a csupa kettesekből álló mátrix, ezért A²+A=2E=2(A+I). Ez ugyanaz, mint az a), és ebből A-val szorzással, indukcióval adódik a c) is.

Hát sajnos az első megoldásodnál fogalmam sincs, miről beszélsz, a másodikat meg nagyjából értem, amennyit leírtál (én is valami képletet próbáltam keresni). Meglátjuk, sikerül-e explicit képletet találni, ugyanis még ilyet nem oldottam, és nem tudom mennyire lehet gimnáziumi szinten... . És akkor a képletet amit feltételezzük, hogy megkapok, kell még bizonyítani mat. ind. módszerével, vagy ez már megvolt? :D Köszi a tippet az elinduláshoz, remélem érettségiig már kívülről fújom a típusfeladatok megoldásainak módszerét. :)

A (c) pontot többféleképp is meg lehet közelíteni. Az egyik lehetőség, hogy az A mátrixot Jordan blokk alakra hozod, és ezt hatványozod.

A másik, hogy felhasználod az (a) pontot, amely szerint A²=A+2I ami alapján A³=A(A²)= A(A+2I)=A²+2A=3A+2I. Ebből megsejted, hogy az általános hatvány felírható Aⁿ=p_nA+q_nI alakban. Valóban: Aⁿ⁺¹=A^.Aⁿ= A(p_nA+q_nI)=p_nA²+q_nA= (p_n+q_n)A+2p_nI. Ebből p_n+1=p_n+q_n, és q_n=2p_n, amiből p_n+1=p_n+2p_n-1. A kezdeti feltétel is nyilván teljesül: p₀=0,q₀=1, p₁=1,q₁=0. (Persze ellenőrizned kell, hogy nem számoltam el.) Ennek a rekurziónak megkeresheted az explicit képletét. (Ez elvileg nem, csak gyakorlatban egyszerűbb annál, mintha az Aⁿ mátrix mind a kilenc elemére írnál föl együttes lineáris rekurziót.)