Továbbra is úgy értelmezem a kérdést, hogy "Hány olyan elem van 64 elemű testben, amely nincs benne valódi résztestben?" Ennek a testnek valóban csak 2,4 és 8 elemű résztestei lehetnek mivel minden test vektortér bármelyik részteste felett, ahogy Fálesz Mihály is írta. Ilyen résztestei pedig valóban vannak is, mégpedig mindegyikből csak 1-1. Ez a test (GF(64)) a x64-x polinomnak felbontási teste (e testben lineáris gyöktényezők szorzatára bomlik), sőt pontosan a x64-x polinom gyökei alkotják a test elemeit. Az, hogy ennek a testnek van 2, 4 és 8 elemű részteste abból következik, hogy a x2-x, x4-x és x8-x polinomok osztói a x64-x polinomnak, amelyek gyökei így szintén GF(64) elemei. Ezek a gyökök könnyen bizonyíthatóan résztesteket alkotnak, mert (x+y)2=x+y,(xy)2=xy,(-x)2=-x,(x-1)2=x-1 (itt kihasználtuk, hogy a test 2 karakterisztikájú). Hasonlóan 4 és 8 kitevővel. Más 2, 4 és 8 elemű résztestei GF(64)-nek nincsenek, mint a most felsorolt polinomok gyökeiből álló testek, mert az azt jelentené hogy a x2-x, x4-x és x8-x polinomoknak 2,4 illetve 8-nál több gyökük lenne ami lehetetlen. A 2 elemű (0,1 -et tartalmazó) résztest részteste a 4 és 8 elemű testeknek is, azonban a 4 elemű résztest nem részteste a 8 eleműnek (mivel a 8 elemű test nem lehet vektortér a 4 elemű felett). Vagyis e résztestek uniója 10 elemet tartalmaz, a maradék 54 elem pedig egyik résztestnek sem eleme.
|