Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1643] Maga Péter2012-01-26 08:21:30

Carathéodory kiterjesztési tétele (Carathéodory's extension theorem) néven találsz a wikin egy szócikket, talán segít megérteni.

Nagyjából arról van szó, hogy ha van egy előmérték egy bizonyos tulajdonságokat kielégítő halmazon (a téglák halmaza ilyen), akkor az kiterjed mértékként a generált \sigma-algebrára. A szorzattéren a bázis-nyílt halmazok definíció ('szorzattopológia') szerint a téglák, vagyis az általuk generált \sigma-algebra éppen a szorzattér Borel-algebrája.

,,Kicsit meglepő, hogy ennyi elég legyen bonyolultabb halmazok mértékének meghatározásához, mert amint írod, ennyiből egyértelműen terjeszthető ki a mérték (...).'' Természetesen messze nem lesz minden részhalmaz mérhető (még akkor sem, ha teljessé tesszük úgy, hogy minden nullmértékű halmaz minden részhalmazát is nullmértékűnek vesszük, majd ismét kiterjesztünk). Egy 'kicsit' bonyolultabbakhoz elég a téglák halmaza, 'sokkal' bonyolultabbakhoz nem. De minden, amiről 'beszélni tudsz', mérhető lesz; nem mérhető halmaz definiálásához használnod kell a kiválasztási axiómát. És amiről 'beszélni tudsz', arról téglák segítségével beszélsz (aztán unió, metszet, komplementer, és beveted olykor a limeszt is, a megszámlálható végtelent is megfogva). Vagyis indulsz a (bázis-)nyíltakból, és generálod a Boreleket. Így már, remélem, nem annyira meglepő...

Előzmény: [1642] jenei.attila, 2012-01-25 23:50:06
[1642] jenei.attila2012-01-25 23:50:06

Ha jól értem azt írod, hogy pl. az érmedobálás esetén olyan "téglák" mértékét tudjuk közvetlenül meghatározni, amelyek elemei véges sok rögzített pozícióban reprezentálják a konkrét dobásokat, a többi pozícióban bármi lehet. Pl. egy ilyen tégla a fej, bármi, bármi,... sorozatokat tartalmazó tégla amelynek mértéke 1/2, vagy az írás, bármi, fej, bármi... aminek valószínűsége 1/4, stb. Kicsit meglepő, hogy ennyi elég legyen bonyolultabb halmazok mértékének meghatározásához, mert amint írod, ennyiből egyértelműen terjeszthető ki a mérték (erről tudnál pár szót írni? persze csak akkor, ha tényleg elintézhető pár szóban). Ha most fej-írás helyett 0-1 sorozatokat tekintünk, akkor ezek felfoghatók, mint a [0,1] valós intervallum számai 2-es számrendszerben felírt 2-edes vessző utáni jegyei. A kérdés, hogy az előbbi valószínűségi mérték, és a [0,1] intervallum Borel halmazainak szokásos Borel mértéke között mi az összefüggés. Szerintem ugyanaz. Ha ez így van, akkor a nagy számok erős törvénye értelmében az is igaz, hogy a [0,1] intervallum majdnem minden számának (Borel mérték szerint) 2-edes tört alakjában az 1-esek és 0-ák aránya 1/2-hez tart. Ezt nem tartom hihetőnek, úgyhogy valami nem stimmel.

Előzmény: [1640] Maga Péter, 2012-01-25 15:18:32
[1641] jenei.attila2012-01-25 16:12:24

Nagyon szépen köszönöm a választ. Egyelőre még emésztem, de tényleg ezzel volt a problémám. A gyenge konvergenciával igazából nem volt gondom, azt tudtam értelmezni. Azért leírom hogyan, hátha találsz benne valami tévedést: Véges direktszorzatra könnyen értelmezhetjük a mértéket a komponens halmazok mértékének szorzataként. Adott e-re és adott véges n-re az n hosszúságú sorozatok közül tekintsük azokat, amelyben a sorozat elemeinek számtani közepe a várható értéktől e-nél jobban eltér (nagyszám törvény). Ezek a sorozatok az n tagból álló direktszorzat térben egy maghatározott mértékű (valószínűségű) részhalmazt alkotnak. A gyenge konvergencia azt jelenti, hogy bármely pozitív e-re ez a mérték 0-hoz tart, ha az n végtelenbe tart.

Egyébként úgy tűnik, hogy a valszám oktatásban nagyvonalúan átsiklanak ezen probléma felett, pedig egyáltalán nem mindegy, hogy a vv-k összegét n változásával az egyre több tagból álló szorzattereken kell értelmezni. Ez csak számomra nem triviális, mindenki másnak pedig annyira, hogy szinte gáz szóba hozni? Szerintem egy lényeges dologról van szó, és attól tartok, hogy sokan egyszerűen nem is értik a nagyszám törvényeket.

Előzmény: [1640] Maga Péter, 2012-01-25 15:18:32
[1640] Maga Péter2012-01-25 15:18:32

A valószínűségi tér egy olyan mértéktér, amiben az egész tér mértéke 1.

A fej-érme esetben az X egy kételemű tér, melynek mindkét egyelemű részhalmaza 1/2 mértékű (valószínűségű). Mértéktereket lehet összeszorozni, de nemcsak véges sokat, hanem tetszőleges (halmaznyi) sokat is. Ha az Y az X megszámlálható sok példányának szorzata (Y pontjai a végtelen dobássorozatoknak felelnek meg), akkor Y-on értelmes a szorzatmérték, amit a következőképpen definiálunk.

Ha H\subsetY olyan tégla (vagyis H=\prod_j H_j, Hj\subsetXj, Xj az X j. példánya), hogy véges sok koordinátájától eltekintve Hj=Xj, akkor P(H)=\prod_j P_j(H_j), ahol Pj a j. koordinátában vett valószínűség (ez értelmes, hiszen valahonnantól kezdve minden tényező 1 a szorzásban). Ezekről a halmazokról P egyértelműen kiterjed a generált \sigma-algebrára, ami jelen esetben Y Borel-halmazainak rendszere.

Az általános definíció nagyon hasonló (véges sok kivételtől eltekintve a vetületnek a teljes direkt tényezőnek kell lennie), annyiban kell figyelni, hogy a Hj vetületeknek Pj-mérhetőnek kell lennie.

Előzmény: [1639] jenei.attila, 2012-01-25 14:47:02
[1639] jenei.attila2012-01-25 14:47:02

Egy valszám problémában kérem segítségeteket. Látszatra nagyon egyszerű, de mégsem értem pontosan a fogalmakat. Valószínűség változók erős vagy gyenge konvergenciájáról van szó. Mindkét fogalmat ismerem, és azt hiszem értem is. Szóval: a valószínűségi változó (továbbiakban vv)az elemi események halmazán értelmezett valós (esetleg komplex) függvény. A valószínűség pedig az elemi események egy alkalmas részhalmazának (ez az esemény) mértéke. Az erős (vagy 1 valószínűségű) konvergencia azt jelenti, hogy ha adva van vv-k egy sorozata (mindegyik ugyanazon az elemi esemény halmazon értelmezve), akkor ez a sorozat erősen konvergál, ha majdnem minden elemi eseményre konvergál. Tehát a vv-k mindegyike egy adott elemi eseményen felvesz valami valós értéket, amelyből egy valós számokból álló konvergens sorozat adódik. Ha tekintjük azon elemi események halmazát, amelyeken ezek a valós számsorozatok nem konvergensek, akkor az erős konvergencia azt jelenti, hogy ennek a halmaznak a mértéke (valószínűsége)=0. Ez ugyanaz, mint a közönséges függvénysorozatok majdnem mindenütt való konvergenciája. Ezek után a problémám a nagy számok törvényének (és a centrális határeloszlás tételének) értelmezésével van. Itt ugyanis független vv-k számtani közepének erős konvergenciájáról van szó. Az X1,X2,X3,... vv-k ugyanazon az A elemi esemény halmazon vannak értelmezve, de az X1+X2 már az AxA (direkt szorzat), az X1+X2+X3 az AxAxA, s.í.t. folyton változó halmazokon vannak értelmezve. A valószínűséget csak az A bizonyos részhalmazain értelmeztük, de az AxA, AxAxA halmazok részhalmazain nem. Nem lenne ez különösebben probléma, ha csak véges sorozatról lenne szó, ugyanis a direktszorzat részhalmazainak valószínűségét értelmezhetnénk a komponensek valószínűségének szorzataként (ez történik pl. akkor, amikor két érmét feldobva azt kérdezzük, mi a valószínűsége annak, hogy különböző oldalukra esnek; az elemi események halmaza ebben az esetben (f,f),(f,í),(í,f),(í,í) rendezett párokból álló halmaz). De mit csináljunk megszámlálhatóan végtelen sok elemi esemény halmaz direktszorzatával. Hogy értelmezzük egy ilyen direktszorzat valamely részhalmazának valószínűségét? Az érmedobálásnál maradva a nagyszám törvény azt mondja ki, hogy ha tekintjük a fej-írás végtelen sorozatokat, akkor ezen sorozatok majdnem mindegyikén a fejek és írások aránya 1/2-hez tart. Nyilván nem mindegyikén (pl. a csupa fej sorozaton nem), de mit jelent itt, hogy majdnem mindegyikén? A véges esettel szemben az a probléma, hogy nem tudjuk egy adott végtelen sorozat valószínűségét megmondani (pontosabban meg tudjuk, méghozzá 0), hanem ilyen végtelen sorozatokból álló halmazok valószínűségét (mértékét) kéne megmondani. Ráadásul a fej-írás végtelen sorozatok kontinuum számosságú halmazt alkotnak, ezen kéne valahogy értelmezni a valószínűséget, mégpedig a fej vagy írás dobásának 1/2-es valószínűségéből kiindulva. Remélem sikerült érthetően leírni, hogy mi a problémám, és elnézést a hosszú kommentért.

[1638] epsilon2012-01-19 16:26:37

Köszi szépen lotantfy! Én csak a 3 piros ívet láttam, a zöldeket sehogyan sem sikerült, mert rossz helyen választottam meg a gömb középpontját. Mindenkinek további szép napot! Üdv: epsilon

Előzmény: [1630] lorantfy, 2012-01-18 17:26:59
[1637] lorantfy2012-01-19 14:40:36

Valóban. Bocs! A rajzot értekezlet közben csináltam és nem emlékeztem az eredeti sugárra.

Előzmény: [1631] jonas, 2012-01-18 20:26:01
[1636] gubanc2012-01-19 14:19:29

Véletlenül hozzám került két feladat e lapból. Ezeket nem tudtam megoldani, ezért e topic [860]-as és az Érdekes matekfeladatok [2894]-es hozzászólásában föltettem őket.

Előzmény: [1634] Róbert Gida, 2012-01-19 00:36:10
[1635] R.R King2012-01-19 06:33:22

Gondolom, ha a matematika tanításával foglalkozik, akkor többnyire matektanárok. A kérdéses feladat pedig a feladatrovat tanároknak részben volt kitűzve.

Előzmény: [1634] Róbert Gida, 2012-01-19 00:36:10
[1634] Róbert Gida2012-01-19 00:36:10

Még életemben nem hallottam erről a lapról. És azt a folyóiratot ki olvassa?

Előzmény: [1632] R.R King, 2012-01-18 21:32:09
[1633] bily712012-01-18 21:56:34

Az, hogy végtelen sok p,p+2 prím párra p+(p+2)\pm1=2(p+1)\pm1 prímek, erősebb sejtés-állítás, mint hogy végtelen sok p,p+2 prím pár létezik, hiszen feltételezi az ikerprím-sejtés igaz voltát, ugyanis csak végtelen sok ikerprím párból választható ki végtelen sok fenti tulajdonságú pár.

Előzmény: [1628] Jhony, 2012-01-14 10:17:54
[1632] R.R King2012-01-18 21:32:09

Ez a Matematika Tanítása folyóiratból való feladat nem?

Előzmény: [1625] epsilon, 2012-01-13 11:47:10
[1631] jonas2012-01-18 20:26:01

A rajz lényegében helyes, de szerintem a számok nem stimmelnek. Helyesen  r_1 = 2\sqrt{3}/3 megegyezik a gömb sugarával, a másik körök sugara  r_2 = 1/\sqrt{3} \approx 0.58 .

Előzmény: [1630] lorantfy, 2012-01-18 17:26:59
[1630] lorantfy2012-01-18 17:26:59

Végül szabadkézi rajz lett, de látszik rajta a lényeg. A pirossal és zölddel jelölt pontok az O ponttól r1 távolságra vannak, így biztosan rajta vannak a gömbön. A zöld körívek r2 sugarúak.

Előzmény: [1629] epsilon, 2012-01-18 09:39:59
[1629] epsilon2012-01-18 09:39:59

Tisztelt Fórumtagok! Továbbra is érdekel a kocka és a gömb metszésvonala, ígyhát bárkitől szívesen várok bármilyen ötletet. Üdv: epsilon

[1628] Jhony2012-01-14 10:17:54

köszönöm a választ,de a kédrésem arra utal ,vannak e hasonló iker prímek (magasabb számtartományokban is ) és,ha igen meddig - talán végtelen - szóval olyan iker prímek melyek összege plusz/minusz egy újabb ikerprímet generál (alkot)

Előzmény: [1618] bily71, 2012-01-10 18:57:36
[1627] epsilon2012-01-13 15:48:23

Üdv lorantfy! Köszi, hogy a témában hozzászóltál, és előre köszönöm, ha rajzprogram is lesz a kezedügyében. Nekem nincs ilyen, gy közönséges rajzzal próbálkoztam kísérletezni, de én csak annyit látok, mintha 3 különálló körív lenne, ellenben ezek egymással kongruensek (szimmetria okok miatt). Jó lenne, ha megtudhatnám, hogy ez a sejtésem igaz-e? Előre is kösz mindennemű segítségedet! További szép napot!

Előzmény: [1626] lorantfy, 2012-01-13 14:37:35
[1626] lorantfy2012-01-13 14:37:35

A gömb és a kocka lapjainak metszésvonalai körívek lesznek. Kétféle lap lesz ilyen szempontból. Az egyiken 3xgyök(3)/2 sugarú körív lesz, a másikon gyök(3)/3 sugarú körív. Ha rajzólóprogram közelben leszek, majd felteszek egy ábrát.

Előzmény: [1625] epsilon, 2012-01-13 11:47:10
[1625] epsilon2012-01-13 11:47:10

Üdv mindenkinek, és először is BÚÉK! Máris lenne egy kérdésem: Adott egy 1 egységnyi kocka, annak valamelyik csúcsában mint középpontban r=2×gyök(3):3 sugarú gömböt rajzolunk. Érdekelne a kockafelület és a gömbfelület (közös) metszésvonala.Miből áll ez? Hogy látható? Valaki tudna-e segíteni ebben? Előre is köszönöm, további szép napot: epsilon

[1624] sakkmath2012-01-11 23:28:47

Ezt az oldalt mostanában eltávolíthatták. Erre utal a Google egy tárolt pillanatfelvétele itt.

Az oldal utódja talán ez.

Előzmény: [1621] Jhony, 2012-01-11 18:42:39
[1623] SmallPotato2012-01-11 22:51:04

Nálam: "404 error: File not found"

Előzmény: [1621] Jhony, 2012-01-11 18:42:39
[1622] Hölder2012-01-11 21:47:11

Szerintem ugyanazt a mátrixot jelentik, mert a Jordan-blokkok megegyeznek. Persze lehet, hogy nem jól mondom. Kiss Emil algebra könyvében biztosan van erre is valami hasznos, de az okosabbak véleményét kérdem, mondjuk az ottani definíció alapján. Persze előfordulhat, hogy a definíció sem egyértelmű. Sajnos nem tudom a választ...

Előzmény: [1620] jonas, 2012-01-11 10:16:03
[1621] Jhony2012-01-11 18:42:39

- erről mi a véleményetek ?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Zeta-polar.svg

Előzmény: [1618] bily71, 2012-01-10 18:57:36
[1620] jonas2012-01-11 10:16:03

Ehhez pontos definíciók kellenének. A következő két mátrix Jordan-normálalakban van?


A = \left(\matrix{0&0\cr0&1}\right),


B = \left(\matrix{1&0\cr0&0}\right).

Előzmény: [1619] Hölder, 2012-01-11 10:08:28
[1619] Hölder2012-01-11 10:08:28

Legyen A és B két n-ed rendű valós elemekből álló mátrix. Igaz -e az, hogy akkor és csakis akkor hasonlóak egymáshoz, ha a Jordan-normálalakjuk megegyezik?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]