Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[169] S.Ákos2007-03-07 20:14:06

Sziasztok!

Meg tudnáktok mondani, hogy hol lehet arra bizonyítást találni, hogy

|\sum_{i=1}^n i^{-1}-log_e n|\le1

illetve

|\sum_{i=1}^n p_i^{-1}-log_elog_en|\le15

mindig mindig teljesül(pi az i-edik prímszám)?

[168] Lóczi Lajos2007-03-06 17:56:10

A feladat ettől még persze él, csak 1 ábrát és a végeredményt láthatjuk a linken.

Előzmény: [167] Doom, 2007-03-06 07:20:33
[167] Doom2007-03-06 07:20:33

Úgy látszik, végül is csak rossz helyre írtam, ezt egy érdekes feladatnak szántam.

Előzmény: [166] Lóczi Lajos, 2007-03-06 01:12:37
[166] Lóczi Lajos2007-03-06 01:12:37

http://mathworld.wolfram.com/MiceProblem.html

Előzmény: [165] Doom, 2007-03-05 18:50:45
[165] Doom2007-03-05 18:50:45

Egy 'a' oldalú szabályos háromszög minden csúcsában 1-1 kutya áll (A, B és C), majd egyszerre elkezdenek futni egymás felé azonos sebességgel: A B felé, B C felé és C pedig A irányában. Mennyi idő múlva találkoznak?

Segítségként egy "sejtés": egy furcsa "spirál-alakot" megtéve a háromszög középpontjában fognak találkozni, mégpedig egyszerre.

[164] Lóczi Lajos2007-03-01 01:10:21

Legyen tehát A>0 rögzített valós szám.

Pontos n értéket nem tudok mondani (szerintem általános A esetén nem is lehet (egykönnyen)), de legfeljebb 1 hibával meg tudom mondani a legnagyobb olyan n pozitív egész számot, amelyre nn/(n-1)n-1 legfeljebb A.

Nyilván csak az n>1 eset az érdekes, de ekkor A\ge4. Tegyük fel tehát a továbbiakban, hogy A>e.

A logaritmus sorfejtésével játszadozva be lehet látni például, hogy n\ge2 esetén fennáll az

ne-e/2\genn/(n-1)n-1\gene-e/2-e/(4n)

egyenlőtlenség. (Itt a két szélső kifejezés távolságát tetszőlegesen kicsivé össze lehetne húzni, de az nem segítene jobban.)

Innen most már csak elemi legfeljebb másodfokú egyenlőtlenségekkel (és a négyzetgyök sorfejtésével) továbbhaladva kapjuk, hogy

-- ha n<1/2+A/e, akkor A>nn/(n-1)n-1, az ilyen n-ek tehát még biztosan jók,

-- míg ha n>1/2+A/e+5e/(16A), akkor A<nn/(n-1)n-1, az ilyen n-ek tehát már biztosan rosszak.

Nem tudom eldönteni a kérdést, ha történetesen esik egész szám az [1/2+A/e,1/2+A/e+5e/(16A)] intervallumba (itt is ugyanaz a helyzet: ez az intervallum tetszőlegesen szűk, de fix hosszú lehetne); innen jön az, hogy ha nem is a legnagyobb, de legrosszabb esetben a második legnagyobb n-et tudom csak megadni.

Előzmény: [160] S.Ákos, 2007-02-28 18:57:12
[163] S.Ákos2007-02-28 19:42:41

Igen, elnézést kérek, megint nem fogalmaztam egyértelműen

Előzmény: [162] SAMBUCA, 2007-02-28 19:28:47
[162] SAMBUCA2007-02-28 19:28:47

Szerintem arra gondolt, hogy adott A-ra mi a legnagyobb n.

Előzmény: [161] epsilon, 2007-02-28 19:26:43
[161] epsilon2007-02-28 19:26:43

Hali! Szerintem nem létezik egy legnagyobb A mert a jobboldal bármilyen nagy lehet, ugyanis a jobboldali kifejezés így írható (n/n-1) az (n-1)-ik hatványon, × n, és az első tag az "1/e" számhoz tart, amikor n a végtelenhez tart, és a második tényező, az "n" tetszőlegesen nagy, amikor n a végtelenhez tart, tehát A minden korlátnál nagyobb lehet. Magyarán mondva a jobboildali tagból alkotott általános tagú sorozat korlátlan.

[160] S.Ákos2007-02-28 18:57:12

Sziasztok!

Vki meg tudná mondani, hogy hogy lehetne meghatározni azt a legnagyobb egészet, melyre

A\ge\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}

teljesül?(A egy tetszőleges poz. valós szám)

[159] Lóczi Lajos2007-02-27 16:41:08

Onnan megjegyezheted, hogy pl. f(x):=x2 kiolvasása "legyen egyenlő".

Előzmény: [157] ScarMan, 2007-02-27 14:23:25
[158] jonas2007-02-27 14:28:08

Az új változó felé.

Előzmény: [157] ScarMan, 2007-02-27 14:23:25
[157] ScarMan2007-02-27 14:23:25

Ha definiálunk egy új változót vagy függvényt vagy akármit, akkor az egyenlőségjel melyik oldalára kell írni a kettőspontot? Az új változó felől vagy a másik oldalra?

[156] fermel2007-02-25 19:03:27

Most már teljesen világos. Bár én a cserék alkalmazását kihagyom, de az indoklásom ugyanazokon az alapokon nyugszik. Nagyon sokat segítettél, köszönöm szépen. fermel

Előzmény: [155] Sirpi, 2007-02-25 16:34:00
[155] Sirpi2007-02-25 16:34:00

Szóval felteszem, hogy le lehet tenni 5 pontot úgy, hogy ne keletkezzen rossz hármas. Ekkor nem lehet semelyik sorban 3 pont, mert akkor azok súlypontja a középső, így csak 2-2-1 lehet a megoszlás (nem feltétlen ebben a sorrendben), és ugyanez az oszlopokra is.

Azt állítom, hogy ha nincs rossz 3-as, akkor 2 sort megcserélve sem fog rossz 3-as keletkezni. Rossz 3-as csak úgy jöhet létre, hogy minden sorból és minden oszlopból egy elemet választok ki, hiszen egyik sor és oszlop sincs tele, az meg nem lehet, hogy 2-t az egyik sorból és 1-et egy másikból. Ilyenkor viszont a csere változatlanul hagyja az x- és y- koordináták összegét is, vagyis ha nem volt rossz hármas, akkor nem is jött létre új a csere hatására. Vagyis innentől szabadon csereberélhetem a sorokat és oszlopokat.

1. csere: a legfelső sorba viszek egy "dupla" (azaz 2 kiválasztott elemet tartalmazó) sort

2. csere: ebben a sorban a 2 elemet az első két helyre teszem

3. csere: felviszem a 2. sorba a másik dupla sort

4. csere: mivel az első 2 sorban 4 elem van, de csak 3 hely, ezért valahol egyeznek. Ezt az egyezést oszlopcserével az első oszlopba viszem

És ahogy már mondtam, most a (0,0) (1,0) (0,1) elemek ki vannak választva, és két eset van aszerint, hogy a 2. sorban melyik a másik kiválasztott elem. Innen úgy fejeződik be a bizonyítás, ahogy már leírtam.

Előzmény: [154] fermel, 2007-02-25 16:14:08
[154] fermel2007-02-25 16:14:08

Pontosan eddig a segédállításig jutottam el én is és ennek a bizonyításánál akadtam el. A te bizonyításodból még sajnos az nem világos számomra, hogy miért csak az 1. és 2. eset jöhet szóba az első 4 pont vonatkozásában.( nem igazán értem a cseréket) Kifejtenéd kicsit bővebben? A bizonyítás többi része teljesen világos. Köszönöm. fermel

Előzmény: [153] Sirpi, 2007-02-25 15:25:40
[153] Sirpi2007-02-25 15:25:40

8 nyilván nem elég (elég a koordináták 3-as maradékait kiírni):

(0; 0) (0; 0) (0; 1) (0; 1) (1; 0) (1; 0) (1; 1) (1; 1)

Itt csak úgy lehetne a súlypont rácspont, ha a négyzet valamelyik csúcsába esne, de akkor azt a csúcsot háromszor kellene kiválasztanunk, de mindegyik csak kétszer szerepel.

* * *

Ezek után be kellene látni, hogy 9 pontból viszont mindig kiválasztható a megfelelő 3.

Ennek belátásához egy segédállítás: a {0,1,2}×{0,1,2} halmaz 5 különböző elemét kiválasztva biztosan lesz köztük három, aminek súlypontja rácspont.

Ez azért van így, mert ha valamelyik sorban ki van választva 3 elem is, akkor készen vagyunk, ellenkező esetben viszont 2-2-1 a sorokban a kiválasztott elemek megoszlása, és ugyanez igaz az oszlopokra is. Veszem az első "dupla" sort és megcserélem az elsővel, majd oszlopcserékkel elérem, hogy a két elem az első 2 legyen a sorban. Ezután felviszem a 2. sorba a másik "dupla" sort, ennek valamelyik eleme felett is van elem, ezt az oszlopot megcserélem az első oszloppal. Innen két eset lehet az első két sor tekintetében:

1) a 4 pont egy négyzetet alkot a (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) pontok által

2) a (0,0) (1,0) (0,1) (2,1) pontok vannak az első két sorban

Mindkét esetben nyilvánvaló, hogy a 3. sorban bármelyik elemet is választjuk ehhez a 4-hez, az létre fog hozni egy "rossz" ponthármast. Ezzel a segédállítást beláttuk.

Innen pedig készen vagyunk, mert maximum 4 különböző pontot választhatunk ki, mindegyiket legfeljebb kétszer (ha 3-szor választanánk, akkor az adott megháromszorozott pont önmagában meg fog felelni), ami összesen 8 pont legfeljebb.

Így beláttuk, hogy 9 pont kell legalább, hogy garantáltan kiválasztható legyen közülük 3 úgy, hogy azok súlypontja is rácspont.

Előzmény: [152] fermel, 2007-02-25 12:46:22
[152] fermel2007-02-25 12:46:22

Valóban igaz,hogy nem is biztos, hogy létrejön háromszög. A feladatot akkor átfogalmazva: Hány rácspont elegendő, hogy biztosan találjak három olyat,hogy a megfelelő koordináták összege biztosan osztható legyen hárommal? Igazából egy kombinatorikai feladatot helyeztek geometriai csomagolásba, a lényeg számomra a kombinatorikai rész megoldása lenne. Most éppen ott tartok, hogy a válasz valószínűleg 9, de a bizonyítással gondjaim vannak. fermel

Előzmény: [151] S.Ákos, 2007-02-23 19:22:32
[151] S.Ákos2007-02-23 19:22:32

nincs ilyen korlát. Pl az összes pontot a x=1 és x=2 egyenesen veszed fel.

Előzmény: [146] fermel, 2007-02-17 15:06:02
[150] tim202007-02-22 11:41:58

Bocs, közben észre vettem, hogy egy másik témánál kifejtetted.

Előzmény: [149] tim20, 2007-02-22 08:58:32
[149] tim202007-02-22 08:58:32

Hogy jött ki? Segítenél, hogy milyen egyenlettel oldottad meg?

Előzmény: [148] teomo, 2007-02-22 08:29:30
[148] teomo2007-02-22 08:29:30

198

Előzmény: [147] tim20, 2007-02-22 07:17:19
[147] tim202007-02-22 07:17:19

Egy furcsa fa első nap 1,1/2-szeresére nőtt. Másnap az előző nap 1,1/3-szorosára, harmadnap az előző nap 1,1/4-szeresére és így tovább. Hány nap alatt nőtt meg az eredeti magasságának 100-szorosára?

[146] fermel2007-02-17 15:06:02

Mekkora az a legkisebb n, melyre biztosan igaz a következő? n db síkbeli rácspont esetén biztosan találunk köztük három olyat, amelyek által alkotott háromszög súlypontja is rácspont.

Köszönöm a segítséget. fermel

[145] tim202007-02-16 13:01:02

A könyvet sajnos nem tudom most beszerezni, de én azt mondom, hogy a második a nagyobb. Megerősítenél ha Te még a könyv oldalszámát is tudod? Előre is köszi.

Előzmény: [144] jonas, 2007-02-16 12:09:19

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]