Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1727] Hölder2012-03-25 12:12:25

Ez nagyon t5etszik, esetleg még a g(t) függvény konkáv voltára egy elemi bizonyítás, és akkor minden elemi benne. A többi felmerülő kérdésre is megpróbálok majd reagálni.

Előzmény: [1725] Fálesz Mihály, 2012-03-23 16:32:36
[1726] PAL2012-03-23 16:38:15

Ha itt tudjuk a minimumot , akkor vehetnénk ugyanígy 2-sin (x)+2-cos (x) minimumát is, és éppen ott lenne maximuma a szóban forgó függvénynek, vagy tévedek?

Előzmény: [1724] Fálesz Mihály, 2012-03-23 10:45:42
[1725] Fálesz Mihály2012-03-23 16:32:36

Én inkább a g(t)=2^{\sqrt{t}} függvényt vizsgálnám. A második derivált mutatja, hogy g a [0,1]\subset\Big[0,\frac1{(\ln2)^2}\Big] intervallumban konkáv:


g''(t) = \frac{2^{\sqrt{t}}(\ln2)^2}{4t^{3/2}}\Big(\sqrt{t}-\frac1{\ln2}\Big)<0.

Ezért hát a Jensen-egyenlőtlenséget a g függvényre és az sin2x, cos2x pontokra felírva,

2sin x+2cos x\le2|sin x|+2|cos x|=g(sin2x)+g(cos2x)\le


\le 2 g\Big(\frac{\sin^2x+\cos^2x}2\Big) =
2 g(1/2) = 2^{1+\sqrt2/2}.

Előzmény: [1722] spongya, 2012-03-22 23:24:12
[1724] Fálesz Mihály2012-03-23 10:45:42

A minimum egyszerűen kijön a számtani-mértani közepekből és a |\sin x+\cos x|\le\sqrt2 egyenlőtlenségből.


2^{\sin x}+2^{\cos x}
\ge 2\sqrt{2^{\sin x}\cdot2^{\cos x}}
\ge 2^{1-\sqrt2/2}.

Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58
[1723] TLevi2012-03-23 10:31:49

Igen...megneztem az [1705]-ot, de meg jobban kodben talaltam magam...

Előzmény: [1712] SmallPotato, 2012-03-19 08:54:53
[1722] spongya2012-03-22 23:24:12

"Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2sin(x) alulról konkáv, ..."

Nekem + az jött ki, hogy [0;\frac13]-ban 2sin(x) alulról konvex. Sőt, a konvexitási tartomány jobbra még kicsit szélesíthető is. Vagy rosszul látom?

Előzmény: [1720] HoA, 2012-03-22 20:05:27
[1721] Lóczi Lajos2012-03-22 22:56:02

Valamilyen a>1 esetén tekintsük az asin (x)+acos (x) függvényt a [0,2\pi) intervallumon. Ha pl. a=2, akkor f-nek pontosan 2 szélsőértékhelye van.

Van olyan a>2 érték, amikor ez nem igaz? Mi az "első" ilyen kritikus érték?

[1720] HoA2012-03-22 20:05:27

Mivel cos(x)=sin(\pi/2-x) , a két tagfüggvény egymás tükörképe az x=\pi/4 egyenesre, összegük erre a tengelyre szimmetrikus. Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2sin(x) alulról konkáv, akkor mindkét tagfüggvény meredeksége folyamatosan csökken [0;\pi/2] -ben , így összegüké is, ami a szimmetria miatt \pi/4 -beli maximumot jelent.

Előzmény: [1719] Hölder, 2012-03-22 12:21:33
[1719] Hölder2012-03-22 12:21:33

Én egy kicsit máshogy közelítettem meg a dolgot, bár el kell ismerjem, először én is úgy próbáltam, mint te. Szóval 2 a sinx-ediken /(sinx) = 2 a cos x-ediken /cosx (nyilván sinx= 0 és cosx=0 nem jöhet szóba, ezért nyugodtan oszthatunk vele).És itt érdemes bevezetni a g(x) =2 az x-ediken /x függvényt, ezt vizsgálni a [-1,1]-ban, hiszen az argumentumok sinx és cos x. Ha megnézed, ennek 1/ln 2-ben lesz szélsőértéke, ami 1-nél nagyobb, tehát előtte monoton a függvény, amiből adódik, hogy sinx=cosx, azaz tgx=1, innen jönnek a szélsőértékek, de ez sajnos nem elemi megoldás, és valahogy úgy érzem valami nagyon trükkös elemi megoldás is van, csak én nem találtam meg. Amúgy hogy lehet itt matematikai dolgokat beírni?

Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58
[1718] Lóczi Lajos2012-03-21 21:33:58

Érdekes, hogy deriválással könnyen meghatározható az 5\pi/4-nél lévő minimum (csak egy Bolzano-tétel -- ez az a szélsőérték, ami neked is kijött már elemi módszerekkel), de a \pi/4-nél lévő maximummal meg kellett egy kicsit küzdenem.

Vagyis a kérdésem az, hogy hogyan lehetne minél egyszerűbben belátni, hogy a

tg(x)=2sin (x)-cos (x)

egyenletnek a [0,2\pi] intervallumban pontosan 2 gyöke van? (Az x\in(\pi/2,2\pi] intervallum tehát könnyű, ami szerintem nem látszik egyszerűen, az az x\in[0,\pi/2) tartomány.)

Előzmény: [1717] Hölder, 2012-03-20 20:46:47
[1717] Hölder2012-03-20 20:46:47

Igen, erről. köszi, hogy beírtad. ha valakinek van megoldása, azt szívesen olvasnám (elemi bizonyítás).

Előzmény: [1716] Sirpi, 2012-03-20 11:20:00
[1716] Sirpi2012-03-20 11:20:00

Tehát erről lenne szó?

2sin x+2cos x

Előzmény: [1715] Hölder, 2012-03-20 10:31:26
[1715] Hölder2012-03-20 10:31:26

Sziasztok!

Van egy feladat, amire próbáltam elemi (differenciálás nélküli) megoldást is keresni, de nem találtam. Ha nektek van megoldásotok, amiben pl. közepek, Jensen-egyenlőtlenség szerepel, stb., tehát elemibb eszközök, akkor azt ossza meg velem is.

A feladat: keressük meg a 2 a sin x-ediken +2 a cos x-ediken függvény maximumát!

megjegyzés: a minimumra van elemi megoldás (közepek), a maximumot pedig "nyilván" 45 foknál veszi fel.Elnézést, hogy nem szépen írtam be a feladatot.

[1714] Róbert Gida2012-03-19 16:08:26

De, igazad van.

Előzmény: [1713] Sirpi, 2012-03-19 08:56:23
[1713] Sirpi2012-03-19 08:56:23

Ezt nem úgy értetted, hogy ai a normális szám első i tizedesjegyéből alkotott szám legyen?

Előzmény: [1709] Róbert Gida, 2012-03-18 23:21:44
[1712] SmallPotato2012-03-19 08:54:53

[1705]-öt nézted?

Előzmény: [1711] TLevi, 2012-03-19 07:12:46
[1711] TLevi2012-03-19 07:12:46

Az [1691] - es egyenletet kell nezni..

Előzmény: [1702] jonas, 2012-03-16 20:47:33
[1710] Sirpi2012-03-18 23:56:27

Köszi! A 7,5 elég jónak tűnik annak ismeretében, hogy a 9-jegyű számokig én is hasonló értékeket kaptam a hsz-emben.

Előzmény: [1708] Kemény Legény, 2012-03-18 20:35:35
[1709] Róbert Gida2012-03-18 23:21:44

Például a normális számokra A=B=4.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number (az ai ekkor a normális szám i-edik számjegye legyen).

Előzmény: [1706] Sirpi, 2012-03-17 23:21:36
[1708] Kemény Legény2012-03-18 20:35:35

733...32=5377...7288...89

még jobb választás, erre B\ge7.5 jön ki. Ez már közel lehet a megoldáshoz, ugyanis az OEIS adatbázisban A069665 néven további elemei is meg vannak adva a sorozatnak, amik kb. ilyen átlagot produkálnak (de nincs semmi dokumentum a további referenciák között).

Előzmény: [1707] Kemény Legény, 2012-03-18 20:27:15
[1707] Kemény Legény2012-03-18 20:27:15

Nem biztos, hogy közelebb visz a megoldáshoz - már ha egyáltalán megválasztható a kérdés - de négyzetszámok esetén B\ge6, ugyanis

533...32=2844...4088...89,

ahol n db 3-as követi az 5-öst, illetve n-1 db 4-es és 8-as van egymás mellett az eredményben. Talán szerencsésebb próbálkozással ennél jobb is található, idő hiányában nem vizsgáltam tovább, amint 4.5-nél jobbat találtam, megálltam.

Előzmény: [1706] Sirpi, 2012-03-17 23:21:36
[1706] Sirpi2012-03-17 23:21:36

Találtam egy új problémát, nem tudom, mennyire van kivesézve.

Legyen a1,a2,... egy végtelenbe tartó egész számsorozat, és számjegyátlagának liminf-je legyen A, limsup-ja B.

Ekkor nyilván 0\leqA\leqB\leq9, de nevezetes sorozatoknál tudunk ennél többet is mondani?

Például ha an=n2, akkor A = 0, és B\geq4,5, de B-re van jobb? Az 1, 2, stb. jegyű számokra a maximális számjegyátlag így alakul (optimum, számjegyátlaga):

9 9.000000

49 6.500000

289 6.333333

6889 7.750000

97969 8.000000

698896 7.666667

9696996 7.714286

79869969 7.875000

876988996 7.777778

És ha an=2n, arra tud valaki bármi építő jellegűt?

[1705] SmallPotato2012-03-16 21:23:22

Itt találsz egy számítási segédletet; a paramétereket beírva azonnali eredményt kapsz.

Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46
[1704] SmallPotato2012-03-16 21:21:14

Gyanús volt a képlet, utánakerestem (ha már a közzétevő titkot csinál belőle).

A Colebrook–White-képletről van szó; a D az egyenértékű csőátmérő (teljes keresztmetszetben kitöltött cső esetében a valódi belső átmérő); Re a Reynolds-szám, amely a viszkozitás, a csőátmérő és az áramlási sebesség függvényében több nagyságrendet fog át.

A legszebb, hogy a szócikkben szerepel is, hogy az egyenlőséget a \lambda csősúrlódási tényező iteratív kiszámítására használják.

Előzmény: [1703] jonas, 2012-03-16 20:50:24
[1703] jonas2012-03-16 20:50:24

Várj csak, most sem a D, sem a Re nem konstans? Azt legalább tudod, nagyjából milyen tartományban változhatnak?

Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]