Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1733] Róbert Gida	2012-04-08 11:30:30
A hozzászólásban egy darab egyenlőtlenség sem szerepel.
Előzmény: [1732] Fálesz Mihály, 2012-04-08 05:32:40

[1732] Fálesz Mihály	2012-04-08 05:32:40
A szóbanforgó egyenlőtlenség nem igaz.
Előzmény: [1731] kovátsnorbi1994, 2012-04-07 21:30:34

[1731] kovátsnorbi1994

2012-04-07 21:30:34

Jó estét minden Fórumozónak!

A segítségetekre lenne szükségem egy példatárban olvasott megjegyzés értelmezésével kapcsolatban: A megjegyzéshez kapcsolódó feladat az /1989-1992/-es Egyetemi Felvételi Feladatok (Scharnitzky-féle) példatár 87. oldalán olvasható, ahol konvergens Taylor-sorral adnak felső becslést $\sqrt{log_2{3}}+\sqrt{log_3{2}}$ értékére. Itt leírják a következő átalakítást, ami nem világos számomra :

$\frac{2\sum_{n=0}^\infty \left(\frac13\right) ^{2n+1}\cdot{\frac1{2n+1}}}{2\sum_{n=0}^\infty \left(\frac12\right) ^{2n+1}\cdot{\frac1{2n+1}}}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac23\right)^{2n+1}$

Megnéztem konkrét, véges sok esetre az átalakítást: A baloldali összeg kifejtésére (véges sok esetben) a következőt kaptam:

$\frac{2\cdot\sum_{n=0}^3\left(\frac13\right) ^{2n+1}\cdot{\frac1{2n+1}}}{2\cdot\sum_{n=0}^3\left(\frac12\right) ^{2n+1}\cdot{\frac1{2n+1}}}=\frac{2\cdot[\left(\frac13\right)+\left(\frac13\right)^3\cdot \left(\frac13\right)+\left(\frac13\right)^5\cdot \left(\frac15\right)+\left(\frac13\right)^7\cdot \left(\frac17\right)]}{2\cdot[\left(\frac12\right)+\left(\frac12\right)^3\cdot \left(\frac13\right)+\left(\frac12\right)^5\cdot \left(\frac15\right)+\left(\frac12\right)^7\cdot \left(\frac17\right)]}$

Míg a jobboldali szumma kifejtésére:

$\sum_{n=0}^3 \left(\frac23\right)^{2n+1}=\left(\frac23\right)+\left(\frac23\right)^3+\left(\frac23\right)^5+\left(\frac23\right)^7$

Nem értem, hogy az egyenlőség két oldalán lévő érték hogyan lesz egyenlő, vagyis miért emelhető-e szumma jel elé az összegzési indexet is tartalmazó $\frac{1}{2n+1}$ hányados, ha véges sok esetben nincs egyenlőség a jobb- és baloldal között.

A választ köszönöm, és békés ünnepeket kívánok mindenkinek!

[1730] kler69	2012-03-25 17:14:21
Nagyon szépen köszönöm! :)
Előzmény: [1729] jenei.attila, 2012-03-25 17:06:28

[1729] jenei.attila	2012-03-25 17:06:28
Mivel az f szögfelező, ezért az A pont f-re vett A' tükörképe rajta van a CB egyenesen. Tehát tükrözd A-t f-re (A'-őt kapod), majd az A'B és f egyenes metszéspontja megadja a C csúcsot.
Előzmény: [1728] kler69, 2012-03-25 16:52:41

[1728] kler69	2012-03-25 16:52:41
Kedves Mindenki! Sajnos már régen voltam iskolás, és a fiam ált. iskolás matekházija kifogott rajtunk. Kérem, aki tud, segítsen! A feladat: Adott egy háromszög A és B csúcsa, valamint a harmadik csúcsban levő szög szögfelezője. Szerkesszük meg a háromszöget! Köszönöm szépen!

[1727] Hölder	2012-03-25 12:12:25
Ez nagyon t5etszik, esetleg még a g(t) függvény konkáv voltára egy elemi bizonyítás, és akkor minden elemi benne. A többi felmerülő kérdésre is megpróbálok majd reagálni.
Előzmény: [1725] Fálesz Mihály, 2012-03-23 16:32:36

[1726] PAL	2012-03-23 16:38:15
Ha itt tudjuk a minimumot , akkor vehetnénk ugyanígy 2^-sin (x)+2^-cos (x) minimumát is, és éppen ott lenne maximuma a szóban forgó függvénynek, vagy tévedek?
Előzmény: [1724] Fálesz Mihály, 2012-03-23 10:45:42

[1725] Fálesz Mihály

2012-03-23 16:32:36

Én inkább a $g(t)=2^{\sqrt{t}}$ függvényt vizsgálnám. A második derivált mutatja, hogy g a $[0,1]\subset\Big[0,\frac1{(\ln2)^2}\Big]$ intervallumban konkáv:

$g''(t) = \frac{2^{\sqrt{t}}(\ln2)^2}{4t^{3/2}}\Big(\sqrt{t}-\frac1{\ln2}\Big)<0.$

Ezért hát a Jensen-egyenlőtlenséget a g függvényre és az sin²x, cos²x pontokra felírva,

2^sin x+2^cos x $\le$ 2^|sin x|+2^|cos x|=g(sin²x)+g(cos²x) $\le$

$\le 2 g\Big(\frac{\sin^2x+\cos^2x}2\Big) = 2 g(1/2) = 2^{1+\sqrt2/2}.$

Előzmény: [1722] spongya, 2012-03-22 23:24:12

[1724] Fálesz Mihály

2012-03-23 10:45:42

A minimum egyszerűen kijön a számtani-mértani közepekből és a $|\sin x+\cos x|\le\sqrt2$ egyenlőtlenségből.

$2^{\sin x}+2^{\cos x} \ge 2\sqrt{2^{\sin x}\cdot2^{\cos x}} \ge 2^{1-\sqrt2/2}.$

Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58

[1723] TLevi	2012-03-23 10:31:49
Igen...megneztem az [1705]-ot, de meg jobban kodben talaltam magam...
Előzmény: [1712] SmallPotato, 2012-03-19 08:54:53

[1722] spongya

2012-03-22 23:24:12

"Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2^sin(x) alulról konkáv, ..."

Nekem + az jött ki, hogy $[0;\frac13]$ -ban 2^sin(x) alulról konvex. Sőt, a konvexitási tartomány jobbra még kicsit szélesíthető is. Vagy rosszul látom?

Előzmény: [1720] HoA, 2012-03-22 20:05:27

[1721] Lóczi Lajos

2012-03-22 22:56:02

Valamilyen a>1 esetén tekintsük az a^sin (x)+a^cos (x) függvényt a [0,2 $\pi$ ) intervallumon. Ha pl. a=2, akkor f-nek pontosan 2 szélsőértékhelye van.

Van olyan a>2 érték, amikor ez nem igaz? Mi az "első" ilyen kritikus érték?

[1720] HoA	2012-03-22 20:05:27
Mivel cos(x)=sin( $\pi$ /2-x) , a két tagfüggvény egymás tükörképe az x= $\pi$ /4 egyenesre, összegük erre a tengelyre szimmetrikus. Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2^sin(x) alulról konkáv, akkor mindkét tagfüggvény meredeksége folyamatosan csökken [0; $\pi$ /2] -ben , így összegüké is, ami a szimmetria miatt $\pi$ /4 -beli maximumot jelent.
Előzmény: [1719] Hölder, 2012-03-22 12:21:33

[1719] Hölder	2012-03-22 12:21:33
Én egy kicsit máshogy közelítettem meg a dolgot, bár el kell ismerjem, először én is úgy próbáltam, mint te. Szóval 2 a sinx-ediken /(sinx) = 2 a cos x-ediken /cosx (nyilván sinx= 0 és cosx=0 nem jöhet szóba, ezért nyugodtan oszthatunk vele).És itt érdemes bevezetni a g(x) =2 az x-ediken /x függvényt, ezt vizsgálni a [-1,1]-ban, hiszen az argumentumok sinx és cos x. Ha megnézed, ennek 1/ln 2-ben lesz szélsőértéke, ami 1-nél nagyobb, tehát előtte monoton a függvény, amiből adódik, hogy sinx=cosx, azaz tgx=1, innen jönnek a szélsőértékek, de ez sajnos nem elemi megoldás, és valahogy úgy érzem valami nagyon trükkös elemi megoldás is van, csak én nem találtam meg. Amúgy hogy lehet itt matematikai dolgokat beírni?
Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58

[1718] Lóczi Lajos

2012-03-21 21:33:58

Érdekes, hogy deriválással könnyen meghatározható az 5 $\pi$ /4-nél lévő minimum (csak egy Bolzano-tétel -- ez az a szélsőérték, ami neked is kijött már elemi módszerekkel), de a $\pi$ /4-nél lévő maximummal meg kellett egy kicsit küzdenem.

Vagyis a kérdésem az, hogy hogyan lehetne minél egyszerűbben belátni, hogy a

tg(x)=2^{sin (x)-cos (x)}

egyenletnek a [0,2 $\pi$ ] intervallumban pontosan 2 gyöke van? (Az x $\in$ ( $\pi$ /2,2 $\pi$ ] intervallum tehát könnyű, ami szerintem nem látszik egyszerűen, az az x $\in$ [0, $\pi$ /2) tartomány.)

Előzmény: [1717] Hölder, 2012-03-20 20:46:47

[1717] Hölder	2012-03-20 20:46:47
Igen, erről. köszi, hogy beírtad. ha valakinek van megoldása, azt szívesen olvasnám (elemi bizonyítás).
Előzmény: [1716] Sirpi, 2012-03-20 11:20:00

[1716] Sirpi

2012-03-20 11:20:00

Tehát erről lenne szó?

2^sin x+2^cos x

Előzmény: [1715] Hölder, 2012-03-20 10:31:26

[1715] Hölder

2012-03-20 10:31:26

Sziasztok!

Van egy feladat, amire próbáltam elemi (differenciálás nélküli) megoldást is keresni, de nem találtam. Ha nektek van megoldásotok, amiben pl. közepek, Jensen-egyenlőtlenség szerepel, stb., tehát elemibb eszközök, akkor azt ossza meg velem is.

A feladat: keressük meg a 2 a sin x-ediken +2 a cos x-ediken függvény maximumát!

megjegyzés: a minimumra van elemi megoldás (közepek), a maximumot pedig "nyilván" 45 foknál veszi fel.Elnézést, hogy nem szépen írtam be a feladatot.

[1714] Róbert Gida	2012-03-19 16:08:26
De, igazad van.
Előzmény: [1713] Sirpi, 2012-03-19 08:56:23

[1713] Sirpi	2012-03-19 08:56:23
Ezt nem úgy értetted, hogy a_i a normális szám első i tizedesjegyéből alkotott szám legyen?
Előzmény: [1709] Róbert Gida, 2012-03-18 23:21:44

[1712] SmallPotato	2012-03-19 08:54:53
[1705]-öt nézted?
Előzmény: [1711] TLevi, 2012-03-19 07:12:46

[1711] TLevi	2012-03-19 07:12:46
Az [1691] - es egyenletet kell nezni..
Előzmény: [1702] jonas, 2012-03-16 20:47:33

[1710] Sirpi	2012-03-18 23:56:27
Köszi! A 7,5 elég jónak tűnik annak ismeretében, hogy a 9-jegyű számokig én is hasonló értékeket kaptam a hsz-emben.
Előzmény: [1708] Kemény Legény, 2012-03-18 20:35:35

[1709] Róbert Gida	2012-03-18 23:21:44
Például a normális számokra A=B=4.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number (az a_i ekkor a normális szám i-edik számjegye legyen).
Előzmény: [1706] Sirpi, 2012-03-17 23:21:36

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?