Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1811] Lapis Máté Sámuel2012-12-03 20:20:04

Légyszíves segítsen valaki megoldani ezt a feladatot(megoldási menettel)!

2n+1 db egymást követő szám közül az első n+1 db szám négyzetének összege megyegyik a maradék számok négyzetének összegével. Melyek ezek a számok

[1810] polarka2012-11-28 10:28:25

"Egy fal, két golyó. 1. golyó 1 egység tömeg a 2. golyó 100 egység. A fal van bal oldalt, tőle jobbra a könnyebb(kisebb) golyó, jobb oldalt a nagy, nehéz. A kis golyót 1 m/s sebességgel elindítjuk a nagy felé.

Elméleti feladat! Tökéletes rugalmas az ütközés! Nincs súrlódás! (gyakorlatban ilyen nincs) Kérdés, HÁNYSZOR ÜTKÖZIK A KIS GOLYÓ A NAGYNAK??"

Előzmény: [1809] Lóczi Lajos, 2012-11-28 01:05:12
[1809] Lóczi Lajos2012-11-28 01:05:12

Amúgy milyen rendszerben milyen ütközéseket modellez ez az egyenlőtlenség?

Előzmény: [1806] polarka, 2012-11-28 00:32:00
[1808] polarka2012-11-28 00:33:50

8-as van. ComplexExpand-dal működött.

Előzmény: [1805] Róbert Gida, 2012-11-26 23:28:22
[1807] polarka2012-11-28 00:32:58

így már ezt is értem, köszi.

Előzmény: [1802] Lóczi Lajos, 2012-11-26 16:21:35
[1806] polarka2012-11-28 00:32:00

Akkor a reláció iránya változna és n értékére maximumot kapnánk. Ami viszont az alap (fizikai) példát tekintve nem volna értelmes.

n jelöli azon ütközésszámot, amitől kezdve több ütközés nem lehetséges, értéke min 1.

Viszont belátom, hogy megéri az 1787. hozzászólásod 3. egyenlőtlensége szerinti cos-ra átalakítás.

Előzmény: [1800] Lóczi Lajos, 2012-11-26 14:35:17
[1805] Róbert Gida2012-11-26 23:28:22

Segítsél Wolframnak egy kicsit: k menjen \frac {n-1}2-ig, illetve \frac n{2}-ig. De az is lehet, hogy más mathematica a verziód, és ezért nem hozta ki ezt az alakot.

Előzmény: [1791] polarka, 2012-11-25 17:15:38
[1804] Lóczi Lajos2012-11-26 22:51:04

Köszönöm.

Előzmény: [1803] Moderátor, 2012-11-26 22:37:26
[1803] Moderátor2012-11-26 22:37:26

A linkből hiányzott a "http://".

Előzmény: [1801] Lóczi Lajos, 2012-11-26 16:25:05
[1801] Lóczi Lajos2012-11-26 16:25:05

Vmiért a Fórum belerakta az előbbi linkbe előtagként saját magát, tehát a link újra:

www2.math.ou.edu/~jalbert/putnam/putnam9.pdf

Előzmény: [1802] Lóczi Lajos, 2012-11-26 16:21:35
[1802] Lóczi Lajos2012-11-26 16:21:35

Itt részletesebben ki van fejtve a gondolat.

Előzmény: [1799] polarka, 2012-11-26 14:11:43
[1800] Lóczi Lajos2012-11-26 14:35:17

De nem csak a 0-val osztás lehet gond, hanem ha a koszinusz negatív, amivel az egyenlőtlenséget elosztod, ezek mind külön meggondolásokat igényelnek.

Előzmény: [1798] polarka, 2012-11-26 13:59:40
[1799] polarka2012-11-26 14:11:43

Viszont én ezt nem tudom végigkövetni:

"tn(2cos t)=2cos (nt)" -nak mi köze az utána felírt u+1/u polinomhoz?

"Ebből azonnal következik..." Nem látom, hogy hogyan.

Előzmény: [1797] Fálesz Mihály, 2012-11-26 06:52:29
[1798] polarka2012-11-26 13:59:40

Ha nem is bizonyítjuk be, akkor még utólag leellenőrizhetjük, hogy a kapott n-nel ellentmondásra jutunk-e.

cos \left(n \cdot {\rm arctg} \frac{20}{99}\right)=0 ?

Előzmény: [1796] Lóczi Lajos, 2012-11-26 00:11:36
[1797] Fálesz Mihály2012-11-26 06:52:29

Nem olyan hosszú a bizonyítás.

(A Csebisev-polinomok helyett) azt a tn(x) polinomot érdemes vizsgálni, amire tn(2cos t)=2cos (nt) avagy t_n\left(u+\frac1u\right)=u^n+\frac1{u^n}. Ez egy egész együtthatós polinom, a főegyütthatója 1, tehát a tn(x)=k alakú egyenletek (k egész) minden racionális gyöke egész.

Ebből azonnal következik, hogy ha x/\pi és cos x is racionális, akkor 2cos x értéke 0, \pm1 vagy \pm2.

A tangensre például a \cos x=\frac{1-\tg^2\frac{x}2}{1+\tg^2\frac{x}2} azonossággal térhetünk át.

Előzmény: [1796] Lóczi Lajos, 2012-11-26 00:11:36
[1796] Lóczi Lajos2012-11-26 00:11:36

Viszont úgy gondolom, hogy mi nem tudjuk bebizonyítani, hogy \frac{1}{\pi}{\rm{arctg}\frac{20}{99}} irracionális.

Előzmény: [1794] polarka, 2012-11-25 23:37:25
[1795] polarka2012-11-25 23:42:51

Köszi.

Előzmény: [1793] Lóczi Lajos, 2012-11-25 20:14:53
[1794] polarka2012-11-25 23:37:25

Arra gondoltam, hogy \frac{1}{\pi} {\rm arctg}\frac{20}{99} továbbra is irrac. és mivel n természetes, így n \cdot {\rm arctg}\frac{20}{99} szorzatuk sosem lesz \frac{\pi}{2} többszöröse.

Előzmény: [1792] Lóczi Lajos, 2012-11-25 20:09:33
[1793] Lóczi Lajos2012-11-25 20:14:53

Próbáld a ComplexExpand paranccsal.

Előzmény: [1791] polarka, 2012-11-25 17:15:38
[1792] Lóczi Lajos2012-11-25 20:09:33

És a koszinusszal való átosztáskor hogyan garantálod, hogy ne legyen 0 a nevező? (És egyenlet nem, csak egyenlőtlenség szerepel:)

Előzmény: [1790] polarka, 2012-11-25 16:47:29
[1791] polarka2012-11-25 17:15:38

Ezt hogyan csikartad ki a Mathematicából? Simplify vagy FullSimplify az alábbira nekem nem hozta ki:

Sum[(-1)^k Binomial[n, 2 k + 1] 99^(n - 2 k - 1) 20^(2 k + 1), k, 0, n] - 10*Sum[(-1)^k Binomial[n, 2 k] 99^(n - 2 k) 20^(2 k), k, 0, n]

Előzmény: [1788] Róbert Gida, 2012-11-25 12:57:23
[1790] polarka2012-11-25 16:47:29

Köszönöm a gyors választ!

z^n+\overline{z}^n -t bontottam fel, hogy lássam mi is történik és ott próbáltam találgatni, hogy hogyan vonhatnám össze valamilyen (a+b)n alakban. Nem jutott eszembe az Re és Im szerinti felírás.

Szerintem fölösleges a 3. egyenleted szerinti alakba való átalakítás. A második egyenletet folytatva:

10 \leq \tan \left( n \cdot {\rm arctg}  \frac{20}{99}  \right)

\frac{{\rm arctg}10}{{\rm arctg}  \frac{20}{99} } \leq n

Előzmény: [1787] Lóczi Lajos, 2012-11-25 12:51:31
[1789] Róbert Gida2012-11-25 13:01:10

Közben megelőztek, cos előtt lehagytam egy 10-es szorzót. Az azért látható, hogy mennyire hatékony a Mathematica itt is, és csak a "Sum" kellett ide.

Előzmény: [1788] Róbert Gida, 2012-11-25 12:57:23
[1788] Róbert Gida2012-11-25 12:57:23

Egyrészt ordít róla a binomiális tétel, ki is lehet hozni egy explicit formulát mindkét oldalra. Komplex számokkal könnyebb az út, de ez valósban is megy. A Mathematica viszont egy érdekes alakot is ad a két oldal különbségére:

jobb oldal-bal oldal=101^n*(sin(n*atan(\frac {20}{99}))-cos(n*atan(\frac {20}{99})))

Előzmény: [1786] polarka, 2012-11-25 01:01:03
[1787] Lóczi Lajos2012-11-25 12:51:31

Nem mondtad meg, hogy n milyen számhalmaz eleme. Vegyük most természetes számnak az egyszerűség kedvéért.

Legyen például z a 99+20i komplex szám. Ekkor, valós és képzetes részeket használva, az egyenlőtlenség átírható a 10.re(zn)<im(zn) alakba. Polárkoordinátákkal folytatva, a


10\cdot{\rm{ re}}\left(101^n e^{i\cdot n\cdot {\rm{arctg}}\left(\frac{20}{99}\right)}\right)<{\rm{ im}}\left(101^n e^{i\cdot n\cdot {\rm{arctg}}\left(\frac{20}{99}\right)}\right)


10\cdot\cos\left(n\cdot {\rm{arctg}}\left(\frac{20}{99}\right)\right)<\sin\left(n\cdot {\rm{arctg}}\left(\frac{20}{99}\right)\right)

és


\cos\left({\rm{arctg}}\left(\frac{1}{10}\right)+n\cdot {\rm{arctg}}\left(\frac{20}{99}\right)\right)<0

ekvivalens alakokat kapjuk. Mivel a koszinusz (n-ben) szigorúan monoton növő argumentuma n=0 esetén a (0,\pi/2) intervallum eleme, a bal oldal akkor lesz először negatív, amikor az argumentum először belép a (\pi/2,3\pi/2) intervallumba. Ez pedig n=8 esetén történik meg leghamarabb.

Előzmény: [1786] polarka, 2012-11-25 01:01:03

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]